惯性矩、截面系数、弯矩图计算公式汇总.pdf

附录 1 截面图形的几何性质 提要：不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于外力的大小以及杆件的尺寸， 而且与杆件截面的几何性质有关当研究杆件的应力、变形，以及研究失效问题时，都要 涉及到与截面形状和尺寸有关的几何量这些几何量包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半 径、极惯性矩、惯性积、主轴等，统称为“平面图形的几何性质” 研究上述这些几何性质时，完全不考虑研究对象的物理和力学因素，作为纯几何问题 加以处理平面图形的几何性质一般与杆件横截面的几何形状和尺寸有关，下面介绍的几 何性质表征量在杆件应力与变形的分析与计算中占有举足轻重的作用 附 1.1 截面的静矩与形心 任意平面几何图形如图1.1 所示在其上取面积微元dA，该微元在zOy坐标系中的 坐标为 z、y设静矩为 ，则有： 图1.1 静矩的概念 dyASz A=∫，dzASy A=∫(附 1.1) 静矩的量纲为长度的 3次方 由于均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标Cz和Cy则 dCyAA zzAS⋅=⋅=∫由此可得薄板重心的坐标Cz为 dyA Cz ASzAA==∫同理有 z CSyA= S材料力学 ·260· ·260· 图1.2 例 1.1 所以形心坐标 y CSzA=，z CSyA= (附1.2) 或 yCSAz=，zCSAy= 由式(附1-2)得知，若某坐标轴通过形心轴，则图形对该轴的静矩等于零，即0Cy=，0zS=；0Cz=，则0yS=；反之，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心。

静矩与所选坐标轴有关，其值可能为正，负或零 如一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图形设第i块分图形的 面积为iA，形心坐标为 ,CiCiyz ，则其静矩和形心坐标分别为 1nziCi iSA y==∑，1nyiCi iSAz==∑ (附1.3) 11niCi iz Cni iA ySyAA====∑∑，11niCi yi Cni iAzSzAA====∑∑(附1.4) 【例附 1.1】 求图1.2所示半圆形的,yzSS及形心位置 解：由对称性，0Cy =，0zS =现取平行于y轴的狭长条作为微面积dA 22d2 d2dAy zRzz==− 所以 dyASz A=∫223022d3RzRzzR=⋅−=∫4 3y CSRzA==π【例附 1.2】 确定形心位置，如图1.3所示 图1.3 例 1.2 解：将图形看作由两个矩形Ⅰ和Ⅱ组成，在图示坐标下每个矩形的面积及形心位置分 别为 矩形Ⅰ： 1120 101200A =×=mm2 附录 1 截面图形的几何性质 ·261··261·11052Cy==mm，1120602Cz== mm 矩形Ⅱ： 270 10700A =×=mm2 27010452Cy=+=mm，11052Cz== mm 整个图形形心C的坐标为 112212 1200570045 1200700 19.7mmCC CA yA yyAA+=+×+×=+ =112212 1200607005 1200700 39.7mmCC CA zA zzAA+=+×+×=+ =附 1.2 惯性矩与惯性积、极惯性矩 (1) 惯性矩定义为平面图形内各点对某坐标轴的平方的矩次矩，如图附1.4所示。

