第六节ARIMAX模型.docx

第六章ARIMAX模型一、ARIMAX模型的概念有时考虑其它序列对一个时间序列的影响，如太阳黑子对某地区降雨量的影响，石油 价格对股价的影响带有输入序列的一般ARIMA模型也称为ARIMAX模型Box和刁锦寰提 出ARIMAX模型例子1) 9.11事件对道琼斯指数的影响2) 广告对销售量的效应3) 美国月批发物价指数对零售价指数的影响4) 1960年前后时间XI、冬季X2、夏季X3对臭氧数据Yt5) 固有股减少XI、道琼斯指数X2、石油价格X3对上证指数 数学模型设x(i) , 是时间序列，(i=1,…,k)V(2) B j X (2) + +jt j tj=0 j=0jt j=00 (B) a平(B) t其中 0(B) = 1 -01 B 0 Bq,甲(B) = 1 —甲］B 甲 Bp称为传递函数模型，平称为输入因子(干预因子)，yt称为输出因子XtXtxt(k).+迪a平(B) t注：为减少参数个数，通常考虑简化为:y ”0^x(1) + .・. + 0^Bt %(B) t 甲 k (B),0 (B) =0 (i) -0 (i) B 0 (i) Bq.甲(B)=甲(i)-甲(i) B 甲(i) Bp,其中 i 0 1 q. i 0 1 p.(i=1, ,k)=称上述模型为ARIMAX模型，又称为带有干预序列的ARIMA模型或动态回归模型。

这个 模型把相应序列表示为随机波动的过去值和其它序列(称为输入序列)的过去值的结合响 应序列也称为相依序列或输出序列，输入序列也称为独立序列或预测因子序列二、两个独立滑动平均过程之和七它是阶数分别为q1 q2的两个独立平均过程之和即 w =01( B)a +0 2( B)ba,七均是均值为零的白噪声且相互独立记 q = max{q1, q} 可得wt的自相关函数数｝ 当 j>q时为零故wt可表示成q阶的单一滑动平均过程wt =93(B)u u为零均值白噪声(证明可参考Hamiton《时间序列分析》)三、附加噪声对一般模型的影响考虑 ARIMA(p,d,q) 8(B)Vdz =0(B)a设zt本身不可观测，只能观测到bt表示有关的附加的噪声，则对e(B)VdZ =0 (B)a +e (B)V db若对b有b满足4人心(p1,0, q1)即 e1(B)bt =01(B)a则有 e1(B)e (B)VdZ =e1( B)0 (B)a +e( B )01( B)Vd aP = p + p , Q = max{ p + q, p + q + d}e (B)Vdz =0 (B)u2 t 2 tARIMA( P, d, Q)四、带有回归项和时间序列误差的模型W = P X +P X +... + P X + N (t = 1,2,...,n)t 1 t] 2 I? k tk tXt1...Xk为解释变量，而误差N是一个ARMA(p,q)，e(B)N.=$(B)at生成。

该式可以写为：W = X& + V,V = cov(N)在传统模型中我们有V =b 2I，P的最小二乘估计为(3 = (XX)-1XW，并具有性质cov(B) = b2(XX)-1但在自相关误差的情形下，这种性质不再成立 此时最小二乘估计的协方差阵为cov(P ) = b2( X X)-1X VX (X X)-1因此一般的样本性质和统计推断的方=1法，如关于估计的通常标准差公式，t-统计量及置信区间等就不再有效例：w = P x + N , N = (1 — 0b)a，t 1 t t t tN 的子协方差为Y0 = (1 + 02)Q:,y 1 = —0b：P 1 的最小二乘估计为P] 广知/£x2，t=1 t=1它的方差为:Ax x—t^i （乙 2）2tt=i希 X VX 丫 0 八+ 2丫var（ p1） = = ―t=i（乙 x 2）2t t=iJ 0 [i + 2 p r （x）]（乙 2）2 1 1tt=i如果模型中误差N为不相关的t我们会取p = 0,而这会引起明显的错误推断i当对时间序列数据拟合回归模型时，总是需要考虑误差项存在自相关的可能性的通常，对于误差N识别一个恰当模型的可行方法是首先得出最小二乘估计6,然后再得到相应的 t回归模型的残差N = w-6 x +E x +...+E xt t i \ 2 ?2 k 1^这个残差序列可以用通常的时间序列方法来考察，这样可以对误差项建立一个实验性的模 人 ，一一、 一…型。

6 = (XX)-1XW是渐近最优的，由此计算的自相关、偏相关等也是渐近最优的而一般最优的线性估计，也称为广义最小二乘估计为6 = (X VX)-iX V-1WG在实际中，根据噪声项吒确定具体的ARMA模型，可以确定N协方差V的具体形式，并可找到一个下三角阵P'，使得PVP = 61,V = PP'/6令W* = PW, X* = PX得到广 a a义最小二乘估计为6 = (X*/X*)-iX*/W*因为N的时间序列模型中的参数奴是未知G t i i的，所以必须在计算p和极大似然估计以及模型中的参数8,0之间迭代G i i(BOX JENKINS p4i5-420)三、附加噪声的传递函数模型干扰或噪声》'和X.的水平独立，且添加到有关X的影响上，它们可以写成干预序列Y =5 (B)s( B) BbX + N如果噪声模型可以用ARIMA(p,d,q)过程表示N =p-i( B )0 (B )a t t这里当是白噪声，则模型最终可以写成：Y =5 (B)s( B) BbX +甲-i( B)0 (B)a(X ,Y),t = i,2,...,N互协方差和互相关系数一般地，一个双变量随机过程无须是平稳的，但适当进行差分后的过程(七,七)是平稳 的，这里x = %x,七=齐匕。

