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初三数学同步课程 目 录 第 01 讲 二次函数综合之动直线问题 …………………………… 001 第 02 讲 二次函数综合之动抛物线问题………………………… 015 第 03 讲 二次函数综合之动点问题……………………………… 027 第 04 讲 一次函数与反比例函数综合…………………………… 037 第 05 讲 与圆有关的证明………………………………………… 053 第 06 讲 与圆有关的计算一……………………………………… 067 第 07 讲 与圆有关的计算二……………………………………… 077 第 08 讲 几何综合之旋转………………………………………… 89 第 09 讲 几何综合之中点问题…………………………………… 97 第 10 讲 几何综合之特殊角问题………………………………… 105 第 11 讲 几何综合之轴对称……………………………………… 113 第 12 讲 几何综合之截长补短…………………………………… 121 第 13 讲 几何综合之相似三角形………………………………… 129 第 14 讲 新定义之定义新点……………………………………… 145 第 15 讲 新定义之定义新距离…………………………………… 163 第 16 讲 新定义之定义新函数…………………………………… 179 第 17 讲 新定义之定义新图形…………………………………… 191 初三数学同步课程 参考答案 初三数学秋季同步课程 - 1 - 第第一一讲讲 二次函数综合之动直线问题二次函数综合之动直线问题 知识导航知识导航 （一）（一）函数函数 1 1、变量：、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量 2 2、函数：、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有 唯一确定的值与其对应，那么我们就把 x 称为自变量自变量，把 y 称为因变量因变量，y 是 x 的函数函数 *判断 Y 是否为 X 的函数，只要看 X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应 3 3、定义域：、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域 4 4、确定函数定义域的方法：、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义 5 5、函数的解析式：、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式 6 6、函数的图像、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标 平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 7 7、描点法画函数图形的一般步骤、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数 值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

8 8、函数的表示方法、函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应 规律 解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际 问题中的函数关系，不能用解析式表示 图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系 （二）（二）一次函数一次函数 1 1、一次函数的定义、一次函数的定义 一般地， 形如y kxb=+（k，b是常数， 且0k  ） 的函数， 叫做一次函数， 其中 x 是自变量 当0b = 时，一次函数y kx= ，又叫做正比例函数 ⑴一次函数的解析式的形式是y kxb=+ ， 要判断一个函数是否是一次函数， 就是判断是否能化成以 上形式． ⑵当0b =，0k 时，y kx= 仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数． ⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 知识导航 初三数学秋季同步课程 - 2 - 2 2、正比例函数及性质、正比例函数及性质 一般地，形如 y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为 1 ③ b 取零 当 k0 时，直线 y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随 x 的增大 y 也增大；当 k0 时，图像经过一、三象限；k0，y 随 x 的增大而增大；k0 时，向上平移；当 b0，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第一、二象限；b0，y 随 x 的增大而增大；k0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位； 当 b0 b0 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大 k0 时，向上平移；当 b0 时，直线经过一、三象限； k0，y 随 x 的增大而增大； （从左向右上升） k0时， 将直线y=kx的图象向上平移 b 个单位； b0 k0 时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。