图 1.4 惯性矩、惯性积、极惯性矩的概念 2d yAIzA=∫，2d zAIyA=∫ (附1.5) 惯性矩的量纲为长度的4次方，恒为正 组合图形的惯性矩设,yiziII为分图形的惯性矩，则总图形对同一轴惯性矩为 1nyyi iII==∑，1nzzi iII==∑ (附1.6) (2) dyzAIyz A=∫ (附1.7) 惯性积的量纲为长度的4次方yzI可能为正，为负或惯性积的定义为：为零若y，z轴中有一根 轴为对称轴，则其惯性积为零材料力学 ·262· ·262· (3) 若以ρ表示微面积dA到坐标原点O的距离,则定义图形对坐标原点O的极惯性矩 2d pAIAρ=∫ (附1.8) 因为 222yzρ=+ 所以极惯性矩与(轴)惯性矩有如下关系 ()22dpyzAIyzAII=+=+∫(附1.9) 式(附1.9)表明，图形对任意两个互相垂直轴的(轴)惯性矩之和，等于它对该两轴交点的 极惯性矩 (4) 定义下式 y yIiA=，z zIiA= (附1.10) 为图形对y轴和对z轴的惯性半径 【例附 1.3】 试计算图1.5(a)所示矩形截面对其对称轴(形心轴)x和y的惯性矩。

(a) (b) 图1.5 例 1.3 解：先计算截面对x轴的惯性矩xI取平行于x轴的狭长条(图(a)作为面积元素，即 ddAb y=)，根据公式(附1.5)的第二式可得 3 2222dd12hhxAbhIyAbyy −===∫∫同理在计算对y惯性矩yI时可以取ddAh x=(图(a))根据公式(附1.6)的第一式，可得 23 222dd12hhyAb hIxAhxx −===∫∫若截面是高为 的平行四边形(图(b))则它对于形心的惯性矩同样为312xbhI = 【例附 1.4】 求如图1.6所示圆形截面的 ,,,yzyzpIIII h为：附录 1 截面图形的几何性质 ·263··263·图 1.6 例 1.4 解：如图所示取dA，根据定义， 4 222222πd2d64DDyADIzAzRzz −==⋅−=∫∫由于轴对称性，则有 yzII=4π 64D= 0yzI= 由公式(附1.9) 4π 32pyzDIII=+= 对于空心圆截面，外径为D，内径为d，则 ()4 4π164yzDIIα==− d Dα= 4 4π(1)32pDIα=− 【例附 1.5】 求图1.7所示三角形图形的yI及yzI。

图 1.7 例 1.5 材料力学 ·264· ·264· 解：取平行于y轴的狭长矩形，由于ddAyz=⋅，其中宽度y随z变化，byzh= 则 3 230dd4hyAbbhIzAzzh===∫∫由dyzAIyzA=∫，如图所示，可得 220d28hyzyb hIzy z==∫【例附 1.6】 组合图形如下所示，试确定其形心图1.8 例 1.6 解：取对称轴形心位置与所选坐标系无关 组合板块1： 11 11 1210020mm10100110mm2CAbhhyh==×=+=+=组合板块2： 2222 220 100mm10050mm22CAb hhy==×===组合截面的形心为11221280mmiCiCC C iA yA yA yyAAA+===+∑ ∑即形心位置为： 80mm,0CCyz== 附 1.3 平行移轴公式 附 1.3.1 平行移轴公式 由于同一平面图形对于相互平行的两对直角坐标轴的惯性矩或惯性积并不相同，如果 其中一对轴是图形的形心轴()CCyz,时，如图1.9所示，可得到如下平行移轴公式 100mm20mm附录 1 截面图形的几何性质 ·265··265·图1.9 平行移轴公式 22CCC Cyyzzyzy zIIa AIIb AIIabA⎧=+ ⎪⎪=+⎨ ⎪=+⎪⎩(附1.11) 简单证明之： ()2222ddd2ddyCCCAAAAAIzAzaAzAazAaA==+=++∫∫∫∫∫其中dCAzA∫为图形对形心轴Cy的静矩，其值应等于零，则得 2CyyIIa A=+ 同理可证(附1.11)中的其他两式。

