专题39 几何图形模型胡不归问题专项训练（教师版）.docx

专题39 几何图形模型胡不归问题专项训练（解析版）一．选择题1．（2022•南山区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若AC＝2，点D是AB的中点，P为边CD上一动点，则AP+12CP的最小值为（　　）A．1 B．2 C．3 D．2思路引领：过C作CE⊥AB于E，过点P作PF⊥EC于F，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等边三角形的性质得出PF=12CP，再由AP+12CP＝AP+PF≥AE，结合勾股定理求出AE即可．解：过C作CE⊥AB于E，过点P作PF⊥EC于F，∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，∴CD=12AB＝AD，∵∠CAB＝30°，∴∠B＝60°，∴△BCD为正三角形，∴∠DCE＝30°，∴PF=12CP，∴AP+12CP＝AP+PF≥AE，∵∠CAB＝30°，AC＝2，∴CE=12AC＝1，∴AE=AC2−CE2=3，∴AP+12CP的最小值为3．故选：C．总结提升：本题主要考查了含30°直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边一半，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解决此题的关键是作出垂线CE和PF，将12CP转化为PF．2．（2022•平南县二模）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点E为AC中点，D是BE上的一个动点，则CD+12BD的最小值是（　　）A．3 B．33 C．6 D．3+3思路引领：如图，过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DH⊥AB于点H，则CD+DH≥CF，先解直角三角形可求出CF，再由直角三角形的性质得DH=12BD，进而可得CD+12BD=CD+DH，从而可得CD+12BD的最小值．解：如图，过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DH⊥AB于点H，则CD+DH≥CF，∵△ABC是等边三角形，AB＝6，∴∠A＝∠ABC＝60°，AF＝BF＝3，∴CF＝AFtan60°=33，∵点E是AC的中点，∴∠DBH＝60°÷2＝30°，在Rt△BDH中，DH=12BD，∴CD+12BD=CD+DH≥33，∴CD+12BD的最小值为：33．故答案为：B．总结提升：本题主要考查解直角三角形，等边三角形的性质、垂线段最短等知识，解题关键是将CD+12BD转化成CD+DH．3．（2022春•覃塘区期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是边BC的中点，P是对角线BD上的一个动点，连接AE，AP，若AP+12BP的最小值恰好等于图中某条线段的长，则这条线段是（　　）A．AB B．AE C．BD D．BE思路引领：由菱形的性质可得∠DBC=12∠ABC＝30°，可得PF=12BP，可得AP+12BP＝AP+PF，由垂线段最短，可求解．解：如图，过点P作PF⊥BC于点F，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DBC=12∠ABC＝30°，且PF⊥BC，∴PF=12BP，∴AP+12BP＝AP+MP，∴当点A，点P，点F三点共线且垂直BC时，AP+PF有最小值，∴AP+12BP最小值为AE故选：B．总结提升：本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，最短路径问题，熟练运用菱形的性质是本题的关键．4．（2022春•新罗区校级月考）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BE⊥AC于点E，BE＝2AE，D是线段BE上的一个动点，则CD+55BD的最小值是（　　）A．25 B．45 C．55 D．10思路引领：过点D作DH⊥AB，垂足为H，过点C作CM⊥AB，垂足为M，在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AE，BE的长，再证明DH=55BD，从而可得CD+55BD＝CD+DH，然后再由垂线段最短即可解答．解：过点D作DH⊥AB，垂足为H，过点C作CM⊥AB，垂足为M，∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵BE＝2AE，AB＝10，∴AE2+BE2＝AB2，∴5AE2＝100，∴AE＝25或AE＝﹣25（舍去），∴BE＝2AE＝45，∴sin∠ABE=AEAB=2510=55，∵∠A＝∠A，∠AEB＝∠AMC＝90°，AB＝AC，∴△AEB≌△AMC（AAS），∴CM＝BE＝45，在Rt△BHD中，DH＝BDsin∠ABE=55BD，∴CD+55BD＝CD+DH，∵CD+DH≥CM，∴CD+55BD≥45，∴CD+55BD的最小值是：45，故选：B．总结提升：本题考查了胡不归问题，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．（2021秋•澄海区期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+3x﹣4的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则PQ+22PC的最小值是（　　）A．6 B．2+322 C．2+32 D．32思路引领：过P作PH⊥BC，过Q作QH'⊥BC．再由PH=22PC得PQ+22PC＝PQ+PH，根据垂线段最短可知，PQ+PH的最小值为QH'，求出QH'即可．解：连接BC，过P作PH⊥BC，过Q作QH'⊥BC，令y＝0，即x2+3x﹣4＝0，解得x＝﹣4或1，∴A（1，0），C（﹣4，0），∵OB＝OC＝4，∠BOC＝90°，∴∠PCH＝45°，∴PH＝PCsin45°=22PC．∴PQ+22PC＝PQ+PH，根据垂线段最短可知，PQ+PH的最小值为QH'，∵BQ＝OB+OQ＝4+2＝6，∠QBH′＝45°，∴QH′＝sin45°•BQ＝32，∴PQ+22PC的最小值为32．