第8节-子群的陪集课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,PPT课件,*,/22,近世,代数,第,8,节 子群的陪集,主要内容,:,子群的陪集,Lagrange,定理,Lagrange,定理的应用,正规子群与商群,预备知识：,等价关系,等价类,集合的划分,商集,1,/22,PPT课件,第8节 子群的陪集主要内容:预备知识：1/22PPT课件,陪集的定义,定义,1,设,H,是群,G,的子群，,a,G,.,令,aH,=,ah,|,h,H,称,aH,是子群,H,在,G,中的,左陪集,.,称,a,为,aH,的,代表元素,.,令,Ha,=,ha,|,h,H,，称,Ha,是子群,H,在,G,中的,右陪集,.,称,a,为,Ha,的,代表元素,.,2,/22,PPT课件,陪集的定义定义1 设H是群G的子群，aG.令,陪集的,实例,例,1,设,G,=,e,a,b,c,是,Klein,四元群，,H,=(,a,)=,e,a,是,G,的子群,.,H,所有的左陪集是：,eH,=,e,a,=,H,aH,=,a,e,=,H,bH,=,b,c,cH,=,c,b,不同的左陪集只有两个，即,H,和,b,c,.,H,所有的右陪集？,3,/22,PPT课件,陪集的实例例1 设G=e,a,b,c是Klein,陪集的,实例,例,2,设,S,=1,2,3,S,3,=(1),(12),(13),(23),(123),(132).,H,所有的,左陪集,是：,(1),H,=(1),(12)=(12),H,=,H,(13),H,=(13),(132)=(132),H,(23),H,=(23),(123)=(123),H,不同的左陪集只有,3,个,即,H,(13),H,(23),H,.,H,=(1),(1 2),是,S,3,的子群,.,H,所有的,右陪集,是：,H,(1)=(1),(1 2)=,H,(12)=,H,H,(13)=(13),(123)=,H,(123),H,(23)=(23),(132)=,H,(132),不同的右陪集只有,3,个,即,H,H,(13),H,(23).,4,/22,PPT课件,陪集的实例例2 设 S=1,2,3,S3=,左陪集的基本性质,性质,1,设,H,是群,G,的子群，则,(1),eH,=,H,;,(2),a,G,有,a,aH.,性质,2,设,H,是群,G,的子群，则,a,b,G,有,a,bH,b,aH,a,1,b,H,aH,=,bH.,性质,3,设,H,是群,G,的子群,则,(1),a,G,，,aH,;,(2),a,b,G,，,aH,=,bH,或,aH,bH,=,;,(3),aH,=,G,.,性质,4,设,H,是群,G,的子群，则,H,的所有左陪集构成的,集族是,G,的一个划分,.,5,/22,PPT课件,左陪集的基本性质性质1 设H是群G的子群，则 性质2 设,右陪集的基本性质,性质,1,设,H,是群,G,的子群，则,(1),He,=,H,;,(2),a,G,有,a,Ha.,性质,2,设,H,是群,G,的子群，则,a,b,G,有,a,Hb,b,Ha,ba,1,H,Ha,=,Hb.,性质,3,设,H,是群,G,的子群,则,(1),a,G,，,Ha,;,(2),a,b,G,，,Ha,=,Hb,或,Ha,Hb,=,;,(3),Ha,=,G,.,性质,4,设,H,是群,G,的子群，则,H,的所有右陪集构成,的集族是,G,的一个划分,.,6,/22,PPT课件,右陪集的基本性质性质1 设H是群G的子群，则 性质2,有关陪集的,问题,设,H,是群,G,的子群。

