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复合函数与隐数的微分法.ppt

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    • 第6章 多元函数微分学四川教育学院 土木与交通工程学院第6章:多元函数微分学 内容提要§6.3  复合函数与隐函数的微分法       §6.3.1  复合函数的微分法       §6.2.2  隐函数的微分法 第6章 多元函数微分学四川教育学院 土木与交通工程学院§6.3.1  复合函数的微分法  1. 二元复合函数的概念 如果 是变量 和 的函数,即 ,而 又是 的函数 ,则称函数 是 的复合 函数,记作 其中 称为中间变量 定理6.1 若函数 、 在点 的偏导数 、 、 、 均存在,函数 在相应的 点 处可微,则复合函数 在点 处的偏导数必存在,且2. 复合函数的微分法上述公式称为复合函数的链式法则 第6章 多元函数微分学四川教育学院 土木与交通工程学院§6.3.1  复合函数的微分法  2. 复合函数的微分法注1: 复合函数中变量与变量之间的关系常常可用如下图形来表示,称这种图为复合关系图. 第6章 多元函数微分学四川教育学院 土木与交通工程学院§6.3.1  复合函数的微分法  2. 复合函数的微分法图 A图  B 注2: 二元复合函数有两种特殊情形 (1)若 ,而 时复合函数 为一元函数,其复合关系图见图A所示,常称这种复合函数的导数为全导数,全导数公式为:(2)若 ,而 时复合函数为 ,其复合关系图 见图B 注3:求复合函数的偏导数时,和一元函数一样,最后要将中间变量消去. 第6章 多元函数微分学四川教育学院 土木与交通工程学院§6.3.1  复合函数的微分法  例1 设 求 解: 设 则 是 的复合函数,分别代入公式得 第6章 多元函数微分学四川教育学院 土木与交通工程学院§6.3.1  复合函数的微分法  例2    设 ,而 求    解: 由全导数公式 第6章 多元函数微分学四川教育学院 土木与交通工程学院§6.3.1  复合函数的微分法  例3 设 ,而 求由此可见全导数为 解 该题中函数的复合关系图为:当 时,由复合关系图得偏导数为: 第6章 多元函数微分学四川教育学院 土木与交通工程学院§6.3.1  复合函数的微分法  例4 设 试证                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                证明:设 , 则 是以 为中间变量的二元复合函数,所以 第6章 多元函数微分学四川教育学院 土木与交通工程学院§6.3.2  隐函数的微分法1. 隐函数的概念 一般,由方程所确定的函数均称为隐函数. 由于方程中含有的未知量可以是两个、三个、四个或更多,因此相应的就有一元隐函数、二元隐函数、三元隐函数等等. 含有两个未知量的方程,其一般形式为 ,它确定了 是 的一元函数,称其为一元隐函数; 含有三个未知数的方程,其一般形式为 ,它确定了 是 和 的二元函数,称其为二元隐函数;类似的还有三元、四元一直到n元的隐函数. 本书仅讨论一元和二元隐函数. 第6章 多元函数微分学四川教育学院 土木与交通工程学院 该式给出了一元隐函数的一种新的求导方法,使用该方法时只需将方程的一边移项为零,而将另一边看成F,然后分别求出F对x和对y的两个偏导数,代入该公式化简即可.§6.3.2  隐函数的微分法2. 隐函数的微分法 一元隐函数的导数在前面曾经利用复合函数求导法则求过.今利用偏导数给出求其导数的公式.为此将方程 F(x,y)=0的两边同时对x求导数,且把变量y看成变量x的函数(参见本节例3求法),得:当 时解之得 第6章 多元函数微分学四川教育学院 土木与交通工程学院§6.3.2  隐函数的微分法2. 隐函数的微分法       例5 求由方程 所确定的隐函数 的导数.        解 令因为 代入公式得所求隐函数的导数为: 第6章 多元函数微分学四川教育学院 土木与交通工程学院§6.3.2  隐函数的微分法2. 隐函数的微分法 同理,对于由方程F=(x,y,z)=0所确定的二元隐函数,欲得其求偏导数的公式,可将方程F=(x,y,z)=0两边分别同时对x和对y求偏导数,且将变量z看作x,y的函数,得 令 则当              时解之得 上式给出求二元隐函数的偏导数公式,其使用方法与一元相同. 第6章 多元函数微分学四川教育学院 土木与交通工程学院§6.3.2  隐函数的微分法2. 隐函数的微分法 的偏导数           例6 求由方程 所确定的隐函数 解  令则 代入公式(6.3.6)得其偏导数为 。

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