初一数学复习资料(很详细).doc
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新东方 [] 网络课堂电子教材系列 初一数学基础知识第一讲 和绝对值有关的问题一、 知识结构框图：数二、 绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零 也可以写成： 说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想三、 典型例题例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ A ） A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号这道例题运用了数形结合的数学思想，由a、b、c在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。
例2．已知：，，且， 那么的值（ C ）A．是正数 B．是负数 C．是零 D．不能确定符号解：由题意，x、y、z在数轴上的位置如图所示： 所以 分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题解：设甲数为x，乙数为y由题意得：， （1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若x在原点左侧，y在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6若x在原点右侧，y在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6（2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若x、y在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12若x、y在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12例4．（整体的思想）方程 的解的个数是（ D ）A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个分析：这道题我们用整体的思想解决。
将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D 例5．（非负性）已知|ab－2|与|a－1|互为相互数，试求下式的值．分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|ab－2|=|a－1|=0，解得：a=1,b=2于是 在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果．同学们可以再深入思考， 如果题目变成求 值，你有办法求解吗？有兴趣的同学可以在课下继续探究例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与，3与5，与，与3. 并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：____相等 .（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离可以表示为 ．分析：点B表示的数为―1，所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置那么点A呢？因为x可以表示任意有理数，所以点A可以位于数轴上的任意位置。
那么，如何求出A与B两点间的距离呢？ 结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论当x<-1时，距离为-x-1, 当-1
事实上， 表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（3）、（4）这两道难题 四、 小结1．理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性2．体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用第二讲：代数式的化简求值问题一、知识链接1． “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础 二、典型例题例1．若多项式的值与x无关，求的值.分析：多项式的值与x无关，即含x的项系数均为零因为所以 m=4将m=4代人，利用“整体思想”求代数式的值例2．x=-2时，代数式的值为8，求当x=2时，代数式的值分析： 因为当x=-2时， 得到，所以当x=2时，=例3．当代数式的值为7时,求代数式的值.分析：观察两个代数式的系数由 得 ，利用方程同解原理，得 整体代人，代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。
例4． 已知，求的值.分析：解法一（整体代人）：由 得 所以：解法二（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能由，得，所以： 解法三（降次、消元）：（消元、、减项） 例5．（实际应用）A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？分析：分别列出第一年、第二年、第n年的实际收入（元）第一年：A公司 10000； B公司 5000+5050=10050第二年：A公司 10200； B公司 5100+5150=10250第n年：A公司 10000+200(n-1）； B公司：[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50]=10050+200(n-1)由上可以看出B公司的年收入永远比A公司多50元，如不细心考察很可能选错例6．三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且，则 的值是_______ 解：因为abc<0，所以a、b、c中只有一个是负数，或三个都是负数又因为a+b+c>0，所以a、b、c中只有一个是负数。
不妨设a<0，b>0，c>0则ab<0，ac<0，bc>0所以x=-1+1+1-1-1+1=0将x=0代入要求的代数式，得到结果为1同理，当b<0，c<0时，x=0另：观察代数式 ，交换a、b、c的位置，我们发现代数式不改变，这样的代数式成为轮换式，我们不用对a、b、c再讨论有兴趣的同学可以在课下查阅资料，看看轮换式有哪些重要的性质规律探索问题：172839410511612例7．如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．（1）“17”在射线 ____上，“2008”在射线___________上．（2）若n为正整数，则射线OA上数字的排列规律可以用含n的代数式表示为__________________________．分析：OA上排列的数为：1，7，13，19，… 观察得出，这列数的后一项总比前一项多6， 归纳得到，这列数可以表示为6n-5因为17=3×6-1，所以17在射线OE上因为2008=334×6+4=335×6-2，所以2008在射线OD上例8． 将正奇数按下表排成5列: 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列第一行 1 3 5 7第二行 15 13 11 9第三行 17 19 21 23第四行 31 29 27 25 根据上面规律，2007应在A．125行,3列 B. 125行,2列 C. 251行,2列 D. 251行,5列分析：观察第二、三、四列的数的排列规律，发现第三列数规律容易寻找 第三列数： 3，11，19，27， 规律为8n-5 因为2007=250×8+7=251×8-1 所以，2007应该出现在第一列或第五列 又因为第251行的排列规律是奇数行，数是从第二列开始从小到大排列，所以2007应该在第251行第5列例9．（2006年嘉兴市）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：26134411第一次F②第二次F①第三次F②…若n＝449，则第449次“F运算”的结果是__________．。
