切比雪夫不等式及其应用.doc

第一章 绪论概率论是一门研究随机现象数量规律的科学，是近代数学的重要组成部分随机现象在自然界和人类生活中无处不在，因而大多数的应用研究，无论是在工业、农业、经济、军事和科学技术中，其本质都是现实过程中的大量随机作用的影响这个观点强有力地推动了概率论的飞速发展，使其理论与方法被广泛地应用于各个行业而概率论极限理论的创立更使其锦上添花，以至在近代数学中异军突起历史上第一个极限定理是属于雅各布·伯努利，后人称之为“大数定律”因其遗著《猜度术》于1713 年出版，故概率史家称1713 年为伯努利大数定律创立年伯努利大数定律给出了频率估计概率的理论依据，同时开创了概率论中极限理论的先河，标志着概率论成为独立的数学分支1837年，泊松对大数定律提出一个较宽松的条件，进而得到泊松大数定律之后，由于有些数学家过分强调概率论在伦理学中的应用，又加上概率论自身基础不牢固，大多数数学家往往把概率论看作是有争议的课题，排除在精密科学之外切比雪夫正是在概率论门庭冷落的年代从事其研究的切比雪夫在1866年发表的论文《论均值》中，提出了著名的切比雪夫大数定律该论文给出如下三个定理[1]：定理1.1：若以表示的数学期望，用表示相应的平方的数学期望，则对任何， 落在和 之间的的概率总小于定理1.2：若以表示的数学期望，用表示相应的平方 的数学期望，则不论取何值，个量的算术平均值和他们相应的数学期望的算术平均值的差不超过 的概率对任何都将大于。

定理1.3：如果量 和它们的平方的数学期望不超过一给定的值，则个量的算术平均值和其数学期望的算术平均值之差不小于某一给定的概率，且当趋于无穷时，其值趋于1这就是切比雪夫大数定律，用今天的符号可表示为：定理：设是两两不相关的随机变量序列，且其方差一致有界，则对任意的，皆有这里若随机试验中的每次试验随机事件发生的概率相等，则为伯努利大数定律又因相互独立的随机变量列必定两两无关，故泊松大数定律也是切比雪夫大数定律的特例 要证明定理，我们需要用到切比雪夫不等式其实在上面三个定理中已经给出了切比雪夫不等式，定理1.2我们用今天的数学语言来描述就是： 定理：设是两两不相关的独立随机变量序列，且其方差存在， 若，则对任意的，皆有不难发现这就是切比雪夫不等式，以此我们也可以得出定理1.4的证明，关于其证明我们在下文会提到作为概率论极限理论中介绍的极少数重要不等式之一，它的应用是非常多的，它可以解决和说明很多关于分布的信息，尤其在估计某些事件的概率的上下界时我们常会用到切比雪夫不等式另外，切比雪夫不等式和切比雪夫大数定律是概率论极限理论的基础，其中切比雪夫不等式又是证明大数定律的重要工具和理论基础，而且以切比雪夫不等式的基础上发展起来了一系列不等式是研究中心极限定理的有力工具，切比雪夫不等式作为一个理论工具，它的地位是很高的。

事实上，马尔可夫不等式也是切比雪夫不等式的第一种推广形式在切比雪夫不等式的诞生至今，切比雪夫不等式的应用性质还没有条理性的给出，本文将在切比雪夫不等式的应用方面进行探究第二章 切比雪夫不等式的基本理论2.1 切比雪夫不等式的有限形式和积分形式定理2.1[2]：（有限形式）设，为任意两组实数，若且或且，则 （2.1）若且或且，则 （2.2）当且仅当或时，（2.1）和（2.2）中的不等式等号成立证明：设为两个有相同次序的序列，由排序不等式有 …………把上述n个式子相加，得 上式两边同除以，得 等号当且仅当或时成立定理2.2[3]：（积分形式）设和在区间上单调递增或递减且分段连续，则 （2.3）若和中一个单调递增，另一个单调递减，则 （2.4）证明：令，，，下面我们只证（2.3）且只考虑单调递增，即证由和在区间上单调递增，我们可以得到对有对上式两边关于进行积分，得即于是，。

2.2 切比雪夫不等式的概率形式定理2.3[4]：（概率形式）设随机变量的数学期望与方差存在 ，则对于任意正数，有不等式 （2.5）或 （2.6）都成立，且存在使得等号成立的充要条件为，，其中这就是常用的切比雪夫不等式证明：①设为离散型随机变量，其分布列：则②设为连续型随机变量，其密度函数为，则有 由于与是对立事件，故有下证定理的后半部分：充分性：如果随机变量满足，，其中，则 因此可以得必要性：设随机变量的分布函数为，由题设知而假设，则于是有这与题设矛盾，故由前面证明可以知道假设，则于是这与题设矛盾，故于是我们得到 所以，，切比雪夫不等式的有限形式主要用于代数不等式的解题，在代数不等式证明方面有很重要的应用；而它的积分形式是微积分中几个重要不等式之一，可以灵活简便的解决一些较难积分不等式的题型不足的是这两种形式我们从上面可以看出在应用中会有很多的条件限制，相反的它的概率形式却要简单的多，应用也更广泛，所以我们接下来要探讨的就是其概率形式的应用。