H,的所有左陪集都是,G,的非空子集请问：,H,的左陪集一定是,G,的子群吗？,判别群,G,的非空子集,是,其子群的方法？,判别群,G,的非空子集,不是,其子群的方法？,7,/22,PPT课件,有关陪集的问题设H是群G的子群判别群G的非空子集是其子群的,性质,6,设,H,是群,G,的子群，令,S,l,为,H,的所有左陪集构,成的集族，,S,r,为,H,的所有右陪集构成的集族，则,|,S,l,|=|,S,r,|.,陪集的基本性质,性质,5,设,H,是群,G,的子群，则,a,b,G,，,|aH|,=|,bH|=,|,H|=|Ha|,=|,Hb|,.,8,/22,PPT课件,性质6 设H是群G的子群，令Sl为H的所有左陪集构陪集的基本,Lagrange,定理,定理,1,（,Lagrange,）设,G,是有限群，,H,是,G,的子群，则,|,G,|=|,H,|,G,:,H,其中,G,:,H,是,H,在,G,中的不同左陪集,(,或右陪集,),个数，,称为,H,在,G,中的,指数,.,证,设,G,:,H,=,r,，,a,1,a,2,a,r,分别是,H,的,r,个不同右陪,集的代表元素，,G,=,Ha,1,Ha,2,Ha,r,|,G,|=|,Ha,1,|+|,Ha,2,|+|,Ha,r,|,由,|,Ha,i,|=|,H,|,，,i,=1,2,r,得 ,|,G,|=|,H,|,r,=|,H,|,G,:,H,9,/22,PPT课件,Lagrange定理定理1（Lagrange）设G是有限群,Lagrange,定理的推论,推论,1,设,G,是,n,阶群，则,a,G,，,|,a,|,是,n,的因子，且有,a,n,=,e,.,证,任取,a,G,，,(,a,),是,G,的子群，,(,a,),的阶是,n,的因子,.,(,a,),是由,a,生成的子群，若,|,a,|=,r,，则,(,a,)=,a,0,=,e,a,1,a,2,a,r,1,即,(,a,),的阶与,|,a,|,相等,所以,|,a,|,是,n,的因子,.,从而,a,n,=,e,.,10,/22,PPT课件,Lagrange定理的推论推论1 设G是n阶群，则aG，,Lagrange,定理的推论,推论,2,对阶为素数的群,G,，必存在,a,G,使得,G,=(,a,).,证,设,|,G,|=,p,，,p,是素数,.,由,p,2,知,G,中必存在非单位元,.,任取,a,G,，,a,e,，则,(,a,),是,G,的子群,.,根据,Lagrange,定理，,(,a,),的阶是,p,的因子，即,(,a,),的阶是,p,或,1.,显然,(,a,),的阶不是,1,，这就推出,G,=(,a,).,11,/22,PPT课件,Lagrange定理的推论推论2 对阶为素数的群G，必存,Lagrange,定理的应用,命题,：如果群,G,只含,1,阶和,2,阶元，则,G,是,Abel,群,.,证 设,a,为,G,中任意元素，有,a,1,=,a,.,任取,x,y,G,，则,xy,=(,xy,),1,=,y,1,x,1,=,yx,，,因此,G,是,Abel,群,.,12,/22,PPT课件,Lagrange定理的应用命题：如果群 G 只含 1 阶和,Lagrange,定理的应用,例,3,证明,6,阶群中必含有,3,阶元,.,证,设,G,是,6,阶群，则,G,中元素只能是,1,阶、,2,阶、,3,阶,或,6,阶,.,若,G,中含有,6,阶元，设为,a,，则,a,2,是,3,阶元,.,若,G,中不含,6,阶元，下面证明,G,中必含有,3,阶元,.,如若不然，,G,中只含,1,阶和,2,阶元，即,a,G,，有,a,2,=,e,，由命题知,G,是,Abel,群,.,取,G,中,2,阶元,a,和,b,，,a,b,，令,H,=,e,a,b,ab,，则,H,是,G,的子群，,但,|,H,|=4,，,|,G,|=6,，与,Lagrange,定理矛盾,.,13,/22,PPT课件,Lagrange定理的应用例3 证明 6 阶群中必含有,例,4,证明阶小于,6,的群都是,Abel,群,.,Lagrange,定理的应用,证,1,阶群是平凡的，显然是,Abel,群,.,2,3,和,5,都是素数，由推论,2,它们都是单元素生成的,循环群，都是,Abel,群,.,设,G,是,4,阶群,.,若,G,中含有,4,阶元，比如说,a,，则,G,=(,a,),是循环群，可知,G,是,Abel,群,.,若,G,中不含,4,阶元，,G,中只含,1,阶和,2,阶元，由命题可,知,G,也是,Abel,群,.,14,/22,PPT课件,例4 证明阶小于6 