同济高数第十章第二节.ppt

复习：复习：n若数列递增有上界，则数列收敛，即单调有界若数列递增有上界，则数列收敛，即单调有界数列数列必有极限必有极限常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念:正项级数、交错级数、任意项级数正项级数、交错级数、任意项级数基本审敛法基本审敛法2024/9/71第二节第二节 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛（任意项级数（任意项级数））2024/9/72一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法定义定义: :这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数. .正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件定理定理1 1部分和数列部分和数列 为单调增加数列为单调增加数列. . 正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界  2024/9/73v定理2(比较审敛法) 证明证明即部分和数列有界即部分和数列有界不是有界数列不是有界数列定理证毕定理证毕.比较审敛法的不便比较审敛法的不便:须有参考级数须有参考级数. 2024/9/74•推论 2024/9/75解解由图可知由图可知2024/9/76重要参考级数重要参考级数: : 几何级数几何级数, P-, P-级数级数, , 调和级数调和级数. .离散问题连续化：离散问题连续化：2024/9/77证明证明2024/9/78定理定理3 3 （比较审敛法的极限形式）（比较审敛法的极限形式）设设å å  1nnu与与å å  1nnv都是都是正项正项级级数数, , 如果如果则则(1) (1) 当当时时, , 二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性; ; (2) (2) 当当时，若时，若收敛收敛, , 则则收敛收敛; ; (3) (3) 当当时时, , 若若å å  1nnv发散发散, , 则则å å  1nnu发散发散; ;2024/9/79证明证明由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论, 得证得证.2024/9/7102024/9/711解解原级数发散原级数发散.故原级数收敛故原级数收敛.2024/9/712收收敛敛  当当  1(或或 )时时级级数数发发散散  当当  1时时级级数数可可能能收收敛敛也可能发散也可能发散  定理定理5(比值审敛法或比值审敛法或 达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法) 证明证明2024/9/713收敛收敛发散发散2024/9/714比值审敛法的优点比值审敛法的优点: 不必找参考级数不必找参考级数. . 两点注意两点注意:2024/9/7152024/9/716解解2024/9/717比值审敛法失效比值审敛法失效, 改用比较审敛法改用比较审敛法2024/9/718级数收敛级数收敛.2024/9/719所以所以  根据根值审敛法可知所给级数收敛根据根值审敛法可知所给级数收敛  因为因为 解解 例例6判别下列正项级数的敛散性判别下列正项级数的敛散性1）1）2）2）因为因为 所以所以  根据根值审敛法可知所给级数收敛根据根值审敛法可知所给级数收敛  2024/9/720二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法定理定理7(7(莱布尼茨定理莱布尼茨定理) ) (1)un un 1(n 1  2  3       )  则级数收敛则级数收敛  且其和且其和0   s u1  其余项其余项rn的绝对值的绝对值|rn| un 1  定义定义: : 正、负项相间的级数称为交错级数正、负项相间的级数称为交错级数. .2024/9/721证明证明2024/9/722满足收敛的两个条件满足收敛的两个条件,定理证毕定理证毕.2024/9/723解解原级数收敛原级数收敛.2024/9/724三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛证明证明上定理的作用：上定理的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数2024/9/7252024/9/726解解故由定理知原级数绝对收敛故由定理知原级数绝对收敛.2024/9/7272024/9/728小结小结正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数审审敛敛法法1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;2024/9/729思考题思考题2024/9/730思考题解答思考题解答由比较审敛法知由比较审敛法知 收敛收敛.反之不成立反之不成立.例如：例如：收敛收敛,发散发散.2024/9/731。