故选：D．总结提升：本题考查胡不归问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是将求PQ+22PC的最小值转化为求PQ+PH的最小值．属于中考选择题中的压轴题．6．（2022秋•任城区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝15，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+55BD的最小值是（　　）A．35 B．65 C．53 D．10思路引领：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tanA=BEAE=2，设AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH=55BD，推出CD+55BD=CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵tanA=BEAE=2，设AE＝a，BE＝2a，则有：225＝a2+4a2，∴a2＝45，∴a＝35或﹣35（舍弃），∴BE＝2a＝65，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM＝BE＝65（等腰三角形两腰上的高相等），∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH=DHBD=AEAB=55，∴DH=55BD，∴CD+55BD=CD+DH，∵CD+DH≥CM，∴当点H与M重合，且C，D，H共线时，CD+DH的值最小，∴CD+55BD的最小值为线段CM的长，∴CD+55BD的最小值为65．故选：B．总结提升：本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．7．（2022•邗江区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−49x2+83x与x轴的正半轴交于点A，B点为抛物线的顶点，C点为该抛物线对称轴上一点，则3BC+5AC的最小值为（　　）A．24 B．25 C．30 D．36思路引领：连接OB，过C点作CM⊥OB于M点，过A点作AN⊥OB于N点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，继而得出BD、OA、OD，再证明△OBD∽△CBM，△OBD∽△OAN，进而可得3BC+5AC＝5MC+5AC＝5（AC+CM），当A、C、M三点共线，且三点连线垂直OB时，AC+CM最小，根据ANOA=BDOB求出AN，AC+CM最小值即为AN，则问题得解．解：连接OB，过C点作CM⊥OB于M点，过A点作AN⊥OB于N点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，如图，令y＝0，得方程−49x2+83x=0，解得：x1＝0，x2＝6，∴A点坐标为（6，0），即OA＝6，将y=−49x2+83x配成顶点式得：y=−49(x−3)2+4，∴B点坐标为（3，4），∴BD＝4，OD＝3，∵CM⊥OB，AN⊥OB，∴∠BMC＝∠ANO＝90°，根据抛物线对称轴的性质可知BD⊥OA，∴∠BDO＝90°，在Rt△BDO中，利用勾股定理得OB=OD2+BD2=32+42=5，∵∠OBD＝∠CBM，∠BDO＝∠BMC＝90°，∴△OBD∽△CBM，同理可证得△OBD∽△OAN，∴BCMC=BOOD，ANOA=BDOB，∴BCMC=BOOD=53，即3BC＝5MC，∴3BC+5AC＝5MC+5AC＝5（AC+CM），∵当A、C、M三点共线，且三点连线垂直OB时，AC+CM最小，∴AC+CM最小值为AN，如图所示，∵ANOA=BDOB，∴AN=BDOB×OA=45×6=245，∴AC+CM最小值245，∴即3BC+5AC＝5（AC+CM）＝24．故选：A．总结提升：本题考查了求抛物线与坐标轴的交点和抛物线顶点的坐标、相似三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，利用三角形相似得出3BC＝5MC，进而得出3BC+5AC＝5（AC+CM）是解答本题的关键．8．（2021•锦州二模）如图所示，菱形ABCO的边长为5，对角线OB的长为45，P为OB上一动点，则AP+55OP的最小值为（　　）A．4 B．5 C．25 D．35思路引领：如图，过点A作AH⊥OC于点H，过点P作PF⊥OC于点F，连接AC交OB于点J．利用面积法求出AH，再证明PF=55OP，利用垂线段最短，可得结论．解：如图，过点A作AH⊥OC于点H，过点P作PF⊥OC于点F，连接AC交OB于点J．∵四边形OABC是菱形，∴AC⊥OB，∴OJ＝JB＝25，CJ=OC2−OJ2=52−(25)2=5，∴AC＝2CJ＝25，∵AH⊥OC，∴OC•AH=12•OB•AC，∴AH=12×45×255=4，∴sin∠POF=PFOP=CJOC=55，∴PF=55OP，∴AP+55OP＝AP+PF，∵AP+PF≥AH，∴AP+55OP≥4，∴AP+55OP的最小值为4，故选：A．总结提升：本题考查胡不归问题，菱形的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．二．填空题9．（2022春•广陵区期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M段AC上，且AM＝2，点P为线段BD上的一个动点，则MP+12PB的最小值是　 　 ．思路引领：过P点作PH⊥BC于H，过M点作MN⊥BC于N，如图，根据菱形的性质得到AB＝BC，BO平分∠ABC，AO⊥BD，再判断△ABC为等边三角形得到∠ABC＝∠ACB＝60°，则∠OBC＝30°，所以PH=12BP，则MP+12PB＝MP+PH，所以MP+PH的最小值为MN的长，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求出MN即可．解：过P点作PH⊥BC于H，过M点作MN⊥BC于N，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴A。