-元函数的连续性.ppt

§3 二元函数的连续性 无论是单元微积分还是多元微积分, 其中 所讨论的函数, 最重要的一类就是连续函数. 二元函数连续性的定义比一元函数更一般化 了些; 而它们的局部性质与在有界闭域上的整体性质, 二者完全相同.一、二元函数的连续性概念二、有界闭域上连续函数的性质返回返回一、二元函数的连续性概念※ 连续性的定义若只要, 就有则称 f 关于集合 D 在点 连续.在不致误解的情形 下, 也称 f 在点 连续. 若 f 在 D 上任何点都关于集合 D 连续,则称 f 为 D 上的连续函数. 定义义1 设设 f 为为定义义在点集上的二元函数, 由上述定义知道: 若 是 D 的孤立点,则 必定是 f 的连续点. 若 是 D 的聚点, 则 f 关于集合 D 在点 连续等价于 如果 是 D 的聚点, 而 (2) 式不成立 (其含义与一元函数的对应情形相同 ), 则称 是 f 的不连续点 (或 称间断点). 特别别当 (2) 式左边边极限存在, 但不等于 是 f 的可去间断点. 时,在坐标原点的连续性．因此 此时时 f 在原点连例1 讨论函数 解 由于当 续续; 而当 不存在， 此时时在原点间间断． ※ 全增量与偏增量 设量形式来描述连续性, 即当为函数 f 在点 的全增量. 和一元函数一样, 可用增 时, f 在点 连续. 如果在全增量中取 则则相应应得到的 增量称为偏增量, 分别记作一般说来, 函数的全增量并不等于相应的两个偏增量之和. 若一个偏增量的极限为为零, 如 则则表示当固定 时时, 作为为 x 的函数, 它 在 x0 连续连续 . 同理, 则则表示当 容易证明: 当 f 在其定义域的内点 连续时, 在 x0 与 在 y0 都连续连续 . 但是反过过来, 由二元函数对单个自变量都连续，一般不能保证该函数的连续性 (除非另外增加条件). 例如二元函数固定 时， 在 y0 连续连续 . 在原点处显然不连续, 但由于 f (0, y) = f (x, 0) = 0, 因此它在原点处对 x 和对 y 分别都连续. ※ 连续函数的局部性质 以及相应的有理运算的各个法则. 若二元函数在某一点连续, 则与一元函数一样, 可以证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性定理16.7 (复合函数的连续连续 性) 设设函数和 义, 并在点 Q0 连续, 其中 则复合函数 在点 P0 也 连续. 在点 的某邻邻域内有定义, 并在 点 连续; f (u, v) 在点 的某邻域内有定二、有界闭域上连续函数的性质本段讨论有界闭域上多元连续函数的整体性质. 这 可以看作闭区间上一元连续函数性质的推广. 定理16. 8 ( 有界性定理与最大、小值定理 ) 若二元 函数 f 在有界闭闭域上连续连续 , 则则 f 在 D上有界 , 且能取得最大值与最小值. 定理16.9 (一致连续性定理) 若函数 f 在有界闭域 上连续连续 , 则则 f 在 D 上一致连续连续 . 即存在只依赖赖于 的 使得对对一切满满足必有 的点定理16.10 ( 介值值性定理 ) 设设函数 f 在区域 上连续连续 , 若P1 , P2 为为 D 中任意两点, 且则对任何满足不等式的实数 , 必存在点, 使得有连通性的. 界闭集 (证明过程无原则性变化). 但是介值性定理 中所考察的点集 D 只能假设是一区域, 这是为了保 证它具有连通性, 而一般的开集或闭集是不一定具 续函数, 则 f (D) 必定是一个区间 (有限或无限). 注2 由定理16. 10 又可知道, 若 f 为区域 D 上的连注1 定理16. 8 与 16. 9 中的有界闭域 D 可以改为有 。