上海市浦东模范中学高三数学理联考试题含解析.docx
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上海市浦东模范中学高三数学理联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 复数（是虚数单位）化简的结果是A. 1 B. -1 C. D. – 参考答案：B2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若﹣+1=0，则角B的度数是（ ）A．60° B．120° C．150° D．60°或120°参考答案：A【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】利用正弦定理得到=，代入已知等式，利用同角三角函数间的基本关系化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数．【解答】解：根据正弦定理有： =，代入已知等式得：﹣+1=0，即﹣1=，整理得：2sinAcosB﹣cosBsinC=sinBcosC，即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C），又∵A+B+C=180°，∴sin（B+C）=sinA，可得2sinAcosB=sinA，∵sinA≠0，∴2cosB=1，即cosB=，则B=60°．故选：A．【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．3. 已知等差数列的前13项之和为，则等于A. B. C. D. 1参考答案：C4. 从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是（ ）A． B． C． D．参考答案：A5. 已知函数，动直线与、的图象分别交于点、，的取值范围是 数学（理工农医类）试题第 2 页（共 4 页） A．[0，1] B．[0，2]C．[0，] D．[1，]参考答案：C6. 函数，关于x的方程恰有四个不同实数根，则正数m的取值范围为( )A. (0,2) B. (2,+∞)C. D. 参考答案：D【分析】利用导函数讨论函数单调性与极值情况，转化为讨论的根的情况，结合根的分布求解.【详解】，令，得或，当时，，函数在上单调递增，且;当时，，函数在上单调递减;当时，，函数在上单调递增.所以极大值，极小值，作出大致图象：令，则方程有两个不同的实数根，且一个根在内，另一个根在内，或者两个根都在内.因为两根之和为正数，所以两个根不可能在内.令，因为，所以只需，即，得，即的取值范围为.故选：D【点睛】此题考查复合函数零点问题，根据零点个数求参数范围，关键在于准确讨论函数图象特征，结合二次方程根的分布知识求解.7. 已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，与x轴平行的直线交Γ于B，C两点，记∠BAC＝θ，若Γ的离心率为，则（ ）（A）θ∈（0， ） （B）θ＝（C）θ∈（，π） （D）θ＝参考答案：B8. 《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积中使用的一个原理:“幂势既同，则积不异”，此即祖暅原理，其含义为:两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.如图，设满足不等式组的点组成的图形（图（1）中的阴影部分)绕轴旋转180°，所得几何体的体积为；满足不等式组的点组成的图形（图（2）中的阴影部分)绕轴旋转180°，所得几何体的体积为.利用祖暅原理，可得（ ） A． B． C．32π D．64π参考答案：C9. 若一个圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 .参考答案：10. 设那么“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：答案：A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设是等差数列的前项和，且，则参考答案：25本题考查等差数列通项公式和前n项和公式的计算，难度较低。
因为，所以，则12. 某单位为了了解用电量度与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温(0C)181310-1用电量(度)24343864由表中数据得线性回归方程中．现预测当气温为时，用电量的度数约为 ．参考答案：6813. 在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＋…＋a97＝150，a2＋a5＋a8＋…＋a98＝200，则前99项的和S99＝ .参考答案：60014. 满足约束条件，则的最大值是____________参考答案：3略15. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．且，．则的取值范围为_____．参考答案：【分析】由，利用正弦定理、三角恒等变换可求得，再利用正弦定理可将转化成，利用角A的取值范围即可求出详解】由正弦定理可得： ，可得：，，又为锐角三角形，，可得：均为锐角，可得：，.故答案为： .【点睛】本题考查了正弦定理的应用、三角恒等变换，考查了推理能力与计算能力熟练掌握正弦定理进行边与角之间的转化是解题的关键16. 设实数a，b，c，满足，，则ab的取值范围是_____．参考答案：【分析】用表示，再根据基本不等式求出的取值范围后可求的取值范围.【详解】因为，所以，故，又，所以，整理得到即，又，故在为增函数，当时，；当时，；所以的取值范围是【点睛】多元变量的最值问题，基本的处理策略是利用消元法尽量降低变元的个数，从而把问题归结为一元函数的值域，另外消元时可用整体消元的方法且需注意变量范围的传递.17. （理）已知点是的重心，( , )，若，，则的最小值是 。
参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.参考答案：设是此图形中三边颜色都相同的三角形数目，是此图形中三边颜色不全相同的三角形数目，是以第个顶点为端点的红色线段数目，则有，.当且仅当每个或时，取得最小值.是可以取到的，例如把线段染成红色，其它线段染成蓝色. 19. (本小题共14分）已知函数与的图象相交于，，，分别是的图象在两点的切线，分别是，与轴的交点．（I）求的取值范围；（II）设为点的横坐标，当时，写出以为自变量的函数式，并求其定义域和值域；（III）试比较与的大小，并说明理由（是坐标原点）．参考答案：解析：（I）由方程消得．···· ①依题意，该方程有两个正实根，故解得．（II）由，求得切线的方程为，由，并令，得，是方程①的两实根，且，故，，是关于的减函数，所以的取值范围是．是关于的增函数，定义域为，所以值域为，（III）当时，由（II）可知．类似可得．．由①可知．从而．当时，有相同的结果．所以．20. （2009安徽卷理）（本小题满分13分）点在椭圆上，直线与直线垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线的倾斜角为.（I）证明: 点是椭圆与直线的唯一交点； （II）证明:构成等比数列.参考答案：解析：本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数列等基础知识。
考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力本小题满分13分解：（I）（方法一）由得代入椭圆,得.将代入上式,得从而因此,方程组有唯一解,即直线与椭圆有唯一交点P. (方法二)显然P是椭圆与的交点，若Q是椭圆与的交点，代入的方程，得即故P与Q重合方法三）在第一象限内，由可得椭圆在点P处的切线斜率切线方程为即因此，就是椭圆在点P处的切线根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线的唯一交点II）的斜率为的斜率为由此得构成等比数列21. 正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，且AE⊥平面CDE．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求证：平面ABCD⊥平面ADE．参考答案：证明：（1）正方形ABCD中，， 又平面CDE，平面CDE， 所以平面CDE． （2）因为，且， 所以， 又且，， 所以， 又， 所以．22. （14分）已知数列是等差数列， ；数列的前n项和是，且．(Ⅰ) 求数列的通项公式； (Ⅱ) 求证：数列是等比数列；(Ⅲ) 记，求的前n项和．参考答案：解析：析：主要考察等差、等比数列的定义、式，求数列的和的方法． 解：(Ⅰ)设的公差为，则：，，∵，，∴，∴． ………………………2分∴． …………………………………………4分（Ⅱ）当时，，由，得． …………………5分当时，，，∴，即． …………………………7分 ∴． ……………………………………………………………8分∴是以为首项，为公比的等比数列． …………………………………9分（Ⅲ）由（2）可知：． ……………………………10分∴． …………………………………11分∴．∴．∴． ………………………………………13分∴． …………………………………………………14分。
