微分几何13空间曲线ppt课件.ppt

3、1 空间曲线的亲密平面1、定义 过空间曲线上 P 点的切线和 P 点临近一点 Q 可作一平面 ，当 Q 点沿曲线趋于 P 时，平面 的极限位置 称为曲线在 P 点的亲密平面第三第三节 空空 间 曲曲 线 对于 类的曲线上任一正常点处的亲密平面是最贴近于曲线的切平面 2、亲密平面的方程、亲密平面的方程 给出给出 类的曲线〔类的曲线〔C〕：〕： 有有由于向量由于向量 和和 都在平面都在平面 上，所以它们的上，所以它们的 线性组合线性组合 也在平面也在平面 上两边取极限得两边取极限得 在极限平面上，即在极限平面上，即 P 点的亲密平面上，因此点的亲密平面上，因此只需只需 这个向量就可以作为亲密平面的一个法向量。

这个向量就可以作为亲密平面的一个法向量亲密平面方程为亲密平面方程为 用 表示 P 点的亲密平面上任一点的向径， 那么上式表示为假设曲线用自然参数 s 表示，那么将上式中的撇改成点 例题 求园柱螺线上任一点的亲密平面平面曲线的亲密平面就是曲线所在的平面1、给出、给出 类曲线类曲线 得一单位向量得一单位向量 ，称为，称为曲曲线〔线〔C〕上〕上 P 点的单位切向量点的单位切向量 〔〔 留意到留意到 〕〕 称称 为曲线在为曲线在 P 点的主法向量点的主法向量,它垂直于单位切向量它垂直于单位切向量称称 为曲线在为曲线在 P 点的付法向量。

点的付法向量把两两正交的单位向量把两两正交的单位向量 称为曲线在称为曲线在 P 点的伏雷内点的伏雷内〔〔Frenet)标架 3、2 空间曲线的根本三棱形2、由恣意两个根本向量所确定的平面分、由恣意两个根本向量所确定的平面分别叫做叫做亲密平面、法密平面、法平面、从切平面而由三个根本向量和上面三个平面所构成平面、从切平面而由三个根本向量和上面三个平面所构成的的图形叫做曲形叫做曲线的根本三棱形的根本三棱形3、对于曲线〔、对于曲线〔C〕的普通参数表示〕的普通参数表示 有有4、例、例题 P343、、3 空空间曲曲线的曲率，的曲率，挠率和伏雷内公式率和伏雷内公式2、曲率的几何意、曲率的几何意义是曲是曲线的切向量的切向量对于弧于弧长的旋的旋转速度曲率越大，曲曲率越大，曲线的弯曲程度就越大，因此它反映了曲的弯曲程度就越大，因此它反映了曲线的的弯曲程度弯曲程度 设空间曲线〔C〕为 的，且以 s 为参数 1、曲率 定义〔C〕在 P 为的曲率为 有 〔一个单位向量微商的模等于它对于变量的旋转速度〕3、、挠率率 与曲率与曲率类似有似有 定义定义 曲线〔曲线〔C〕在〕在 P 点的挠率为点的挠率为挠率的绝对值是曲线的付法向量对于弧长的旋转速度。

挠率的绝对值是曲线的付法向量对于弧长的旋转速度 4、由定义可得、由定义可得 又又 于是有于是有 这个公式称为空间曲线的伏雷内〔这个公式称为空间曲线的伏雷内〔Frenet)公式它的系公式它的系 数组成一反称方阵数组成一反称方阵5、曲率和、曲率和挠率的普通参数表示式率的普通参数表示式给出 类的曲线〔C〕：所以因此由此得到曲率的普通参数的表示式 由可得挠率公式为6、亲密园〔曲率园〕 过曲线〔C〕上一点 P 的主法线的正侧取线段 PC，使 PC 的长为1/k以C 为园心，以1/k为半径在亲密平面上确定一个园，这个园称为曲线在 P 点的亲密园或曲率园，园的中心叫曲率中心，园的半径叫曲率半径 7、几个例、几个例题例例1 园柱螺园柱螺线的曲率和的曲率和挠率都是常数率都是常数例例2 曲率恒曲率恒为零的曲零的曲线是直是直线例例3 挠率恒率恒为零的曲零的曲线是平面曲是平面曲线例例4 求曲率求曲率为 4 ，，挠 率率为 5 的曲的曲线方程解解 由题意，可设曲线为园柱螺线由题意，可设曲线为园柱螺线 因此因此得所求园柱螺线为得所求园柱螺线为3、4 空间曲线在临近一点的构造给定 类曲线 及其上一点 有 取 为新坐标系，并取 为计算弧长的始点， 那么有 。

设 为曲线上点 的临近点的新坐标，那么有近似曲线在三个平面上的投影分别为 经过画出以上三个投影的立体图形就可以看出空间曲线在一点临近的近似外形：1、曲线穿过法平面与亲密平面，但不穿过从切平面2、主法向量总是指向曲线凹入的方向，这是主法向量正向的几何意义3、挠率的符号对曲线的影响见表3、、5 空空间曲曲线论的根本定理的根本定理 曲线上每一点都有确定的曲率和挠率，它们与参数有关，但与刚体运动和坐标变换无关我们把 称为空间曲线的自然方程空空间曲曲线论根本定理根本定理 给出闭区间[s0,s1]上的两个延续函数 ,那么除了空间的位置差别外，独一存在一条空间曲线，使得参数 s 是曲线的自然参数，并且 和 分别为曲线的曲率和挠率，即曲线的自然方程为3、6 普通螺线 1、定义：切线和固定方向作固定角的曲线称为普通螺线 2、性质： 〔1〕主法线与一个固定方向垂直 〔2〕、副法线与一个固定方向作固定角。

证明：设 是固定方向上的一个单位向量它与切向量作固 定角 ，有 微商  〔3〕曲率与挠率之比为一个常数 可以证明，上面的结论也是充分的 3、普通螺线的一种规范方程 设柱面的母线平行于 z 轴，那么可令 ，再设普通螺线的方程为 假设令 z=0 , s=0 , 那么 于是普通螺线的方程为。