福建师范大学21秋《近世代数》平时作业二参考答案49.docx

福建师范大学21秋《近世代数》平时作业二参考答案1. 求微分方程y&39;&39;＋y&39;2y=8sin2x的通解求微分方程y''+y'-2y=8sin2x的通解2. 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线设直线的方向向量为n，则可取        再在直线上取一点，例如，可令z=0，得        于是，直线的对称式方程        参数式方程为 3. f(x1，x2，x3)=10x12+8x1x2+24x1x3+2x22一28x2x2+x2；f(x1，x2，x3)=10x12+8x1x2+24x1x3+2x22一28x2x2+x2；正确答案：因为所以这个二次型不是正定的因为所以这个二次型不是正定的4. 有效数字越多，相对误差越______有效数字越多，相对误差越______小5. 求下列函数f(x)的Dini导数：求下列函数f(x)的Dini导数：D+f(0)=D+f(0)=D-f(0)=D-f(0)=+∞．$D+f(0)=D+f(0)=1，D-f(0)=D-f(0)=-1．$对x∈Q，D+f(x)=0，D+f(x)=+∞，D-f(x)=-∞，D-f(x)=0；对，D+f(x)=D-f(x)=0，D+f(x)=-∞，D-f(x)=+∞.$由于在区间(1/(2n+2)π，1/2nπ]中cos(1/x)以及sin(1/x)可取到从-1到+1之间的一切值，故知    ．    类似地，有D+f(0)=a，D-f(0)=a'，D-f(0)=b'． 6. 矩阵设3阶矩阵A的特征值是2，3，λ．若行列式｜2A｜＝－48，则λ＝_______．设3阶矩阵A的特征值是2，3，λ．若行列式｜2A｜＝－48，则λ＝_______．正确答案：应填－1．[分析]利用矩阵的行列式的性质和特征值计算对应矩阵的行列式即得．[详解]因A的特征值的乘积等于｜A｜，又A为3阶矩阵，所以｜2A｜＝23｜A｜＝23×2×3×λ＝－48，故λ＝－1．7. 计算：(1)div(ugradv)；(2)divr，其中r=xi+yj+zk．计算：(1)div(ugradv)；(2)divr，其中r=xi+yj+zk．(1)div(ugradv)=▽·(u▽v)=▽u·▽v+u(▽·▽v)=gradu·gradv+u▽v．    (2)r=(x,y,z),divr=▽·(x,y,z)=3 8. 设3个向量a，b，c两两相互垂直，并且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则|a+b+c|=______，|a×b+b×c+c×a|=______。

lt设3个向量a，b，c两两相互垂直，并且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则|a+b+c|=______，|a×b+b×c+c×a|=______  79. 求柱面x2+y2=R2与二平面x-2y+z=4，2x+3y-z=8所围空间区域的体积求柱面x2+y2=R2与二平面x-2y+z=4，2x+3y-z=8所围空间区域的体积12πR210. 某林区现有木材10万米3，如果在每一瞬时木材的变化率与当时的木材数成正比，假设10年内该林区有木某林区现有木材10万米3，如果在每一瞬时木材的变化率与当时的木材数成正比，假设10年内该林区有木材20万米3，试确定木材数P与时间t的关系．正确答案：11. 设f(x)=|x(1－x)|，则( )． A．x=0是f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点． B．x=0不是f(x)的极值点，但(设f(x)=|x(1-x)|，则(  )．  A．x=0是f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点．  B．x=0不是f(x)的极值点，但(0，0)是曲线y=f(x)的拐点．  C．x=0是f(x)的极值点，(0，0)也是曲线y=f(x)的拐点．  D．x=0不是f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线y=f(x)的拐点C12. 求∫x2e1-2x3dx求∫x2e1-2x3dx     13. 设(X1，X2，…，Xn)是取自正态总体N(μ，1)的一个样本，其中μ未知，-∞＜μ＜+∞．试求kμ+C的双侧1-α置信区间，其中k，C是常设(X1，X2，…，Xn)是取自正态总体N(μ，1)的一个样本，其中μ未知，-∞＜μ＜+∞．试求kμ+C的双侧1-α置信区间，其中k，C是常数，k＞0．由于σ已知，选用样本函数的分布14. 如果一个n(n＞1)阶行列式中元素均为+1或-1，则行列式的值是否一定为偶数?如果一个n(n＞1)阶行列式中元素均为+1或-1，则行列式的值是否一定为偶数?正确答案：一定。

根据行列式的性质若将该行列式的任意一行加到另外一行对应元素上去得到的行列式中一定有一行元素全为偶数(零也是偶数)则该行元素可提出公因子2剩下的行列式元素都是整数其值也是整数乘以2后必定是偶数故行列式的值一定为偶数根据行列式的性质,若将该行列式的任意一行加到另外一行对应元素上去,得到的行列式中一定有一行元素全为偶数(零也是偶数),则该行元素可提出公因子2,剩下的行列式元素都是整数,其值也是整数,乘以2后必定是偶数,故行列式的值一定为偶数15. 用另一种方法构造成对比较阵A=(aij):aij表示因素Ci与Cj的影响之差，aji=-aij，于是A为反对称阵，并且，当aik+ak用另一种方法构造成对比较阵A=(aij):aij表示因素Ci与Cj的影响之差，aji=-aij，于是A为反对称阵，并且，当aik+akj=aij，(i，k，j=1，2，…，n)时A是一致阵．规定权向量w=(ω1，…，ωn)T应满足，aij可记作aij=(ωi-ωj)+εij，(对一致阵εij=0)．试给出一种由A确定权向量w的方法．与1-9尺度对应，这里用0-8尺度，即aij取值范围是0，1，…，8及-1，…，-8．由aij=ωi-ωj+εij(i，j=1，…，n)，共n2个方程，要确定ωi，εij共n2+n个未知数，需增加n个方程．上式对j求和得      (i=1，…，n)    (1)    令      (i=1，…，n)    (2)    注意到，并将(1)再对i求和，可得      (3)    (2)，(3)代入(1)则得      (i=1，…，n)    (4)    对于一致阵有λ=0，．不一致程度可用λ/n衡量． 16. 设f∈L(R)且∫-∞∞fdm≠0，a是一确定的实数。