在每个象限内，y 随 x 的增大而减小 ①x 的取值范围是 x0， y 的取值范围是 y0； ②当 k0）的图象相交于点 B（m，1） （1）求点 B 的坐标及一次函数的解析式； （2）若点 P 在 y 轴上，且△PAB 为直角三角形，请直接写出点 P 的坐标 x y y = f(x) 1 2 3 4 –1 –2 –3 –4 1234–1–2–3–4 N M o 初三数学秋季同步课程 - 40 - y x –– 1 1 –– 2 2 –– 3 3 –– 4 4 –– 5 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 –– 1 1–– 2 2–– 3 3–– 4 4–– 5 51 12 23 34 45 5O 题型二 构造等腰三角形 【例【例2】】 （2018 平谷一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，函 数 ()0 k yk x = 的图象与直线y=x+1 交于点A（1，a） ． （1）求a，k的值； （2）连结OA，点P是函数 ()0 k yk x = 上一点，且满足OP=OA， 直接写出点P的坐标（点A除外） ． 【变式【变式2 2】】 （2018 怀柔一模） 在平面直角坐标系xOy中,一次函数 y=kx+b 的图象与 y 轴交于点 B （0,1） ， 与反比例函数 的图象交于点 A(3，-2). （1）求反比例函数的表达式和一次函数表达式； （2）若点 C 是 y 轴上一点，且 BC=BA，直接写出点 C 的坐标. 【变式【变式3 3】】 （2018 丰台一模）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数 2 y x = 的图象与一次函数y kxb=+ 的图象的交点分别为P(m，2)，Q(-2，n). （1）求一次函数的表达式； （2）过点Q作平行于y轴的直线，点M为此直线上的一点，当MQ = PQ时，直接写出点M的坐标. x m y = 初三数学秋季同步课程 - 41 - 【变式【变式4 4】】 （2019 年 1 月石景山期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数 1 2 yxb=+ 的图象经过点 (4 3)A ， ，与反比例函数 0() k yk x = 图象的一个交点为 (2, )Bn ． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）若点P在x轴上，且PBAB=， 则点P的坐标是 ． 题型三 与面积有关与面积有关 【例【例3】】 （2018 石景山一模） 在平面直角坐标系xOy中， 函数 a y x = （ 0x  ） 的图象与直线 1 lyxb=+： 交于 点(3,2)Aa−． （1）求a，b的值； （2）直线 2 lyxm= − +： 与x轴交于点B，与直线 1 l交于点C，若S △ABC6≥， 求m的取值范围． 【变式【变式5 5】】 （2018 朝阳一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B， 与反比例函数 x k y = 的图象在第四象限交于点C，CD⊥x轴于点D，tan∠OAB＝2，OA＝2，OD＝1． （1）求该反比例函数的表达式； （2）点M是这个反比例函数图象上的点，过点M作MN⊥y轴，垂足为点N，连接OM、AN，如果S△ABN＝ 2S△OMN，直接写出点M的坐标. 初三数学秋季同步课程 - 42 - x y O D B A 【变式【变式6 6】】 （2018 东城一模） 已知函数 () 3 0yx x =＞ 的图象与一次函数() 20yaxa=− 的图象交于点 ()3,An. （1）求实数a的值； （2）设一次函数 ()20yaxa=− 的图象与y轴交于点B.若点C在y轴上，且 =2 ABCAOB SS △△ ，求点C 的坐标. 【变式【变式7 7】】 （2018 房山一模） 如图， 直线 26yx=+ 与反比例函数 () 0 k yx x = 的图象交于点 ()1,Am， 与x轴交于点B，与y轴交于点D． （1）求m的值和反比例函数的表达式； （2） 在y轴上有一动点P（0，n） () 06n ， 过点P作平行于x轴的直线,交反比例函数的图象于点M， 交直线AB于点N，连接BM．若 1 2 BMNBOD SS  = ，求n的值． 初三数学秋季同步课程 - 43 - 【变式【变式8 8】】 （2019年1月东城期末） 如图， 一次函数y＝x＋4的图象与反比例函数y＝ x k (k为常数且k≠0) 的图象交于A(－1，a)，B两点，与x轴交于点 C． （1）求 a，k 的值及点 B 的坐标； （2）若点P在x轴上，且S△ACP＝ 2 3 S△BOC，直接写出点P的坐标． 题型四 函数与不等式函数与不等式 【例【例4】】 （2019年1月朝阳期末） 如图， 一次函数 ykxb=+ 的图象与反比例函数 m y x = 图象交于A（-2， 1） ，B（1，n）两点． （1）求m，n的值； （2）当一次函数的值大于反比例函数的值时，请写出自变量x的 取值范围． 初三数学秋季同步课程 - 44 - 【变式【变式9 9】】 （2018 朝阳二模） 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 6 1 +=xky 与函数 )0( 2 =x x k y 的 图象的两个交点分别为 A（1，5） ，B. （1）求 21,k k 的值； （2） 过点 P （n， 0） 作 x 轴的垂线， 与直线 6 1 +=xky 和函数 )0( 2 =x x k y 的图象的交点分别为点 M， N，当点 M 在点 N 下方时，写出 n 的取值范围. 【变式【变式1010】】 （2018 东城二模）已知函数 1 y x = 的图象与函数() 0ykx k= 的图象交于点() ,P m n. （1）若 2mn= ，求k的值和点 P 的坐标； （2）当 mn≤ 时，结合函数图象，直接写出实数k的取值范围. 初三数学秋季同步课程 - 45 - 【变式【变式1111】】 （2018 西城一模） 如图， 在平面直角坐标系xOy中， 直线y xm=+ 与x轴的交点为 0()4,A − ， 与y轴的交点为B，线段AB的中点M在函数 k y x =（0k ）的图象上 （1）求m，k的值; （2）将线段AB向左平移n。