伪旁切圆中的共点共线问题.doc

伪旁切圆中的共点、共线问题潘成华 田开斌笔者在研究曼海姆定理时.做了如下定义：对于△ABC.如果一个⊙P与其外切圆⊙O相外切.且分别与其两条边相切.则⊙P称为△ABC的一个伪旁切圆笔者在研究伪旁切圆的性质时.曾发现了一系列共点问题及其相关问题.此篇文章即是通过三个定理.将此类问题做一个贯穿和系统整理.敬请方家指教定理一：如图1.△ABC外接圆为⊙O.内切圆⊙I分别切三边于D、E、F.⊙P与⊙O外切于J.且分别切AB、AC于G、H.连接AD并延长交⊙P于K.则AJ=AK.且∠BAJ=∠CAD图1证明方法〔反演变换：根据⊙P关于AP对称知∠BAJ=∠CAD.则必然有AJ=AK所以下面我们只证明∠BAJ=∠CAD如图2.我们以点A为反演中心.以AE×AH为反演幂.则H、E互为反演点.F、G互为反演点.从而⊙P与⊙I互为反形设B的反演点为B’.C的反演点为C’.则⊙O的反形为直线B’C’.直线BC的反形即为△A B’C’的外接圆⊙Q因为BC与⊙P切于点J.所以B’C’与⊙P’〔即⊙I相切于J’.因为⊙I与BC相切于D.所以⊙I’〔即⊙P与⊙Q相切于D’.J’、D’分别为J、D的反演点又因为AB×AB’=AC×AC’=AE×AH.所以△ABC∽△AC’B’。

我们可以看出.原图形是由△ABC决定的.其反形是由△AB’C’决定的.且它们的结构方式相同又△ABC∽△AC’B’.所以原图形的反形与原图形反向相似于是知∠CAD=∠B’AJ’=∠BAJ另外.由于⊙P’与⊙I相等.所以原图形的反形与原图形反向全等.所以AB=AC’.AC=AB’.于是知AB×AC=AB×AB’=AE×AH 图2定理二：如图3.三角形ABC中.⊙、⊙是伪旁切圆.分别切⊙O于H、I⊙分别切CB、CA于D、E.⊙分别切BC、BA于F、GC交DE于J、B交GF于K.则DH、FI、JK三线交于弧BC的中点P.且P为JK中点图3证明：设弧BC的中点为P.我们先证明JK经过P.且P为JK中点.再证明DH和FI经过P首先用同一法证明JK经过点P如图4.连接JK交⊙O于.设△ABC内心为R.AR交⊙O于S.则S为劣弧BC中点由曼海姆定理知J、K为△ABC旁心.所以JK⊥AS.即A⊥AS.所以S为圆O直径.所以为优弧BC中点.即与P重合.即JK经过点P下面证明P为JK中点作JX⊥BC于X.KY⊥BC于Y.PS交BC于Z.则Z为BC中点。

于是知要证P为JK中点.只需证明Z为XY中点.即只需证明XC=BY而XC=同理可得YB=所以XC=BY.命题得证于是知JK经过P.且P为JK中点下面再用同一法证明DH经过点P如图5.延长DH交⊙O于.则由位似知.O∥D..即O⊥BC.所以O为弧BC中点.即与P重合所以DH经过点P同理FI也经过点P命题得证 图4 图5定理三：如图6.△ABC外接圆为⊙O.⊙与⊙O外切于点D.且分别切AB、AC于G、H.⊙与⊙O外切于点E.且分别切BC、BA于I、J.⊙与⊙O外切于点F.且分别切CA、CB于K、L.则图6证明：如图7.取GH中点为R、IJ中点为S.KL中点为T.则根据曼海姆定理知R、S、T为△ABC的三个旁心于是知AR、BS、CT交于一点Q.且Q为△ABC内心又因为S、T为△ABC的旁心.所以ST⊥AR又GH⊥AR.所以ST∥GH于是知 〔1 〔2〔1×〔2得.从而知 〔3同理可知： 〔4 〔5〔3×〔4×〔5知 〔6又因为AR、BS、CT交于一点.根据赛瓦定理知.代入〔6式即得.于是知。

图7以上介绍的是此类问题的三个定理.基于这三个定理.我们可以得到如下一系列命题命题一：如图8.△ABC外接圆为⊙O.⊙与⊙O外切于点D.且分别切AB、AC于G、H.⊙与⊙O外切于点E.且分别切BC、BA于I、J.⊙与⊙O外切于点F.且分别切CA、CB于K、L求证：AD、BE、CF三线共点 图8 证明：如图9.作△ABC的内切圆⊙M分别切BC、CA、AB于P、Q、R则由于.根据赛瓦定理逆定理知AP、BQ、CR共点.设为S根据定理一知AS、AD是∠BAC的一组等角线.BS、BE是∠ABC的一组等角线.CS、CF是∠ACB的一组等角线.从而知AD、BE、CF三线共点.设为M.则M与S是一对等角共轭点 图9命题二：如图10.如图三角形ABC中.⊙、⊙是伪旁切圆.分别切⊙O于H、I⊙分别切CB、CA于D、E.⊙分别切BC、BA于F、G则BC、HI、三线共点 图10证明：连接H、I并延长.根据位似知两线交于点O.延长DH、FI交于点P.根据定理二知PO⊥BC.又D⊥BC、F⊥BC.根据笛沙格定理知BC、HI、三线共点。

