平面问题有限单元法ppt课件.ppt
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第六章 用有限单元法解平面问题 第五节第五节 单元的结点力列阵与劲度矩阵单元的结点力列阵与劲度矩阵第四节第四节 单元的应变列阵和应力列阵单元的应变列阵和应力列阵 第三节第三节 单元的位移方式与解答的收敛性单元的位移方式与解答的收敛性第二节第二节 有限单元法的概念有限单元法的概念第一节第一节 根本量及根本方程的矩阵表示根本量及根本方程的矩阵表示概述概述第六节第六节 荷载向结点移置荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵单元的结点荷载列阵 第六章 用有限单元法解平面问题 例题例题第十一节第十一节 运用变分原理导出有限单元法的根本方程运用变分原理导出有限单元法的根本方程 第十节第十节 计算实例计算实例 第九节第九节 计算成果的整理计算成果的整理 第八节第八节 解题的详细步骤解题的详细步骤 单元的划分单元的划分第七节第七节 构造的整体分析结点平衡方程组构造的整体分析结点平衡方程组习题的提示与答案习题的提示与答案教学参考资料教学参考资料 第六章 用有限单元法解平面问题 第六章第六章 用有限单元法解平面问题用有限单元法解平面问题1.有限元法〔Finite Element Method〕 FEM2. FEM的特点 概述概述〔〔1 1〕具有通用性和灵敏性。
〕具有通用性和灵敏性 首先将延续体变换为离散化构造，然后再利用 分片插值技术与虚功原理或变分方法进展求解简称称FEM，是，是弹性力学的一种近似解法性力学的一种近似解法 第六章 用有限单元法解平面问题 简史3. FEM简史 〔 〔2 2〕 〕对对同一同一类问题类问题，可以，可以编编制出通用程序，运制出通用程序，运用用计计算机算机进进展展计计算 〔 〔3 3〕 〕只需适当加密网格，就可以到达工程要求只需适当加密网格，就可以到达工程要求的精度 1943 1943年柯朗第一次提出了年柯朗第一次提出了FEMFEM的概念 FEM FEM是上世是上世纪纪中期才出中期才出现现，并得到迅速开展，并得到迅速开展 和广泛运用的一种数和广泛运用的一种数值值解法 第六章 用有限单元法解平面问题 • 1970 1970年后，年后，FEMFEM被引入我国，并很快地得到运被引入我国，并很快地得到运用和开展用和开展简史 1956 1956年，特年，特纳纳等人提出了等人提出了FEMFEM 20世纪50年代，平面问题的FEM建立，并运用于工程问题。
1960 1960年提出了年提出了FEMFEM的称号 20 20世世纪纪6060年代后，年代后，FEMFEM运用于各种力学运用于各种力学问题问题和和非非线线性性问题问题，并得到迅速开展并得到迅速开展 第六章 用有限单元法解平面问题 导出方法5.5.本章引本章引见见平面平面问题问题的的FEM FEM 4. FEM的主要导出方法 运用静力方法或运用静力方法或变分方法分方法导出仅表达按位移求解的方法表达按位移求解的方法且普通都以平面且普通都以平面应力力问题来表示 第六章 用有限单元法解平面问题 §6-1 根本量和根本方程的根本量和根本方程的 矩矩阵阵表示表示 本章无特别指明，均表示为平面应力 问题的公式 采用矩阵表示,可使公式一致、简约， 且便于编制程序 第六章 用有限单元法解平面问题 根本物理量：根本物理量： 膂力膂力: :根本物理量位移函数位移函数:应变:应力力:结点位移列点位移列阵:结点力列点力列阵: :面力面力: : 第六章 用有限单元法解平面问题 物理方程物理方程: FEM中运用的方程：中运用的方程： 几何方程几何方程:运用的方程其中其中D D为弹性矩性矩阵，，对于平面于平面应力力问题是是: : 第六章 用有限单元法解平面问题 • --结点虚位移; • --对应的虚应变。
