高中导数知识点总结PPT.pptx

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,8/1/2011,#,高中导数知识点总结,CATALOGUE,目录,导数的基本概念与性质,常见函数的导数公式及求导法则,导数的应用：单调性与极值问题,微分中值定理及其应用,泰勒公式与洛必达法则,曲线拐点与渐近线问题,01,导数的基本概念与性质,导数描述了函数值随自变量变化而变化的快慢程度，即函数在某一点处的切线斜率导数的定义,导数在几何上表示曲线在某一点处的切线斜率，反映了函数在该点的局部变化率导数的几何意义,导数的定义及几何意义,如果一个函数在某一点处可导，则该函数在该点处必定连续虽然连续函数在其定义域内处处连续，但并非所有连续函数在其定义域内都可导例如，绝对值函数在原点处连续但不可导可导与连续的关系,连续不一定可导,可导必连续,两个函数的和（或差）的导数等于这两个函数导数的和（或差）加法法则,两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第二个函数的导数乘以第一个函数。

乘法法则,两个函数的商的导数等于分子导数与分母乘积减去分母导数与分子乘积，再除以分母的平方除法法则,幂函数的导数等于幂指数乘以底数的幂减一次方再乘以底数的对数幂运算法则,导数的四则运算法则,02,常见函数的导数公式及求导法则,常数的导数,常数的导数为零一次函数的导数,一次函数$f(x)=ax+b$的导数为$f(x)=a$多项式函数求导法则,对多项式函数中的每一项分别求导，然后将结果相加多项式函数的导数,正弦函数$f(x)=sin x$的导数为$f(x)=cos x$正弦函数的导数,余弦函数$f(x)=cos x$的导数为$f(x)=-sin x$余弦函数的导数,正切函数$f(x)=tan x$的导数为$f(x)=sec2 x$正切函数的导数,如反正弦函数、反余弦函数、反正切函数的导数分别为$frac1sqrt1-x2$、$-frac1sqrt1-x2$、$frac11+x2$反三角函数的导数,三角函数及反三角函数的导数,指数函数的导数,指数函数$f(x)=ax$（$a0$，$aneq 1$）的导数为$f(x)=ax ln a$特别地，当$a=e$时，有$f(x)=ex$对数函数的导数,对数函数$f(x)=log_a x$（$a0$，$aneq 1$）的导数为$f(x)=frac1x ln a$。

特别地，当$a=e$时，有$f(x)=frac1x$指数函数与对数函数的导数,设函数$y=f(u)$和$u=g(x)$在相应区间内可导，则复合函数$y=fg(x)$的导数为$fracdydx=fracdydu cdot fracdudx$或$fracddxfg(x)=fg(x)cdot g(x)$复合函数的求导法则,对于隐函数，通常先将其转化为显函数形式，再利用显函数的求导法则进行求导若无法转化为显函数形式，则可通过对方程两边同时求导的方式来求解隐函数的导数隐函数的求导法则,复合函数与隐函数的求导法则,03,导数的应用：单调性与极值问题,导数与函数单调性的关系,当函数在某区间内可导时，若导数大于0，则函数在该区间内单调递增；若导数小于0，则函数在该区间内单调递减判断函数单调性的步骤,首先求出函数的导数，然后确定导数的符号，最后根据导数的符号判断函数的单调性利用导数判断函数的单调性,求函数最值的步骤,首先求出函数的导数，然后确定函数的单调区间和极值点，最后比较各极值和区间端点的函数值，得出函数的最值函数极值的定义,若函数在点x0处取得局部最大值或最小值，则称x0为函数的极值点，函数在x0处的值称为函数的极值。