Y (k) = E[(x 一旦)(x 一旦)]xx t x t+k xY (k) = E[( y -日)(y -日)]yy t y t+k yY (k) = E[(x 一日)(y 一日)]xy t x t+k yY (k) = E[(y 一日)(x 一日)]yx t y t + k x一般 Y (k) "Y (k)，但 Y (k) "Y (—k)xy yx xy yx称之为互协方差，和互相关系数P (k) = Yxy(k)xy b b一般Px (k) "Px(—k)，它关于k = 0不是对称的P470)互协方差和互相关的估计假设对原始的输入输出序列作了 d次差分后有n=N-d对数值(％,七)，那么滞后k互协 方差系数的估计值为：-区(x^ - x)(y^^ - y),k = 0,1,2,...c (k) = < t =1-£(y - y)(x — x),k = 0,-1,-2,...n t t+ki t=1r (k) = x^/ ,k = 0,±1,±2,...xy s s传递函数模型的识别对预白噪化输入的传递函数模型的识别如果系统的输入是白噪声，则识别过程将很大程度被简化假设适当差分后的输入过程是平稳的，并且可由 ARMA模型来描述，那么可以对x用通常的识别和估计方法得到t一个模型：0-1(8冲(B)x =a该式把相关的输入序列转化为非常接近不相关的白噪声气。

同时我们可以由气的平方和得 到b 2的估计s2如果我们对yt使用同样的变换得到：B广0「(B)% (B) yt 则原模型可以写为：P = v( B)a +£其中转换后的噪声序列有£广0「( B)% (B)nt将上式两边同时乘以a 并取数学期望，我们得到： t—ky p (k) = vk^2于是 v =yap (k) = Pae (k咯 k b 2 b因此，将输入白燥化后，在白燥化输入和经相应变换的输出之间的互相关函数直接与脉冲相 应函数成正比在实际中我们并不知道理论互相关函数Pap(k)，故我们可以用其估计量替代：V =东(k)% k s a噪声模型的识别假设模型可以写成(如果必要，做适当的差分之后)y = v( B) x + nn =V dN用前面所述方法给出传递函数的初步估计后，噪声序列的估计由下式得到：n = y 一 B) xv(B)还可以用初步识别所确定的试用传递函数模型来替代于是n = y -c) -1(B)co(B)xn的计算：V ' 一、 人'一、先通过8(B)y c6(B)x- b写为y = 8 y +...+8 y —金 x —...—co x 递推计算出 t 1 t—1 r t—r 1 t—b s t —b—s人 O' Z 人 Z … 一- 八 、 一y =8—1(B)CO(B)x ，然后由n = y — y计算噪声序列。

t t—b t t t噪声的识别还可以利用经过白燥化后的输入和输出的相关函数来进行，即按照下列方 法进行假如输入可以被完全白燥化，P = v( B)a +££ =0-1(B)e (B)n如果七可以找到一个随机模型，那么由上式可以对n，从而对气导出模型记u = v(B)a，便有P = u +£，同时由于给出了x ,n独立性的假设，从而u ,£也独立t t t t t t t t tYPP (k )=y uu (k) +Yss (k)由此计算得到Y (k),Y (k) uu ££模型识别后可以用条件平方和法进行参数的计算干预模型v W(B)BbY广质矿& t + Nt其中yt =6-1(B)W(B)B此t代表干预事件的影响N是噪声它表示在没有干预影响时序列丫的变化t一般可设N是一个ARIMA(p,d,q) 即甲(B)% =S(B)气干预序列分为脉冲式干预序列和持续式干预序脉冲式干预序列：持续式干预序列：& t一般有两种通用的形式t< Tt> T它表示在时刻T之后干预的影响仍保留下去的情形- |0② P(T)=

预白噪声：用途：①对非脉冲干预因子，有可能计算机不好计算②估计干预因子对应的传递函数的推移算子有关附加异常值与新息异常值模型1. 设Z七〜ARIMA (p,d,q)甲(B) Z =9( B)a若在时刻T附加异常值，则有Y = WP (t)+ Z = WP (t)+9(B)at t t t ©(B) t称之为附加异常值模型 (AO Model)2. 新息异常值(IO)模型Y =具2(WP(T)+ a ) ［〈〈统计诊断引论〉〉韦博成 东南大学出版社］t 9(B) t t第三节SAS实现计算一、 差分输入序列的差分由CROSSCORR=选项来指定，并且如同相应序列的差分那样工作例如 Identify=var=y(1) crosscorr=(x1(1) x2(1))表示对Y作一阶差分，对X1,X2作一阶差分，在随后的ESTIMATE语句中，任何在INPUT=选 项中用到X1和X2时，这些名字指差分序列二、 使用输入序列为了使用输入序列的过。