令 x∈R 试证：设f∈L(R)且∫-∞∞fdm≠0，a是一确定的实数令   x∈R  试证：设，则存在N＞0，使当x＞N 时        于是        故 17. 已知某账户的当前余额为1000000元，甲在第1年底提出1500000元，在第2年底又投入900000元．计算该项目中甲的收已知某账户的当前余额为1000000元，甲在第1年底提出1500000元，在第2年底又投入900000元．计算该项目中甲的收益率．对投资一方来说，有    B0=1000000元＞0元，B1=[1000000(1+i)-1500000]元，    B2=[1000000(1+i)2-1500000(1+i)+900000]元    =10000[100i2+50i+40]元＞0元．    也就是说，对于任何利率i，投资者甲的最终结果(在第2年底)都是亏损．例如：当i=0.1时，甲在第1年底提出1500000元，提款之后的余额为[1000000×(1+0.1)-1500000]元=-400000元，那么，在第2年底，以利率i=0.1计算得投资者最多可以借出400000×(1+0.1)元=440000元＜900000元．换个角度看，在这个项目中，无论考虑什么样的年利率，都不能刻画该项目的亏损情况． 18. 若∫f(x)dx=x+C，则∫f(1-x)dx=______。

若∫f(x)dx=x+C，则∫f(1-x)dx=______x+C19. [习题1.24] 证明：a，b，C不共面当且仅当a×b，b×c，c×a不共面[习题1.24] 证明：a，b，C不共面当且仅当a×b，b×c，c×a不共面a，b，c不共面    由于(a×b)×(b×c)-[(a×b)·c]b-[a×b)·b]c=[(a×b)·c]b    所以    [(a×b)×(b×c)]·(c×a)=[(a×b)·c]b·(c×a)    =[(a×b)·c][(c×a)·b]    =[(a×b)·c]2≠0    得证a×b，b×c，c×a不共面 20. (溶液混合问题)一容器内盛有50 L的盐水溶液，其中含有10 g的盐．现将每升含2 g盐的溶液以每分钟5 L(溶液混合问题)一容器内盛有50 L的盐水溶液，其中含有10 g的盐．现将每升含2 g盐的溶液以每分钟5 L的速率注入容器，并不断进行搅拌，使混合液迅速达到均匀，同时混合液以每分钟3 L的速率流出容器．问在任意时刻t容器中的含盐量是多少?正确答案：21. 用k种颜色对一个正五角形顶点进行着色，求不等价着色数用k种颜色对一个正五角形顶点进行着色，求不等价着色数。

置换群为    G={I，ρ，ρ2，ρ3，ρ4，τ1，τ2，τ3，τ4，τ5}    G的循环指数为        故由定理可得     22. 设函数f(x)在点x0的某一邻域内可导，且其导函数f&39;(x)在点x0处连续，αn＜x0＜βn(n=1，2，…)，当n→∞时，有αn→x0，β设函数f(x)在点x0的某一邻域内可导，且其导函数f'(x)在点x0处连续，αn＜x0＜βn(n=1，2，…)，当n→∞时，有αn→x0，β→x0证明  证法1  由题设知，f(x)在点x0的某一邻域内可导，不妨设αn、βn(n=1，2，…)都在这个邻域内，于是f(x)在[αn，βn]上满足拉格朗日中值定理条件，又f'(x)在点x0连续，依此即可证得本命题    因为可设αn、βn(n=1，2，…)都在点x0的邻域内，于是由拉格朗日中值定理知    而当n→∞时，αn→x0，βn→x0，故有ξn→x0，又因f'(x)在点x0连续，于是    所以仔细分析题设条件，可以发现(3)中条件与(1)有较大差异，f(x)在点x0的某一邻域内可导，f'(x)在点x0处连续，因此后者的证明应该有更多选择 23. 试证明： 设是非空开集，r0＞0．若对任意的x∈G，作闭球，则是开集．试证明：  设是非空开集，r0＞0．若对任意的x∈G，作闭球，则是开集．[证明] 设x0∈A，则存在x'∈G，使得.注意到G是开集，故存在δ'＞0，使得．再取x″∈B(x'，δ')且x'≠x″以及|x″-x0|＜r0，从而有.由此易知，存在δ0＞0，使得，即A是开集．24. 求矩阵A特征值的QR迭代时，具体收敛到哪种矩阵是由A的哪种性质决定的?求矩阵A特征值的QR迭代时，具体收敛到哪种矩阵是由A的哪种性质决定的?设A∈Rn×n，且A有完备的特征向量组．如果A的等模特征值中只有实重特征值或多重复的共轭特征值，则由QR算法产生的{Ak。