求函数极值的步骤,首先求出函数的导数，然后令导数等于0求出可能的极值点，最后通过判断导数的符号变化来确定极值点的类型（极大值或极小值）函数最值的定义,函数在定义域内的最大值或最小值称为函数的最值求函数的极值与最值,通过构造函数并利用导数的性质（如单调性），可以求解一些不等式问题导数与不等式的关系,首先根据不等式构造函数，然后求出函数的导数并分析其性质（如单调性、极值等），最后利用这些性质解决不等式问题利用导数解决不等式问题的步骤,利用导数解决不等式问题,04,微分中值定理及其应用,罗尔定理,如果函数$f(x)$在闭区间$a,b$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且在区间端点处的函数值相等，即$f(a)=f(b)$，则至少存在一点$c in(a,b)$，使得$f(c)=0$拉格朗日中值定理,如果函数$f(x)$在闭区间$a,b$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，则至少存在一点$c in(a,b)$，使得$f(c)=fracf(b)-f(a)b-a$罗尔定理与拉格朗日中值定理,柯西中值定理及其推广形式,柯西中值定理,如果函数$f(x)$和$g(x)$在闭区间$a,b$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$g(x)neq 0$，则至少存在一点$c in(a,b)$，使得$fracf(c)g(c)=fracf(b)-f(a)g(b)-g(a)$。

推广形式,对于多个函数的情况，也有相应的柯西中值定理的推广形式通过构造适当的函数，利用微分中值定理可以证明某些等式或不等式成立证明等式或不等式,证明函数性质,求极限或渐近线,例如证明函数的单调性、凹凸性等性质时，可以运用微分中值定理进行推导在求某些复杂函数的极限或渐近线时，可以运用微分中值定理进行简化计算03,02,01,微分中值定理在证明题中的应用,05,泰勒公式与洛必达法则,VS,泰勒公式是用多项式逼近一个函数的方法，通过函数在某点的各阶导数值来构造多项式展开方法,泰勒公式的展开方法包括直接展开法、间接展开法和级数展开法其中，直接展开法是通过求导数和代入值得出多项式；间接展开法是利用已知函数的泰勒展开式推导出目标函数的展开式；级数展开法是将函数表示为无穷级数形式泰勒公式定义,泰勒公式及其展开方法,洛必达法则在求解极限中的应用,洛必达法则是求解$0/0$型和$infty/infty$型极限的一种有效方法，通过求导简化极限表达式洛必达法则定义,洛必达法则适用于分子分母同时趋于0或无穷大的极限问题，通过求导简化表达式，使问题得以解决应用场景,在实际问题中，可以将泰勒公式和洛必达法则结合使用，先用泰勒公式将函数展开为多项式形式，再利用洛必达法则求解极限问题。

在使用泰勒公式和洛必达法则时，需要注意它们的适用条件和范围，以及展开的精度和求导的准确性同时，还需要注意运算过程中的化简和整理，避免出现错误结合使用,注意事项,泰勒公式与洛必达法则的综合运用,06,曲线拐点与渐近线问题,判断曲线的拐点及凹凸性,拐点的定义,拐点是曲线上凹与凸的分界点，即曲线在该点处改变其凹凸性判断拐点的步骤,首先求出函数的二阶导数，然后令二阶导数等于0，解出对应的x值，最后通过判断二阶导数在x值左右两侧的正负来确定拐点凹凸性的判断,若在某区间内，函数的二阶导数大于0，则函数在该区间内为凹函数；若二阶导数小于0，则函数在该区间内为凸函数当曲线上的点无限远离原点时，曲线与某条直线的距离趋向于0，则该直线称为曲线的渐近线渐近线的定义,对于一般的函数y=f(x)，首先判断其是否存在水平渐近线或斜渐近线若存在，则分别求出对应的方程；若不存在，则进一步判断是否存在垂直渐近线求渐近线的步骤,水平渐近线、斜渐近线和垂直渐近线其中，水平渐近线的方程为y=常数，斜渐近线的方程为y=kx+b（k0），垂直渐近线的方程为x=常数渐近线的类型,求曲线的渐近线方程,拐点与函数图像的关系,拐点处的切线斜率不存在或为无穷大，因此拐点是函数图像上的尖点或折点。

通过判断拐点的位置和数量，可以分析函数图像的起伏和波动情况渐近线与函数图像的关系,渐近线是函数图像在无穷远处的逼近线，它反映了函数在无穷远处的变化趋势通过求出函数的渐近线方程并画出其图像，可以直观地了解函数在无穷远处的行为特征综合分析,结合拐点和渐近线的信息，可以对函数图像进行全面的分析例如，通过比较拐点和渐近线的位置关系，可以判断函数图像的起伏程度和变化趋势；通过观察拐点和渐近线的数量及分布情况，可以分析函数图像的复杂性和多样性利用拐点、渐近线分析函数图像特征,感谢您的观看,THANKS,。