第三章 切比雪夫不等式在概率论中的应用3.1 估计概率3.1.1 随机变量取值的离散程度切比雪夫不等式估计出随机变量在区间内取值的概率不小于（其中为方差，下文出现的均为方差），由此可知：若方差越小，则概率越大，说明随机变量取值在数学期望 附近的密集程度越高；若方差越大, 则概率越小，说明随机变量取值在数学期望附近的密集程度越低切比雪夫不等式刻化了随机变量的取值对其期望的离散程度3.1.2 随机变量取值偏离超过的概率在切比雪夫不等式中，取，则可见，对任何分布,只要期望和方差存在，则随机变量取值偏离超过的概率是很小的，不超过0. 1113.1.3 估计事件的概率例3.1：设相互独立，，，对任意给定的，试估计解：依题意得： 由切比雪夫不等式得3.1.4 估计随机变量落入有限区间的概率许多常见的随机变量的分布，当类型已知时，可完全由它的数学期望和方差决定当随机变量的分布未知时，通过期望与方差利用切比雪夫不等式可以粗略估计随机变量落入关于其数学期望对称区间内的概率此时，在已知期望和方差的情况下，只需将改写成或的形式，确定，再选用切比雪夫不等式进行估计例3.2：一颗骰子连续掷6 次，点数总和记为，试估计。

解：设第次掷得的点数为（显然互相独立，），则由的分布为得故因而，由的独立性有故3.2 求解或证明一些有关概率的不等式[5]3.2.1 求解相关不等式已知及事件的概率至少为，估计由切比雪夫不等式得，解得所应满足的不等式，又当时，也可估计，见下面例子 例3.3：投掷一枚硬币，为了至少有90%的把握使正面向上的频率在0. 49 与0. 51 之间，试估计需要的投掷次数解：用表示在次实验中出现正面的次数，显然那么次试验中事件出现的频率为由切比雪夫不等式得由题意可知　解得　即至少要投掷这枚硬币25000 次，才能至少有90%的把握使正面向上的频率在0. 49 与0. 51之间3.2.2 证明相关不等式例3.4：设随机变量的概率密度函数为试证明证明：所以由于故由切比雪夫不等式得到3.3 证明大数定律[6]3.3.1 切比雪夫大数定律利用切比雪夫不等式，我们可以证明概率论中一个重要的大数定律--切比雪夫大数定理定理3.1：（切比雪夫大数定律） 设独立随机变量序列 的数学期望和方差都存在，并且方差是一致有上界的，即存在常数，使得 则对于任意的正数，有证明：我们用切比雪夫不等式证明该定理。

因为而相互独立性，所以 应用切比雪夫不等式得因为，所以，由此得当时，得但是概率不能大于1，所以有 切比雪夫定律说明：独立随机变量序列的数学期望与方差都存在，且方差一致有上界，则经过算术平均后得到的随机变量，当充分大时，它的值将比较紧密地聚集在它的数学期望的附近，这就是大数定律的统计意义 3.3.2 伯努利大数定律切比雪夫大数定律的一个重要推论就是著名的伯努利大数定律，我们同样用切比雪夫不等式来证明定理3.2：（伯努利大数定律）在独立试验序列中，设事件的概率，则对于任意的正数，当试验的次数时，有其中是事件在次试验中发生的频率证明：设随机变量表示事件在次试验中发生的次数，则这些随机变量相互独立，服从相同的二项分布，并有数学期望与方差：显然则于是，由切比雪夫不等式得当时，上式右端趋于1，因此但是概率不能大于1，所以有伯努利大数定律说明：当试验在相同的条件下重复进行很多次时，随机事件的频率将稳定在事件的概率附近伯努利大数定律提供了用频率来估计概率的理论依据，这个正确的论断曾经在一系列的科学试验以及大量的统计工作中得到证实，而切比雪夫不等式从理论上对此给出了严格的证明 第四章 切比雪夫不等式在其他领域的应用4.1生活中的小概率事件[7] 有句话说的好：多一个朋友多一条路。

我们在生活中少不了朋友的帮助，当然也少不了对朋友的付出可以说，朋友就是我们生活中很重要的一部分，出门靠朋友，没有朋友或许你将寸步难行但人们会误解地认为遇见你朋友的概率会很大，因为有时候一天能交上好几个朋友事实上，从遇见一个人到最后称兄道弟的概率是很小很小的下面就来算一下每个人交到朋友的概率，假设：我们每天上学途中、上班途中、购物或是旅行途中碰到的，哪怕只是在眼前一闪而过的陌生人，按平均每天遇见135 人来算，平均一年就有135*365=49275 人能成为朋友的：如果从一般意义上讲的朋友，按每年遇到50 人算，那么我们的每一个朋友都是在碰到人之后的那个人，也就是说一年遇到朋友的概率才我们再来估计一下刚刚你说一天交上好几个朋友的概率记事件为遇到一个人就是我们的朋友，显然设随机变量是每天发生的次数，我们可以近似看作符合二项分布，是每天遇到的人数，是遇见一个人就是我们朋友的概率，即，则 一天交上好几个朋友，即事件发生的次数大于2利用切比雪夫不等式得 看了这些数据你可能会大吃一惊，我们每天交上一个朋友的概率才，而一天同时交上两个以上的朋友的概率才不到，从相遇到相交是如此的小概率的事件，更何况地球上有60。