数值分析8-高斯型求积公式.ppt

第2章 数值积分与数值微分高斯型求积公式1高精度的求积公式考虑积分将节点 x0 , … , xn 以及系数 A0 , … , An 都作为待定系数 令 f (x) = 1, x, x2, …, x2n+1 代入可求解，得到的公式 具有2n+1 次代数精度能否利用 n+1 个节点 x0 ,… , xn 构造出具有 2n+1 次 代数精度的求积公式？2举例（一）q 例：试确定 x0 , x1 以及系数 A0, A1，使得下面的求积 公式具有尽可能高的代数精度 解：将 f (x) = 1, x, x2, x3 代入，使其精确成立得解得不是线性方程 组，不易求解3高斯点与高斯公式定义若存在节点 xi [a, b]及求积系数 Ai ，使得下面 的求积公式具有 2n+1 次代数精度，则称节点 xi 为高斯 点，Ai 为高斯系数，求积公式为高斯(Gauss)求积公式注：(1)Gauss求积公式仍然是插值型求积公式；(2)Gauss系数可通过Gauss点和Lagrange基函 数得到；4高斯点的确定定理节点 xi (i = 0, 1, … , n) 是求积公式(2-30)的Gauss点的充要条件是：多项式 与任意次数不超 过 n 的多项式 p(x) 正交，即且高斯系数 Ai 为其中 li 为以节点 xi 为节点的 Lagrange 基函数。

5高斯点的确定证明： “” x0 … xn 为 Gauss 点, 则公式 至少有 2n+1 次代数精度 对任意次数不大于n 的多项式 p (x)， p (x) w(x) 的次数不大 于 2n+1，则代入公式应精确成立：0 = 0 “” 要证明 x0 … xn 为 Gauss 点，即要证公式对任意次数 不大于2n+1 的多项式 p(x) 精确成立，即证明：设06高斯公式代数精度定理 用 n+1 个点 x0 , … , xn 构造的插值型求积公式的代数精度不超过 2n+1即Gauss公式是插值型求积公式中代数精度最高的7Gauss-Legendre 公式设 f (x) C[-1, 1] ，考虑 Gauss型 求积公式在 [-1, 1] 上的正交多项式为Legendre多项式取其 n+1 个零点作为 Gauss 点，即可得 Gauss-Legendre 求积公式8G-L 公式的余项定理设 f (x) C 2n+2[-1, 1] ，则 G-L求积公式的余项为9几个简单的 G-L 公式n = 0: Pn+1(x) = x, x0 = 0, A0 = 2 n = 1: Pn+1(x) = (3x2 - 1)/2, A0=A1=1 n = 2: Pn+1(x) = (5x3 - 3x)/2, 两点G-L公式三点G-L公式 10G-L公式的Gauss系数定理G-L求积公式中的 Gauss点为 Pn+1(x) 的 n+1 个零 点，Gauss系数为(i = 0, 1, … , n)11更多 G-L 公式当 n > 3 时，可用数值方法计算 Pn+1(x) 的零点 (mygl.m) n节点个 数Gauss点Gauss系数010.0000000 2.0000000 120.5773503 1.0000000 230.77459670.00000000.55555560.8888889 340.8611363 0.33998100.34785480.6521452 450.9061798 0.53846930.00000000.23692690.47862870.5688889 560.932469510.661209390.238619190.171324490.360761570.4679139312一般区间上的 G-L 公式设 f (x) C[a, b]作变量替换 x = (b- a) t/2+(b + a)/2，则 t  [-1, 1] 其中 xi 和 Ai 分别为 Gauss点 和 Gauss系数。

Ai13G-L 公式的优缺点q 与前面求积方法的比较 复合梯形公式：用了 210+1 个节点达到 7 位有效数字 Romberg公式：用了 9 个节点达到 7 位有效数字  G-L公式：用了 3 个节点达到 7 位有效数字q G-L求积公式的优点：计算精度高；可计算无穷区间上的积分和奇异积分q G-L求积公式的缺点：需计算Gauss点和Gauss系数；增加节点时需重新计算q高斯求积公式的求积系数全是正的,且是稳定的算法14例题1用4点（n=3）的高斯-勒让德求积公式计算解 先将区间[0，π/2]化为[-1，1]，可以得到15例题2套用三点高斯公式计算积分解 作变换x=2+t将积分区间变到[-1，1]，然后套 用三点高斯高斯公式有162.5 数值微分数值微分就是用函数值的线性组合近似函数在某 点的导数值按照数学分析的定义，导数 f′（a）是差商当 [f(a+h)-f(a)]/h当h→0时的极限.如果精度要求 不高，我们可以简单地取差商作为导数的近似 值，这样便建立起一种简单的数值微分方法17插商公式18为要利用中点公式计算导数值 f′（a），首先必须选取合适的步长.为此需要 进行误差分析.分别将 f（a ±h）在 x=a 泰勒展开有中点公式19代入上式得由此得知，从截断误差的角度来看，步长越小， 计算结果越准确.且中点公式的误差20再考察舍入误差.按中点公式计算，当 h 很小时， 由于f（a +h）与 f（a -h）很接近，直接相减会 造成有效数字的严重损失.因此从舍入误差的角度 来看，步长是不宜太小的.综上所述，步长过大，则截断误差显著；但如果 步长太小，又会导致舍入误差的增长，在实际计 算时，我们希望在保证截断误差满足精度要求的 前提下选取尽可能大的步长，然而事先给出一个 合适的步长往往是困难的，通常在变步长的过程 中实现步长的自动选择.步长的选取21插值型的求导公式问题：已知 f (x) 在节点 x0 , … , xn 上的函数值，如何计算在这些节点处导数的近似值？方法：插值型数值微分先构造出 f (x) 的插值多项式 pn(x) ，然后用 pn(x) 的导数来近似 f (x) 的导数。

22多项式插值余项两边求导得x  (x0 , xn)插值型的求导公式的误差23两点公式q 两点公式（等距）： n = 1，节点 x0 , x1 ，步长 h = x1 - x0 所以两点公式24三点公式（等距）q 等距三点公式： n = 2，步长 h ，节点 xi = x0 + ih ，i = 0, 1, 2令 x = x0 + th ，得 25所以分别令 t = 0, 1, 2 ，得 三点公式三点公式（等距）26q 等距三点公式：所以三点公式（等距）27q 例：已知函数 y = ex 的函数值表xi2.52.62.72.82.9 yi12.182 513.463 714.879 716.444 618.174 1试用两点和三点公式计算 x = 2.7 处的一阶、二阶导数 解：两点公式：取 x0 =2.6， x1 =2.7，得 若取 x0 =2.7， x1 =2.8，则 例题128若取 x0 =2.5， x1 =2.7，则 若取 x0 =2.7， x1 =2.9，则 通常步长越小，误差也越小三点公式：取 x0 =2.6， x1 =2.7， x1 =2.8，得 例题129例题2证明下列数值微分公式具有4阶代数精度30证 不妨设 ，否则施行变换 ， 而考察下列数值微分公式考虑到对称性，上式对于偶函数的 等显 然准确成立，又对于 上式左右两端也相等；再考 察 ，这时左端=0而右端≠0，故原式有4阶精度。

例题231例题332例题333例题334。