2022-2023学年初三数学上册课件《随机事件与概率》.ppt

概率论与数理统计华南理工大学理学院课程说明课程说明 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性一门数学学科它与其他数学分支的最大区别是用确定性的数学方法研究非确定性的现象该学科有广泛的实际应用概率论是在对随机现象有基本认知的前提下，进行演绎推理，揭示随机现象的统计规律数理统计是从统计资料所反映的局部特征以概率论作为理论基础来推断事物的整体特征本课程需要以高等数学和线性代数的基本知识为基础展开学习概率论与数理统计概率论部分：随机事件与概率 一维随机变量及其分布 随机向量及其分布 随机变量的数字特征 大数定律和中心极限定理数理统计部分：数理统计的基本概念 参数估计 假设检验第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 1.1 随机现象与随机试验随机现象与随机试验 随机试验与随机事件 事件的关系与运算 1.2 概率的定义概率的定义 概率的统计定义 概率的古典定义 概率的几何定义 概率的公理化定义 1.3 条件概率与独立性条件概率与独立性 条件概率 乘法公式 全概率公式与贝叶斯公式 事件的独立性 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率1.1 随机现象与随机试验随机现象与随机试验 世间万象可分为确定性现象和偶然性现象两类。

发生确定性现象的试验试验：在标准大气压下，将水加热到100试验：在静电场中，观察同性电荷的行为试验：在地面上信手垂直上抛一石块确确确确定定定定性性性性试试试试验验验验的的的的特特特特征征征征：只要试验条件不变，就会出现相应唯一确定的结果确定性试验中发生的现象称为确定性现象确定性现象确定性现象确定性现象确确确确定定定定性性性性现现现现象象象象：试验前可以预言其结果的，且在一定条件下重复进行试验时，它的结果总是确定不变的发生随机性现象的试验试验：随意观测地铁站里一位乘客的候车时间可能结果：0秒，1秒，2秒，)试验：在相同条件下，投掷一颗匀质正六面体的骰子，观察所出现的点数可能结果：1,2,3,4,5,6）试验：从一批灯泡中任取一只，测定灯泡的使用寿命可能结果：任何非负实数）1.1.1 随机试验与随机事件随机试验与随机事件随机试验的三个特点：1）试验可以在相同的条件下重复进行2）试验可能出现的所有结果可预知3）在未试验之前，不知道这次试验出现的结果，但试验结果必是所有可能结果中的某一个具有上述特点的试验称为随机试验随机试验u 随机试验中观测到的现象称为随机现象随机现象u 随机试验可简称为试验试验试验试验。

u 在随机试验的重复实施中呈现出的不变性质，称为统计规律性统计规律性统计规律性统计规律性u 概率论的研究对象就是随机现象的统计规律性u 在一次随机试验中可能发生、也可能不发生的事情（事件）称为随机事件随机事件，简称为事件事件u 概率概率是随机事件发生的可能性大小的一种度量例1.1.1 随机试验1：以相同条件掷一枚均质六面体的骰子，观察其落定后朝上面出现的点数设 A=出现的点数为奇数 B=出现的点数为偶数 C=出现的点数小于3都是事件依古典定义，事件A、B、C,的概率应分别为例1.1.2 随机试验2：设地铁每5分钟开出一列，观测一位乘客的候车时间设 A=等待时间不超过2分钟 B=等待时间多于2分钟 C=等待时间介于1分钟到2分钟之间等都是事件若乘客随机到达，依概率的几何定义，事件A、B、C,的概率应分别为1.1.2 事件的关系与运算事件的关系与运算 概率论最终回答的问题为：一个事件发生的可能性的大小，即事件发生的概率有多大在分析计算一个较为复杂的事件的概率时，往往用简单事件的运算来表达复杂事件，进而用简单事件的概率来计算复杂事件的概率样本空间（也称：基本事件空间）样本空间（也称：基本事件空间）在讨论一个随机试验时，试验的所有可能结果的集合是明确知道的，称这个集合为该试验的样本空间（也称为基本事件空间），用表示，其每个元素（即每个可能结果）称为样本点（也称为基本事件）。