图11命题三：如图12.△ABC外接圆为⊙O与⊙O相切于点M.且分别切CB、CA于D、E；与⊙O相切于N.且分别切BA、BC于F、G；与⊙O相切于P.且分别切AC、AB于H、ICM交于J.BN交于K.AP交于L.JB、KC交于Q、LB、KA交于R、JA、LC交于S.证明：AQ、BS、CR交于一点图12证明：如图13.设CJ交AB于X.BK交AC于Y.AL交BC于Z由于CM、BN、AP交于一点.所以 〔1根据三角形面积公式知.所以 〔2又根据三角形面积公式知.所以 〔3.所以 〔4将〔3、〔4代入〔2知 〔5同理可知： 〔6 〔7〔5×〔6×〔7知 〔8由〔7、〔8知.根据赛瓦定理逆定理知AQ、BS、CR交于一点图13命题四：如图14.△ABC外接圆为⊙O与⊙O相切.且分别切CB、CA于D、E；与⊙O相切.且分别切BA、BC于F、G；与⊙O相切.且分别切AC、AB于H、I。

L、M、N分别为GH、ID、EF中点.求证：NA、MB、LC共点 图14证明：根据三角形面积公式知.所以 〔1同理可知 〔2 〔3〔1×〔2×〔3知 〔4根据定理三知.所以.根据赛瓦定理逆定理知NA、MB、LC三线共点命题五：如图15.△ABC外接圆为⊙O与⊙O相切.且分别切CB、CA于D、E；与⊙O相切.且分别切BA、BC于F、G；与⊙O相切.且分别切AC、AB于H、I直线EF、GH、ID分别交于点P、Q、R.求证：PA、RB、QC共点 图15证明：根据三角形面积公式知.所以 〔1同理可知 〔2 〔3〔1×〔2×〔3知.又根据定理三知.所以。

根据赛瓦定理逆定理知PA、RB、QC三线共点命题六：如图16.△ABC外接圆为⊙O与⊙O相切.且分别切CB、CA于D、E；与⊙O相切.且分别切BA、BC于F、G；与⊙O相切.且分别切AC、AB于H、IBH、CI交于P.AG、CF交于Q.AD、BE交于R证明：AP、BQ、CR三线共点证明：设AB、CR交于M.BC、AP交于N.AC、BQ交于L则由赛瓦定理逆定理知.要证AP、BQ、CR三线共点.只需证明又由塞瓦定理知.即三式相乘有由定理三知.所以.命题得证 图16命题七：如图17.△ABC的外接圆为⊙O与⊙O外切.且分别与AB、AC切于G、H；与⊙O外切.且分别与BC、BA切于I、J；与⊙O外切.且分别与CA、CB切于K、LGK、HI交于点M.KI、LH交于点N.IG、JL交于点P求证：MA、NC、PB三线共点 图17证明：如图18.连接A、GH交于D.连接B、IJ交于点E.连接C、LK交于点F.则由曼海姆定理知D、E、F分别为△ABC的三个旁心。

于是知E、F过点A.且EF⊥AD.GH⊥AD；FD过点B.且FD⊥BE.IJ⊥BE；D、E过点C.且DE⊥CF.KL⊥CF根据赛瓦定理三角形式知.要证MA、NC、PB三线共点.只需证明： 〔1下面证明〔1式根据三角形面积公式知所以 〔2又 〔3将〔3代入〔2知 〔4又 〔5 〔6〔5×〔6知 〔7又 〔8 〔9〔8×〔9得 〔10将〔10代入〔7知 〔11将〔11代入〔4知 〔12同理可知： 〔13 〔14〔12×〔13×〔14知 〔15根据定理三知.所以.〔1式成立.问题得证。

图18命题八：如图19.△ABC外接圆为⊙O⊙与⊙O相切.且分别切AB、AC于JK；⊙与⊙O相切.且分别切BC、BA于L、M；⊙与⊙O相切.且分别切CA、CB于N、P△ABC内切圆分别切BC、CA、AB于D、E、FAD交⊙于G.BE交⊙于H.CF交⊙于IIB、HC交于点Q.IA、GC交于点R.GB、HA交于点S.求证：AQ、BR、CS三线共点图19证明：我们先证明一个引理：如图20.△ABC的外接圆为⊙O.与⊙O外切.且分别切CA、CB于G、H；与⊙O外切.且分别切BA、BC于I、J.△ABC的内切圆⊙N分别切BC、CA、AB于D、E、F.CF交于K.BE交于L.KB、LC交于点M.则∠CAD=∠BAM。