2023年分层训练13.doc

第6章 推理与证明6．1　合情推理和演绎推理6．1.1 归　纳一、基础达标1．某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●● ○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是A．白色 B．黑色C．白色可能性大 D．黑色可能性大答案　A2．由集合{a1}，{a1，a2}，{a1，a2，a3}，…的子集个数归纳出集合{a1，a2，a3，…，an}的子集个数为A．n B．n＋1C．2n D．2n－1答案　C解析　集合{a1}的子集有∅，{a1}共2个；{a1，a2}的子集有∅，{a1}，{a2}，{a1，a2}共4个；集合{a1，a2，a3}的子集共8个，猜测含n个元素的集合的子集有2n个，故选C.3．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111 234×9＋5＝1111112 345×9＋6＝111111A．1111110 B．1111111C．1111112 D．1111113答案　B解析　由数塔运算积的知识易得B.4．设n是自然数，则(n2－1)[1－(－1)n]的值A．一定是零 B．不一定是整数C．一定是偶数 D．是整数但不一定是偶数答案　C解析　当n＝1时，值为0，当n＝2时，值为0，当n＝3时，值为2，当n＝4时，值为0，当n＝5时，值为6.5．已知＝2，＝3，＝4，…，若＝6(a，b均为实数)，推测a＝________，b＝________.答案　6　356．设函数f(x)＝(x>0)，观察f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f[f1(x)]＝，f3(x)＝f[f2(x)]＝，f4(x)＝f[f3(x)]＝，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f[fn－1(x)]＝________.答案　解析　先求分母中x项系数组成数列的通项公式，由1,3,7,15…，可推知该数列的通项公式为an＝2n－1，又函数结果分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为bn＝2n.∴fn(x)＝.7．设Sn＝＋＋＋…＋，写出S1，S2，S3，S4的值，归纳并猜想出结果，并给出证明．解　n＝1,2,3,4时，S1＝，S2＝，S3＝，S4＝.猜想：Sn＝.证明如下：＝－，∴Sn＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.二、能力提升8．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为A．3 125 B．5 625C．0 625 D．8 125答案　D解析　55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58的末四位数字为0 625,59的末四位数字为3 125,510的末四位数字为5 625,511的末四位数字为8 125,512的末四位数字为0 625，…，由上可得末四位数字周期为4，呈现规律性交替出现，所以52 011＝54×501＋7末四位数字为8 125.9．(2019·湖北(理))古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数　N(n,3)＝n2＋n正方形数　N(n,4)＝n2五边形数　N(n,5)＝n2－n六边形数　N(n,6)＝2n2－n可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝________.答案　1 000解析　由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，…，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)＝(－1)n2－(－2)n，于是N(n,24)＝11n2－10n，故N(10,24)＝11×102－10×10＝1 000.10．(2019·陕西(理))观察下列等式： 12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10照此规律，第n个等式可为________．答案　12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝n(n＋1)解析　分n为奇数、偶数两种情况．当n为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－1)2－n2]＝－.当n为奇数时，第n个等式＝－＋n2＝.综上，第n个等式：12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝n(n＋1)．11．根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式．(1)a1＝a，an＋1＝；(2)对一切的n∈N*，an>0，且2＝an＋1.解　(1)由已知可得a1＝a，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.猜想an＝(n∈N*)．(2)∵2＝an＋1，∴2＝a1＋1，即2＝a1＋1，∴a1＝1.又2＝a2＋1，∴2＝a2＋1，∴a－2a2－3＝0.∵对一切的n∈N*，an>0，∴a2＝3.同理可求得a3＝5，a4＝7，猜想出an＝2n－1(n∈N*)．12．观察以下等式：sin230°＋cos260°＋sin 30°·cos 60°＝，sin240°＋cos270°＋sin 40°·cos 70°＝，sin215°＋cos245°＋sin 15°·cos 45°＝.写出反映一般规律的等式，并给予证明．解　反映一般规律的等式是(表述形式不唯一)：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin α·cos(α＋30°)＝.证明如下：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin α·cos(α＋30°)＝sin2α＋(cos α·cos 30°－sin α·sin 30°)2＋sin α·(cos αcos 30°－sin α·sin 30°)＝sin2α＋(cos α－sin α)2＋sin α·cos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＋sin2α－sin α·cos α＋sin α·cos α－sin2α＝(sin2α＋cos2α)＝.三、探究与创新13．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，n∈N＋，求a2，a3，a4，并猜想数列的通项公式，并给出证明．解　{an}中a1＝1，a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝，…，所以猜想{an}的通项公式an＝(n∈N＋)．证明如下：因为a1＝1，an＋1＝，所以＝＝＋，即－＝，所以数列{}是以＝1为首项，公差为的等差数列，所以＝1＋(n－1)＝＋，即通项公式an＝(n∈N＋)．第 页。