高考数学命题热点名师解密专题：解三角形的方法（理）含答案解析.pdf

1 【学习目标】 掌握正、余弦定理，能利用这两个定理及面积计算公式解斜三角形，培养运算求解能力． 【方法总结】 1.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角). 2.由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也 较大，即 A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 3.已知三角形两边及其一边的对角解三角形时，利用正弦定理求解时，要注意判断三角形解的情况(存在两解、 一解和无解三种可能).而解的情况确定的一般方法是“大边对大角且三角形钝角至多一个”. 4.利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题： (1)已知三边，求三个角； (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其余角； (3)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角. (4)由余弦值确定角的大小时，一定要依据角的范围及函数值的正负确定. 【三角形解题方法类型】 （一）正余弦定理的灵活应用 例 1．在中，. （1）求角 的大小； （2）求的取值范围. 【答案】 （1） ；（2） 【解析】 （Ⅰ）由正弦定理，求得，再由余弦定理，求得，即可求解 的大小； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，得，化简，根据三角函数的图 象与性质，即可求解. 【详解】 （1）因为 , 由正弦定理，得， 2 由余弦定理， 又因为，所以 （Ⅱ）设. 在中，由余弦定理得 即 解得. ∴. ∴的面积. 练习 1．在△ABC 中，角 A，BC 的对边分别为 a，b，c，已知 a＝2，b＝，2sinC＝5sinA． （1）求 B； （2）求 BC 边上的中线长． 【答案】 （1）60°；（2）. 【解析】 （1）又 2sinC＝5sinA，利用正弦定理可得：2c＝5a，又 a＝2，解得 c．利用余弦定理即可得出 B； （2）利用余弦定理求出 BC 边上的中线即可． 练习 2．在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且. （1）求角 C 的大小； （2）若 A= ，△ABC 的面积为，M 为 BC 的中点，求 AM. 【答案】(1) (2) . 3 【解析】 （1）利用正弦定理，结合同角三角函数的关系化简已知的等式，得到三边的关系式，再利用余弦定 理表示出的值，可求角 的大小；（2）求得，为等腰三角形，由三角形面积 公式可求出的值，再利用余弦定理可得出的值. (2)由（1）知，∴ ∴△ABC 为等腰三角形，即 CA=CB 又∵M 为 CB 中点 ∴CM=BM 设 CA=CB=2x 则 CM=BM=x ∴解得：x=2 ∴CA=4,CM=2 【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理以及三角形面积公式结合已知 条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. （三）面积的最值问题 例 3．在中，角 A,B,C 的对边分别为且. （1）若，且 ，求的值． （2）求的面积的最大值. 【答案】(1)(2) 【解析】 （1）由余弦定理可得，解得，又由且，联立方程组，即 可求解， 4 （2）由余弦定理，又由，求得，即可求解面积的最大值. 【点睛】本题主要考查了余弦定理、基本不等式的应用，其中解答中合理利用余弦定理，得到的关系， 再利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 练习 1．已知△ABC 的内角 A，B，C 满足． （1）求角 A； （2）若△ABC 的外接圆半径为 1，求△ABC 的面积 S 的最大值． 【答案】 （1） ; （2） . 【解析】 （1）利用正弦定理将角化为边可得，再由余弦定理即可得 ； 练习 1．在△ABC 中，a,b,c 分别是内角 A,B,C 的对边，已知(sinA+sinB)(a+b)=c·(sinC+sinB). （1）求角 A； （2）若，求△ABC 周长的取值范围。

【答案】 （1）；（2） 【解析】 （1）利用正弦定理将题目所给方程转化为边的形式，再利用余弦定理化简，可求得角 的余弦值， 并求得角 的大小.（2）先利用余弦定理得到，利用基本不等式求得，由此求得周长 的最大值.再根据三角形两边的和大于第三边，求得周长的范围. 5 （五）三角形与三角函数综合 例 5．已知向量，函数. （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）在中，角对边分别是，且满足，求的取值范围. 【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 【解析】 (Ⅰ)利用三角恒等变换化简得出， 通过配凑角的方法即可得出的值. (Ⅱ)由，结合余弦定理即可得出从而，得出 B 的范围即可求得 的取值范围. (Ⅱ)由，得 6 , 从而得 故 【详解】 （1） 令，，解得；，； 所以函数的单调递増区间为，. （2），. ，，，即. 由得， 又由余弦定理得， 解得. 