此即关于图形对于平行轴惯性矩与惯性积之间关系的移轴定理其中，式(附1.11) 表明： (1) 图形对任意轴的惯性矩，等于图形对于与该轴平行的形心轴的惯性矩，加上图形 面积与两平行轴间距离平方的乘积 (2) 图形对于任意一对直角坐标轴的惯性积，等于图形对于平行于该坐标轴的一对通 过形心的直角坐标轴的惯性积，加上图形面积与两对平行轴间距离的乘积 (3) 因为面积及a2、b2项恒为正，故自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增 加的 a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，故二者同号时为正，异号时为负所以， 移轴后惯性积有可能增加也可能减少 结论：同一平面内对所有相互平行的坐标轴的惯性矩，对形心轴的最小在使用惯性积移 轴公式时应注意a，b的正负号 【例附 1.7】 试求图示r=1m的半圆形截面对于轴x的惯性矩，其中轴x与半圆形的底边 平行，相距1 m 材料力学 ·266· ·266· 图 1.10 例 1.7 44ππ 1288dr= 用平行轴定理得截面对形心轴x0的惯性矩 2424448 82389xorrrrrIπππ⎛⎞=−=−⎜⎟ππ⎝⎠再用平行轴定理，得截面对x轴的惯性矩 424234 24848(1)2389239xxorrrrrrrIIπππ=++=−+++πππ附 1.3.2 组合截面的惯性矩和惯性积 工程计算中应用最广泛的是组合图形的惯性矩与惯性积，即求图形对于通过其形心的 轴的惯性矩与惯性积。

为此必须首先确定图形的形心以及形心轴的位置 因为组合图形都是由一些简单的图形(例如矩形、正方形、圆形等)所组成，所以在确 定其形心、形心主轴以至形心主惯性矩的过程中，均不采用积分，而是利用简单图形的几 何性质以及移轴和转轴定理一般应按下列步骤进行 将组合图形分解为若干简单图形，并应用式(附1.5)确定组合图形的形心位置以形心 为坐标原点，设xOy坐标系x、y轴一般与简单图形的形心主轴平行确定简单图形对自身 形心轴的惯性矩，利用移轴定理(必要时用转轴定理)确定各个简单图形对x、y轴的惯性矩 和惯性积，相加(空洞时则减)后便得到整个图形的 Ix、Iy和 Ixy 【例附 1.8】 确定下列图形的形心位置，并计算平面图形对形心轴yC的惯性矩 zcyyc1yc yc2CC1C2No14bNo20bOzo1h zc图1.11 解：半圆形截面对其底边的惯性矩是附录 1 截面图形的几何性质 ·267··267·解：(1) 查型钢表得 槽钢No14b 24 11121.316cm 61.1cm 1.67cmyCoAIz=== 工字钢No20b 24 2239.578cm 2 500cm 20cmyCAIh=== (2) 计算形心位置。

由组合图形的对称性(对称轴是zC轴)知： yC=0 11221221.316(1.6720)39.578 10 21.31639.57814.09cmcc CAzAzzAA⋅+⋅×++×==++=(3) 用平行移轴公式计算各个图形对yC轴的惯性矩 22 1)111461.1(1.672014.09)21.3161 285.8cmyCyCIICC A=+=++−×=22 2)2242 500(14.0910)39.5783 162.1cmyCyCIICO A=+=+−×=(4) 求组合图形对yC轴的惯性矩 4 1)2)4 447.9cmyCyCyCIII=+= 11221221.316(1.6720)39.578 10 21.31639.57814.09cmCC CAzAzzAA⋅+⋅×++×==++=【例附 1.9】 计算下列图形对y、z轴的惯性积 z 4040 1010y O 12图 1.12 解：将图形分成1、2两部分 121240101040000104d(d d )(d d )dddd40 00037 50077 500mmyz AAAAIyz Ayzy zyzy zy yz zy yz z+==+=+=+=∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫材料力学 ·268· ·268· 附 1.4 转 轴 公 式 任意平面图形(图1.13)对y轴和z轴的惯性矩和惯性积，可由式(附1.5)～式(附1.9)求得，若将坐标轴y，z绕坐标原点O点旋转α角，且以逆时针转角为正，则新旧坐标轴之。