2010年全国中考数学试题汇编.doc

2010年全国中考数学试题汇编《四边形》（12）解答题1、问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA．探究∠DBC与∠ABC度数的比值．请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．（1）当∠BAC=90°时，依问题中的条件补全右图；观察图形，AB与AC的数量关系为 相等；当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC的度数为 15°；可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为 1：3；（2）当∠BAC＜90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．考点：等腰梯形的性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．专题：压轴题．分析：（1）利用题中的已知条件，计算出∠ACB=∠ABC，所以AB=AC（等角对等边）；由等腰三角形的性质知∠BAD=∠BDA=75°，再根据三角形内角和是180°，找出图中角的等量关系，解答即可；（2）根据旋转的性质，作∠KCA=∠BAC，过B点作BK∥AC交CK于点K，连接DK，构建四边形ABKC是是等腰梯形，根据已知条件证明△KCD≌△BAD（SAS），再证明△DKB是正三角形，最后根据是等腰梯形与正三角形的性质，求得∠ABC与∠DBC的度数并求出比值．解答：解：（1）①当∠BAC=90°时，∵∠BAC=2∠ACB，∴∠ACB=45°，在△ABC中，∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=45°，∴∠ACB=∠ABC，∴AB=AC（等角对等边）；②当∠DAC=15°时，∠DAB=90°-15°=75°，∵BD=BA，∴∠BAD=∠BDA=75°，∴∠DBA=180°-75°-75°=30°，∴∠DBC=45°-30°=15°，即∠DBC=15°，∴∠DBC的度数为15°；③∵∠DBC=15°，∠ABC=45°，∴∠DBC=15°：∠ABC=45°=1：3，∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3． （2）猜想：∠DBC与∠ABC度数的比值与（1）中结论相同． 证明：如图2，作∠KCA=∠BAC，过B点作BK∥AC交CK于点K，连接DK．∴四边形ABKC是等腰梯形，∴CK=AB，∵DC=DA，∴∠DCA=∠DAC，∵∠KCA=∠BAC，∴∠KCD=∠3，∴△KCD≌△BAD，∴∠2=∠4，KD=BD，∴KD=BD=BA=KC．∵BK∥AC，∴∠ACB=∠6，∵∠KCA=2∠ACB，∴∠5=∠ACB，∴∠5=∠6，∴KC=KB，∴KD=BD=KB，∴∠KBD=60°，∵∠ACB=∠6=60°-∠1，∴∠BAC=2∠ACB=120°-2∠1，∵∠1+（60°-∠1）+（120°-2∠1）+∠2=180°，∴∠2=2∠1，∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3．点评：本题综合考查了是等腰梯形的判定与性质、正三角形的性质、全等三角形的判定以及三角形的内角和．答题：nhx600老师2、在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10．点E在下底边BC上，点F在腰AB上．（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；（2）是否存段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；（3）是否存段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由．考点：等腰梯形的性质；一元二次方程的应用．专题：开放型．分析：（1）先作AK⊥BC于K，FG⊥BC于G，根据等腰梯形的性质，可得BK= （BC-AD）=3，在Rt△ABK中，利用勾股定理可求出AK=4，由于AK、FG垂直于同一直线故平行，可得比例线段，求出FG= ，利用面积公式可得S△BEF=- x2+ x（7≤x≤10，因为BF最大取5，故BE最小取7，又不能超过10）；（2）根据题意，结合（1）中面积的表达式，可以得到 S梯形ABCD=- x2+ x，即14=- x2+ x，解得，x1=7，x2=5（不合题意，舍去）；（3）仍然按照（1）和（2）的步骤和方法去做就可以了，注意不是分成相等的两份，而是1：2就可以了，得到关于x的一元二次方程，先求出根的判别式△，由于△＜0，故不存在实数根．解答：解：（1）由已知条件得：梯形周长为24，高4，面积为28．过点F作FG⊥BC于G∴BK= （BC-AD）= ×（10-4）=3，∴AK= =4，∵EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，∴BF=12-x，过点A作AK⊥BC于K∴△BFG∽△BAK，∴ ，即： ，则可得：FG= ×4∴S△BEF= BE•FG=- x2+ x（7≤x≤10）；（3分）（2）存在（1分）由（1）得：- x2+ x=14，x2-12x+35=0，（x-7）（x-5）=0，解得x1=7，x2=5（不合题意舍去）∴存段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE=7；（3）不存在（1分）假设存在，显然是：S△BEF：SAFECD=1：2，（BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=1：2（1分），梯形ABCD周长的三分之一为24/3=8，面积的三分之一为28/3．因为BE=X，所以BF=（8-X），EM=4X/5，所以△BEF的面积为： ，∴一 x2+ x= 整理得：3x2-24x+70=0，△=576-840＜0∴不存在这样的实数x．