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二次型的应用 例1 元实函数在点达到极值的必要条件是但要判定这一极值是极大还是极小,就是考察函数 (3)在关于充分小时, 保持为负还是保持为正,其中是在点的值.函数(3)就是一个关于,,…, 的元实二次型.例2（）判断下列二次曲线的类型，把方程化为最简形式，并确定其形状（1） (2) ;(3) 解（1） ，这是抛物形曲线.此时，所以是一条抛物线，化简后方程为或即 或因此这条抛物线的焦准距(2) ,这是抛物型曲线.此时 ,,,所以这是两条平行直线，化简后的方程为,.(3) ,这是双曲线. 此时.因为,所以这是双曲线.解特征方程得特征根.又，于是化简后的方程为，即 所以这条双曲线的实半轴，虚半轴.例3 利用不变量判断下列二次曲面的类型，并把方程化为最简形式和确定曲面的形状.解 二次曲面所对应的矩阵所以得于是化简后的方程为，故方程的图形是椭圆抛物面.例4 求函数在的最小值.解 先对二次型将其化为标准形式,然后在条件下讨论函数的最小值.该二次型的实对称矩阵为，它的特征多项式.对于特征值，求得两个线性无关的特征向量；再用正交化方法，得两个单位正交的特征向量取正交矩阵 则有.对二次型做正交变换，得 相应地，条件化为 . 于是原题意化为对式的三元二次其次函数在满足条件时求其最小值.此时，显然有又当时，所以满足条件的最小值，而且它仅在和处取得最小值.回到变元，则在和处取得最小值. 例5 已知某种材料在生产过程中的废品率y某种化学成分x有关,下列表中记载了某工厂生产中y与相应的x的几次数值x1.000.90.90.810.600.560.35y3.63.73.83.94.04.14.2我们想找出y对x的一个近似公式.解 把表中数值画出图来看,发现它的变化趋势近于一条直线,因此我们决定选取x的一次式ax+b来表达,当然最好能选到适当的a,b使得下面的等式3.6a+b-1.00=03.7a+b-0.9=03.8a+b-0.9=03.9a+b-0.81=04.0a+b-0.60=04.1a+b-0.56=04.2a+b-0.35=0都成立,实际上是不可能的.任何a,b代入上面各式都发生些误差,于是想找到a,b使得上面各式的误差的平方和最小,即找a,b使(3.6a+b-1.00)+(3.7a+b-0.9)+(3.8a+b-0.9)+(3.9a+b-0.81)+(4.0a+b-0.60)+(4.1a+b-0.56)+(4.2a+b-0.35)最小,这里讨论的是误差的平方即二乘方,故称为最小二乘法,用最小二乘法解.易知A=,B=.最小二乘解a,b所满足的方程就是AA-AB=0.即为解得 a=-1.05,b=4.81. (取三位有效数字) 。