的群都是Abel群.Lagrang,注意：,设,G,是一个,n,阶有限群，由,Lagrange,定理可,知：,G,的子群的阶必是,n,的一个因子,.,但反过来，则未必成立，即：,对,n,的任一因子,d,，,G,未必有一个,d,阶子群,.,例如,：交代群,A,4,中就没有,6,阶子群,.,但在群论中有以下结论：,结论：,若,G,是一个有限交换群，则,Lagrange,定理的,逆成立,.,例如：,若,G,=(,a,),是,n,阶循环群，则对,n,的每个正因子,d,，,G,有且仅有一个,d,阶子群,.,Lagrange,定理的注释,15,/22,PPT课件,注意：设G是一个n阶有限群，由Lagrange定理可Lagr,等价关系与子群的陪集,设,H,是群,G,的子群，在,G,上定义二元关系,R,：,a,b,G,(,a,b,),R,a,1,b,H,则,R,是,G,上的等价关系，且,a,R,=,aH,.,设,R,是非空集合,X,上的等价关系,则,a,X,a,a,。

等价类的性质,:,陪集的性质,:,设,H,是群,G,的子群，则,(1),eH,=,H,;,(2),a,G,有,a,aH.,16,/22,PPT课件,等价关系与子群的陪集设H是群G的子群，在G上定义二元关系R：,等价类的性质,:,陪集的性质,:,设,H,是群,G,的子群，则,a,b,G,有,a,bH,b,aH,a,1,b,H,aH,=,bH.,设,R,是非空集合,X,上的等价关系,则,a,b,X,有,(,a,b,),R,a,b,b,a,a,=,b,.,等价关系与子群的陪集,17,/22,PPT课件,等价类的性质:陪集的性质:设H是群G的子群，则a,bG,设,R,是非空集合,X,上的等价关系,则,(1),a,X,a,2),a,b,X,，,a,=,b,或,a,b,=,;,(3),a,=,X,.,等价类的性质,:,陪集的性质,:,设,H,是群,G,的子群,则,(1),a,G,，,aH,;,(2),a,b,G,，,aH,=,bH,或,aH,bH,=,;,(3),aH,=,G,.,等价关系与子群的陪集,18,/22,PPT课件,设R是非空集合X上的等价关系,则 (1)aX,左陪集的定义,:,等价类的定义,:,a,=,b,|(,a,b,),R,b,G,设,H,是群,G,的子群，,a,G,.,子群,H,在,G,中的左陪集：,aH,=,ah,|,h,H,由于,a,b,G,(,a,b,),R,a,1,b,H,所以，子群,H,在,G,中的左陪集：,aH,=,ah,|,h,H,=,b,|(,a,b,),R,b,G,=,a,=,b,|,a,1,b,H,b,G,等价关系与子群的陪集,19,/22,PPT课件,左陪集的定义:等价类的定义:a=b|(a,正规子群与商群,定义,1,设,H,是群,G,的子群。

如果,a,G,有,aH,=,Ha,，则,称,H,是群,G,的,正规子群,或,不变子群,，记作,H,G,.,定理,1,设,H,是群,G,的正规子群，则,H,的所有左陪集构成,的集合对,群子集乘法,形成一个群,.,定义,2,群,G,的正规子群,H,的所有左陪集构成的集合对,群子集乘法形成一个群称为,G,对,H,的,商群,，记为,G,/,H,.,20,/22,PPT课件,正规子群与商群定义1 设H是群G的子群如果aG有aH=,正规子群的判别,定理,2(,正规子群的判别定理,),设,H,是群,G,的一个,子群,，,则,(1),H,是群,G,的正规子群,a,G,有,aHa,-1,=,H,;,(2),H,是群,G,的正规子群,a,G,有,aHa,-1,H,;,(3),H,是群,G,的正规子群,a,G,h,H,有,aha,-1,H,.,注意：,(1),定理,2,的前提条件是：,H,是群,G,的一个,子群,，,而不是：,H,是群,G,的一个,非空子集,.,(2),子群与正规子群之间的关系,.,21,/22,PPT课件,正规子群的判别定理2(正规子群的判别定理)设H是群G的一个,主要内容：,子群陪集的定义和性质,Lagrange,定理,Lagrange,定理的一些简单应用,正规子群的定义和判别,总 结,基本要求：,熟悉陪集的定义和性质,熟悉,Lagrange,定理及其推论，学习简单应用,熟悉正规子群的定义及商群的构造,22,/22,PPT课件,主要内容：总 结基本要求：22/22PPT课件,。