例：随机试验1：以相同条件掷一枚均质六面体的骰子，观察其落定后朝上面出现的点数事件是样本空间的子集在一次试验中，中的某一个结果（样本点）发生了，则含有该样本点的事件就发生了上述例子，掷一枚骰子，若得到的结果是点数3，则包含点数3的事件A就称为发生了例 随机试验2：设地铁每5分钟开出一列，观测一位乘客的候车时间随机试验中，某个事件每次都会发生，这种事件称之为必然事件必然事件，通常用通常用表示必然事件表示必然事件某个结果(事件)在每次试验中都不出现，这种事件称之为不可能事件不可能事件，用用必表示不可能事件必表示不可能事件必然事件举例必然事件举例：例1.1.1中的出现的点数不超过6 例1.1.2中的等待时间不超过5分钟例1.1.1中的出现的点数为7是不可能事件事件的关系事件的关系事件的包含事件的包含 若一次试验中事件A发生，则事件B也发生，称B包含A，记为 A B事件的相等事件的相等 若A B且B A，则称A与B相等，记为A=BA事件的互斥事件的互斥(互不相容互不相容)若每次试验中，A和B都不会同时出现(但可以都不出现)，则称A与B互斥(互不相容)对对立事件立事件(逆逆)一次试验中出现事件A不发生这样的结果，称为A的对立事件，记为 (A不发生就是 发生，是互不相容事件的特例)。

此外，规规定定 AB A事件关系事件关系举举例例：例例1.1.1 出现的点数3 出现的点数0)的一些平行线，向平面任意地投一长为l（la）的针，试求针能与任一平行线相交的概率p解解 以M表示针的中点，x表示M到平行线的最短距离(0 x a/2,表示落针与平行线的交角(0 )(x,)是一个样本点，矩形G：0 x a/2，0 是样本空间A=“投针能与任一平行线相交”事件A发生的充分必要条件是：这个不等式确定的区域g.1.2.4 概率的公理化定概率的公理化定义义 概率的统计定义不能用来计算事件的概率，更不便分析复杂随机现象的统计规律概率的古典定义和几何定义又是基于某些具体的随机试验模型给出的，并且该两类模型中都有“等可能性”这样一个苛刻的要求，不能用来分析计算一般随机现象的统计规律这促使人们想法建立一套概率的公理化体系，使得可以演绎地分析各类随机现象20世纪三十年代，以俄国数学家柯尔莫哥洛夫为代表的数学家建立了概率的公理化定义该定义的基本思想是把随机事件看作集合，从而事件的和、积、对立及差等运算分别对应集合并、交、余和差等集合运算，而把概率定义为集合的测度，从而把概率论建立在测度论的基础之上，也使所有的讨论都在概率空间的框架之下来进行。

相应于前述随机试验、随机事件和概率等三个直观概念的分别是基本事件空间(或称样本空间)、事件域F和概率测度P基本事件空间基本事件空间()定定义义1.2.3 设为事件构成的集合，若每次试验有且仅有中的一个事件发生，则称为为基基本本事事件件空空间间(或样样本本空空间间)，而称中的元素为基本事件基本事件(或样本点样本点)说明说明：基本事件空间是所有基本事件的集合(基本事件全集)由的定义知，为必然事件必然事件，为不可能事件不可能事件基本事件之间互不相容，它们的和为必然事件包含若干基本事件的集合称为事件事件，事件是的子集若事件A发生，当且仅当其中的一个基本事件发生例例1.2.5 记i=掷骰子出现的点数为i，i=1,2,3,4,5,6，则1=1,2,6为一基本事件空间设A=1,3,5，B=2,4,6，2=A,B也是一个基本事件空间(其中只包含两个基本事件)但2 中的每个基本事件A或B都是1中的事件事件域事件域(F)事件域是人们感兴趣的事件的集合事件域具有对事件的运算封闭的性质，即事件域中的事件经事件运算之后仍然包含在事件域中定定义义1.2.4 设是基本事件空间，F是的一些子集所构成的集合(类)，如果满足下列条件:(1)F，(2)若A F,则 ，(3)则称称F为事件域为事件域，F中的元素(即中的子集)称为事件事件。

