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知识讲解_余弦定理_提高余弦定理编稿：张希勇 审稿：李霞【学习目标】1. 掌握余弦定理的内容及证明余弦定理的向量方法；2. 熟记余弦定理及其变形形式，会用余弦定理解决两类根本解三角形问题；3.通过三角函数，余弦定理，向量的数量积等知识间的联系， 理解事件之间的联系与辨证统一的关系 .【要点梳理】要点一、学过的三角形知识1. ABC中〔1〕一般约定：ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c；〔2〕ABC1800；〔3〕大边对大角，大角对大边，即BCbc；等边对等角，等角对等边，即BCbc；〔4〕两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即acb，acb.2.RtABC中，C900，〔1〕BA900，〔2〕a2b2c2a，sinBb1；〔3〕sinA，sinCcccosAbacosC0，cosB，cc要点诠释：初中讨论的三角形的边角关系是解三角形的根本依据要点二、余弦定理及其证明三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即：a2b2c22bccosAb2a2c22accosBc2a2b22abcosC余弦定理的推导：ABC中，BCa，ACb及角C，求角C的对应边c.证明：方法一：向量法（ 1〕锐角ABC中〔如图〕，∵ ACCBAB，∴ABAB(ACCB)(ACCB)22CBAC2ACCB|AC|22|CB||AC|cos(C)|CB|2b2 2bacosC a2即：c2a2b22abcosC(*)同理可得：b2a2c22accosB,a2b2c22bccosA要点诠释：〔1〕推导〔*〕中，AC与CB的夹角应通过平移后得到，即向量的起点应重合，因此AC与CB的夹角应为C，而不是C.〔2〕钝角三角形情况与锐角三角形相同。

〔3〕对于直角三角形中 C 时，cosC 0, c2a2b2，也满足余弦定理2方法二：几何法（ 1〕当ABC为锐角三角形时如图，作BC边上的高AD根据勾股定理有：AC2AD2CD2，AB2AD2BD2，∵RtADC中，CDACcosC，∴AB2(AC2CD2)BD2AC2(ACcosC)2(CBCD)2b2b2cos2C(abcosC)2= b2a22abcosC即：c2 a2 b2 2abcosC.（ 2〕当ABC为钝角三角形且C为钝角时如图，作BC边上的高AD根据勾股定理有：AC2AD2CD2，AB2AD2BD2.∵RtADC中，CDACcos(C)ACcosC，∴AB2(AC2CD2)BD2AC2(ACcosC)2(CBCD)2b2b2cos2C(abcosC)2b2a22abcosC即：c2a2b22abcosC仍然成立〔3〕在直角ABC中，当C时，cosC0,c2a2b2，也满足余弦定理2方法三：解析几何方法——利用两点间距离公式这里我们只讨论锐角三角形的情形，对于直角三角形和钝角三角形的情形的讨论相同如下图建立坐标系 .那么点A(0,0)，B(c,0)，C(bcosA,bsinA)由B、C两点间的距离可知， |BC| (bcosA c)2 (bsinA 0)2即ab2c22bccosA整理得到a2b2c22bccosA.余弦定理的变形公式：cosAb2c2a2,cosBa2c2b2,cosCa2b2c22bc2ac2ab要点三、利用余弦定理解三角形1. 利用余弦定理可以解决以下两类三角形的问题：①三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；②三角形的三条边，求其三个角。

要点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一 .2. 解斜三角形的根本问题：条件解法解的情况一边和两角1．利用A+B+C=180，求A〔例如a,B,C)2．应用正弦定理求b,c唯一解两边和夹角1．应用余弦定理求边c〔例如a,b,C〕2．应用正弦定理求a,b中较短的边所对的角〔该角一定是锐角〕唯一解3．利用A+B+C=180，求第三个角.三边法一:1、应用余弦定理先求任意两个角〔例如a,b,c)2．用A+B+C=180，求第三个角唯一解法二:1、应用余弦定理求a,b,c中最长边所对的角2、应用正弦定理求余下两个角中的任意一个〔该角一定是锐角〕3、利用A+B+C=180，求第三个角两边及其中一此类问题首先要讨论解的情况边的对角1．应用正弦定理，求另一边的对角〔即角B〕两解、一解或〔例如a,b,A)2、利用A+B+C=180，求第三个角无解3、应用正弦或余弦定理求第三边要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解比方下面例2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论此外，有的时候还要对边角关系〔例如，大边对大角〕进行讨论从而舍掉不合理的解。

4、判断三角形形状余弦定理、正弦定理与三角形中的三角变换结合在一起，运用三角函数的变换公式进行三角函数式的变形转化，在三角形中，解决有关含有边角关系的问题时，可以运用余弦定理完成边角互化，通过变形转化成三角形三边之间的关系，判断三角形的形状 .判断三角形形状有两条思考路线： 其一是化边为角， 再进行三角恒等变换， 求出三个角之间的关系式；其二是化角为边，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系式，两种转化主要应用正弦定理和余弦定理 .【典型例题】类型一：余弦定理的简单应用：例1．〔2021 凉山州模拟改编〕在 ABC中，角A,B,C所对的三边长分别为 a,b,c，假设a:b:c 1:2: 7，求 ABC中最大的角．【思路点拨】三角形三边或三边的比例，一般首先考虑用余弦定理解析】设 a k，b 2k，c 7k，k 0，边c对应的角最大根据余弦定理得：cosCk24k27k21，2k2k2∵0C180，C1200【总结升华】1. ABC中，假设知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；2. 用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.举一反三：【变式1】ABC中a3,b5,c7,求角C.【答案】根据余弦定理：cosCa2b2c25232721，2ab2352∵0C180，∴C120o【变式2】〔2021兰州模拟〕ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,假设b2ac,c2a，那么cosC=【答案】b2ac,c2a,bac2a22a，那么cosCa2b2c2a22a24a222ab22a24【高清课堂：余弦定理题一】【变式3】在ABC中，假设a2b2c2bc，那么角A等于〔〕.A.3B.C.2D.或26333【答案】∵b2c2a2bc，∴cosAb2c2a212bc2∵A2，2∴A3类型二：余弦定理的综合应用例2．〔2021天津高考文〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.△ABC的面积为315，b－c=2，cosA1.4〔Ⅰ〕求a和sinC的值；〔Ⅱ〕求cos(2A)的值.6【答案】〔Ⅰ〕81515738〔Ⅱ〕16【思路点拨】本小题主要考查同角三角函数的根本关系、二倍角的正弦、余弦公式、两角和的余弦公式以及正弦定理、余弦定理等根底知识 .【解析】〔Ⅰ〕在△ABC中，由cosA1，可得sinA15.由SABC1bcsinA315，得bc=24，442又 b－c=2，解得b=6，c=4.由 。