即不存段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积．同时分成1：2的两部分．（2分）点评：本题利用了等腰梯形的性质、垂直于同一直线的两直线平行，勾股定理，三角形、梯形面积公式，解一元二次方程，以及一元二次方程根的判别式等知识．答题：wangcen老师3、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是BC的中点，且MA=MD．求证：四边形ABCD是等腰梯形．考点：等腰梯形的判定．专题：证明题．分析：根据已知利用SAS判定△AMB≌△DMC，从而得到AB=CD，两腰相等即得到四边形ABCD是等腰梯形．解答：证明：∵MA=MD，∴△MAD是等腰三角形．∴∠DAM=∠ADM．（1分）∵AD∥BC，∴∠AMB=∠DAM，∠DMC=∠ADM．∴∠AMB=∠DMC． （3分）∵点M是BC的中点，∴BM=CM．（4分）∴△AMB≌△DMC． （5分）∴AB=DC．∴四边形ABCD是等腰梯形．（6分）点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定方法及等腰梯形的判定的理解及运用．答题：ln_86老师4、在▱ABCD中，AC是一条对角线，∠B=∠CAD，延长BC至点E，使CE=BC，连接DE．（1）求证：四边形ABED是等腰梯形；（2）若AB=AD=4，求梯形ABED的面积．考点：等腰梯形的判定．专题：计算题；证明题．分析：（1）要证ABED是等腰梯形，只需证AB=DE，通过△ABC≌△DCE可证．（2）代入梯形面积公式，直接进行求解．解答：（1）证明：∵在□ABCD中，AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB．∵∠B=∠CAD，∴∠ACB=∠B．∴AB=AC．∵AB∥CD，∴∠B=∠DCE．又∵BC=CE，∴△ABC≌△DCE（SAS）．∴AC=DE=AB．∵AD∥BE，∴为等腰梯形．（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC=CE=4．∴△ABC为等边三角形．∴梯形高=三角形高=2 ．∴S=（4+8）×2 × =12 ．点评：命题意图：①检验学生对等腰梯形判定方法的掌握情况，②对梯形面积公式的考查．答题：wdyzwbf老师5、如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC=CD．（1）求证：OC∥BD；（2）若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC的形状．考点：圆心角、弧、弦的关系；平行线的判定；菱形的判定．专题：证明题；探究型．分析：（1）首先由AC=CD得到弧AC与弧CD相等，然后得到∠ABC=∠CBD，而OC=OB，所以得到∠OCB=∠OBC，接着得到∠OCB=∠CBD，由此即可证明结论；（2）首先由BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形根据三角形的面积公式可以推出OC=BD，而后利用（1）的结论可以证明四边形OBDC为平行四边形，再利用OC=OB即可证明四边形OBDC为菱形．解答：（1）证明：∵AC=CD，∴弧AC与弧CD相等，∴∠ABC=∠CBD，又∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OCB=∠CBD，∴OC∥BD；（2）解：∵OC∥BD，不妨设平行线OC与BD间的距离为h，又S△OBC= OC×h，S△DBC= BD×h，因为BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，即S△OBC=S△DBC，∴OC=BD，∴四边形OBDC为平行四边形，又∵OC=OB，∴四边形OBDC为菱形．点评：此题综合运用了等腰三角形的性质、三角形的面积公式、圆周角定理和等弧对等弦等知识，有一定的难度．答题：Liuzhx老师6、正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．（1）如图①，若点E在 上，F是DE上的一点，DF=BE．求证：△ADF≌△ABE；（2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE-BE= AE．请你说明理由；（3）如图②，若点E在 上．写出线段DE、BE、AE之间的等量关系．（不必证明）考点：圆周角定理；全等三角形的判定；勾股定理；正方形的性质．专题：证明题；探究型．分析：（1）中易证AD=AB，EB=DF，所以只需证明∠ADF=∠ABE，利用同弧所对的圆周角相等不难得出，从而证明全等；（2）中易证△AEF是等腰直角三角形，所以EF= AE，所以只需证明DE-BE=EF即可，由BE=DF不难证明此问题；（3）类比（2）不难得出（3）的结论．解答：解：（1）在正方形ABCD中，AB=AD（1分）∵DF=BE，∠1=∠2，（3分）∴△ADF≌△ABE．（4分）（2）由（1）有△ADF≌△ABE，∴AF=AE，∠3=∠4．（5分）在正方形ABCD中，∠BAD=90°．∴∠BAF+∠3=90°．∴∠BAF+∠4=90°．∴∠EAF=90°．（6分）∴△EAF是等腰直角三角形．∴EF2=AE2+AF2．∴EF2=2AE2．（7分）∴EF= AE．（8分）即DE-DF= AE．∴DE-BE= AE．（9分）（3）BE-DE= AE．理由如下：（12分）在BE上取点F，使BF=DE，连接AF．易证△ADE≌△ABF，∴AF=AE，∠DAE=∠BAF．（5分）在正方形ABCD中，∠BAD=90°．∴∠BAF+∠DAF=90°．∴∠DAE+∠DAF=90°．∴∠EAF=90°．（6分）∴△EAF是等腰直角三角形．∴EF2=AE2+AF2．∴EF2=2AE2．（7分）∴EF= AE．（8分）即BE-BF= AE．∴BE-DE= AE．（9分）点评：本题主要考查圆周角定理，全等三角形的判定及勾股定理，难度适中．答题：wdyzwbf老师7、如图①，在直角坐标系中，点A的坐标。