引进事件域定义的意义还在于对于同一个随机试验，不同的观测者关心的事件可以不同例例1.2.6 1=1,2,6，则F1=A|A 1是事件域设A=出现的点数为奇数,B=出现的点数为偶数,2=A,B，F2=2,A,B 是事件域F3=1,A,B是事件域概率测度概率测度(P)概率测度是对事件域F中事件的一种度量一个事件在该度量下的大小，代表了该事件发生的可能性的大小定定义义1.2.5 设是随机试验的基本事件空间，P()为定义在事件域F到实数集R的映射，满足:(1)非负性非负性 对任一事件(2)规范性规范性 P()=l，(3)可列可加性可列可加性 若事件A1,A2,两两互不相容，则则称P为事件域F上的概率测度概率测度，称P(A)为事件A的概率因为已给出的概率的古典定义和几何定义都满足概率测度定义中的三条性质，因而都是概率(测度)一般情况下，若需要研究的某一随机现象，要先确定其基本事件空间、事件域F和概率测度P可将三者作为一个整体考虑，称称(,F,P)为概率空间为概率空间概率论的所有研究都是在概率空间上进行的概率的性质概率的性质 根据概率空间的定义，可以得到概率(测度)的一些常用的性质定理定理1.2.1 设(,F,P)为概率空间，则对F中的事件，有(1)P()=0;(2)有限可加性有限可加性，若A1,A2,An两两互不相容，则 (3)(4)单调单调性和可减性性和可减性 若 ，则有(5)加法公式加法公式(6)上上(下下)连续连续性性 ，则证明证明(1)由于 ，由概率P的可列可加性，有例例 1.2.7一个箱子中装有36只灯泡，其中32只为一等品，4只为二等品，现从中任取3只，试求取出的3只灯泡中至少有1只为二等品的概率。

解解 记A=取出的3只灯泡中至少有1只为二等品，Bi=取出的3只灯泡中恰有i只为二等品(i=1,2,3；则B1,B2,B3互不相容，且A=B1B2B3于是P(A)=P(B1)+P(B2)+P(B3)而 解法解法2：解解：设A=“取出的3只灯泡中至少有1只灯泡是二等品”则=“取出的3只灯泡中没有灯泡是二等品”1.3 条件概率与独立性条件概率与独立性 概率论中引入了条件概率和随机事件的独立性后，概率论具有了广泛的应用1.3.1条件概率条件概率 若一个随机试验的基本事件空间为，则事件A的概率P(A)是在的每个基本事件都可能发生的前提下A事件发生的可能性的大小如果每次试验中事件B一定发生，那么一次试验中事件A出现的概率就称为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，记为P(A|B)例例 一副扑克牌中有54张，除了黑桃、红桃、梅花、方块各13张之外，还有大王、小王各一张现从中任取一张，记A=取得的扑克为黑桃K，B=取得的扑克为黑桃这里试验有54中不同的结果，且是“任取”一张，即每个结果发生的可能性相同，所以按古典概型计算，有 P(A)=1/54 P(B)=13/54 如果事先知道取得的扑克一定是黑桃，即每次试验中事件B一定发生，此时基本事件空间中就只有13个等可能事件，此时取得的扑克为黑桃K的(条件)概率应为定定义义1.3.1 设(,F,P)为概率空间，事件A,BF，且P(B)0，则定义 为事件B发生条件下事件A发生的条件概率条件概率。

上述定义中要求P(B)0，是为了使定义有意义，因为若P(B)=0，在此条件下任意事件A发生的(条件)概率也应为零若取定BF，且P(B)0，对任意事件AF，定义:PB(A)=P(A|B)，则PB仍为(,F)上的概率测度，亦即(,F,PB)也是概率空间这说明：条件概率和一般概率一样，也满足概率测度的各种性质如：P(|B)=0 P(|B)=1-P(A|B)1.3.2 乘法公式乘法公式 由条件概率的定义可得 P(AB)=P(B)P(A|B)我们称上式为乘法公式它表明两事件A与B乘积(AB)的概率等于B的概率乘以B发生的条件下A发生的条件概率两个事件的乘法公式可以推广到n个事件时的情况定理定理1.3.1(乘法公式乘法公式)设(,F,P)为概率空间，AiF,i=1,2,n，且P(A。