【点睛】题目条件给出的向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角 函数的关系，然后求解，对于面积公式，一般考查哪个角就使用哪一个公式， 与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化 （六）角的范围问题 例 6．在锐角三角形 ABC 中，A＝2B，a，b，c 所对的角分别为 A，B，C，求 的取值范围． 【答案】 【解析】由已知及正弦定理可解得2cosB，由，可得B，解得 cosB 的范围，即可解得 的取 值范围． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，余弦函数的图象和性质的应用，熟练掌握正弦 定理，余弦函数的图象和性质是解题的关键，属于中档题． 7 练习 1．已知的内角的对边分别为,且 2acosC＋c＝2b. （1）若点在边上,且,求的面积； （2）若为锐角三角形,且,求的取值范围. 【答案】 （1）（2） 【解析】(1) 2acosC＋c＝2b，由正弦定理化简得 A＝ .再利用正弦定理求出 AB=4，利用余弦定理求出 AM=5，最后求三角形的面积.(2)先利用余弦定理求出 a=2,再利用正弦定理得到再求出 ，再求出函数的值域,得到的取值范围. （2）由 A＝ 知,. 又∵， 所以 由正弦定理, 则 由△ABC 为锐角三角形,则 所以 b+c=4sin,即 b+c 的取值范围为. 【点睛】 （1）本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角函数的图像和性质， 意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解 答，求复合函数的最值，一般从复合函数的定义域入手，结合三角函数的图像一步一步地推出函数 8 的最值. （2）由（1）得． 由正弦定理得， 即． 因为 、， 所以 或 ， 即 或，即或． 所以 知等腰三角形或直角三角形． 当时， ，所以； 当时，，所以 ． 练习 1．已知向量，，且函数． （1）若，求的值； （2）在中，且，求面积的最大值． 【答案】 （1）；（2）． 【解析】 （1）根据向量数量积的坐标运算可得，利用正角函数的二倍角公式即可求解（2）由 ，可得，再根据余弦定理及均值不等式得，即可求出三角形面积的最值. 9 （2）由题可得， 因为，所以， 又，所以． 在中，由余弦定理可得，即． 所以，当且仅当时等号成立， 故面积的最大值为． 练习 2．在中，角的对边分别是，且. （1）求角 的大小； （2）已知公差为的等差数列中，，且成等比数列，记，求数列 的前 项和. 【答案】 （1）；（2）. 【解析】 （1）由正弦定理可得，再根据三角函数恒等变换即可求出 ，又 为三角形的内角，可得（2）先求出等差数列，再根据裂项相消法求的前 n 项 和. （2）根据题意，因为平分， 所以，故， 变形可得，，则， 所以. 10 练习 1．在中，角所对的边分别是， 为其面积，若 （1）求角 的大小； （2）设的平分线交于 ，.求的值. 【答案】 （1） ；（2） 【解析】 （1）由余弦定理可得，代入题中条件即可得解； （2）在中,由正弦定理得，从而得，可得，再由 代入即可得解. 【详解】 （1）由得 得 练习 2．在中，角所对的边分别是， 为其面积，若. （1）求角 的大小； （2）设的平分线交于 ，.求的值. 【答案】：（1） (2) 11 【解析】 （I）由已知及余弦定理可求得 cosB=，结合范围 B∈（0，π） ，可求 B 的值． （II）由正弦定理可得 sin∠BAD，进而根据同角三角函数基本关系式可求 cos∠BAD，根据二倍角的正弦函 数公式即可求解 sin∠BAC 的值． 【详解】 （1）因为所，所以，,即,所以. (2)在中，由余弦定理，,由正弦定理，，以为所以,所以 , ,所以，, ,所以= 也可以由角分线定理，再用余弦定理解 （十）三角形的判断问题 例 10．在中，角的对边分别为，满足. (Ⅰ)求角 的大小； (Ⅱ)若，试求的面积的最大值，并判断此时的形状. 【答案】 （I）；（II）等边三角形. 【解析】 （I）由正弦定理可化条件为，利用三角恒等变换即可求解（II）利用余弦定理及 均值不等式可得，结合面积公式即可求出最值，根据等号成立条件知三角形形状. 练习 1．在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC (1)求角 A 的大小； (2)若 sinB＋sinC＝，试判断△ABC 的形状. 【答案】 （1）；（2）等边三角形. 【解析】 （1）利用余弦定理表示出 cosA，然后根据正弦定理化简已知的等式，整理后代入表示出的 cosA 12 中，化简后求出 cosA 的值，由 A 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的度数； （2）由 A 为 60°，利用三角形的内角和定理得到 B+C 的度数，用 B 表示出 C，代入已知的 sinB+sinC=中， 利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特 殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由 B 的范围，求出这个角的范围，利用特殊角的三角函数值求出 B 为 60°，可得出三角形 ABC 三个角相等，都为 60°，则三角形 ABC 为等边三角形． 【点睛】此题考查了三角形形状的判断，正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，等边三角形的判定， 以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 。