运用的方程ij虚功方程虚功方程:其中其中: : 在在FEMFEM中，用中，用结结点的平衡方程替代平衡点的平衡方程替代平衡微分方程，后者不再列出微分方程，后者不再列出 第六章 用有限单元法解平面问题 3. 3.整体分析整体分析 §6-2 §6-2 有限有限单单元法的概念元法的概念 • FEM FEM的概念，可以的概念，可以简简述述为为：采用有限自在度：采用有限自在度 •的离散的离散单单元元组组合体模型去描画合体模型去描画实实践具有无限自在践具有无限自在 •度的度的调查调查体，是一种在力学模型上体，是一种在力学模型上进进展近似的数展近似的数 •值计值计算方法 • 其其实际实际根底是分片插根底是分片插值值技技术术与与变变分原理 FEM的概念1.1.将延将延续续体体变换为变换为离散化构造；离散化构造； 2.2.单单元分析；元分析； FEMFEM的分析的分析过过程：程： 第六章 用有限单元法解平面问题 •构造力学研构造力学研讨的的对象是离散化构造如桁架，象是离散化构造如桁架， •各各单元〔杆件〕之元〔杆件〕之间除除结点点铰结外，没有其他外，没有其他联 •系〔系〔图〔〔a a〕〕。
〕〕弹力研力研讨的的对象，是延象，是延续体〔体〔图〔〔b b〕〕) )构造离散化1. 构造离散化－－将延构造离散化－－将延续续体体变换为变换为离散化构离散化构造造 第六章 用有限单元法解平面问题 •将延将延续体体变换为离散化构造〔离散化构造〔图〔〔c c〕〕：〕〕： •即将延即将延续体划分体划分为有限多个、有限大小的有限多个、有限大小的单元，元， •并使并使这些些单元元仅在一些在一些结点点处用用绞连结起来，构起来，构 •成所成所谓‘‘离散化构造离散化构造’’构造离散化 第六章 用有限单元法解平面问题 •图〔〔c c〕与〕与图( a( a〕相比，两者都是离散〕相比，两者都是离散 •化构造；区化构造；区别是，桁架的是，桁架的单元是杆件，而元是杆件，而 •图〔〔c c〕的〕的单元是三角形元是三角形块体〔留意：三体〔留意：三角角 •形形单元内部仍是延元内部仍是延续体〕构造离散化例如：将深梁划分例如：将深梁划分为许多三角形多三角形单元，元，这 些些单元元仅在角点用在角点用铰衔接起来 第六章 用有限单元法解平面问题 2.2.单单元分析元分析 求解方法 每个三角形单元依然假定为延续的、均匀的、各向同性的完全弹性体。
因单元内部仍是延续体，应按弹性力学方法进展分析 取各结点位移 为根本未知量然后对每个单元,分别求出各物理量,并均用 来表示 第六章 用有限单元法解平面问题 〔〔1〕运用插〕运用插值公式公式, 由由单元元结点位移点位移 ，求，求单元的位移函数元的位移函数求解方法这个插个插值公式称公式称为单元的位移方式，元的位移方式，为：： 单元分析的主要内容：单元分析的主要内容： 第六章 用有限单元法解平面问题 〔〔4 4〕运用虚功方程，由〕运用虚功方程，由单元的元的应力力 ，， 求出求出单元的元的结点力，表示点力，表示为 〔〔3 3〕运用物理方程，由〕运用物理方程，由单元的元的应变 ，， 求出求出单元的元的应力，表示力，表示为 •〔〔2〕运用几何方程，由单元的位移函数〕运用几何方程，由单元的位移函数d，求出单元的应变，表示为，求出单元的应变，表示为求解方法 第六章 用有限单元法解平面问题 －－－－单元元对结点的点的 作用力，与作用力，与 数数 值一一样, ,方向相反，方向相反， 作用于作用于结点。
点• --结点对单元的作用力，作用 • 于单元，称为结点力，以正标向为正求解方法 第六章 用有限单元法解平面问题 •〔〔5 5〕将每一〕将每一单元中的各种外荷元中的各种外荷载，按虚，按虚功等效原那么移置到功等效原那么移置到结点上，化点上，化为结点荷点荷载，表示，表示为 求解方法 第六章 用有限单元法解平面问题 为知值, 是用结点位移表示的值 经过求解联立方程，得出各结点位移值，从而求出各单元的应变和应力 各单位移置到i 结点上的结点荷载 其中 表示对围绕i 结点的单元求和；求解方法3.3.整体分析整体分析各各单元元对i i 结点的点的结点力点力 作用于作用于结点点i i上的力有：上的力有： 第六章 用有限单元法解平面问题 求解方法 3. 3.整体分析整体分析 2.2.对单对单元元进进展分析展分析 1.1.将延将延续续体体变换为变换为离散化构造离散化构造 归纳起来，起来，FEMFEM分析的主要步分析的主要步骤：： 〔〔1 1〕〕单元的位移方式元的位移方式〔〔2 2〕〕单元的元的应变列列阵〔〔4 4〕〕单元的元的结点力列点力列阵〔〔5 5〕〕单元的等效元的等效结点荷点荷载列列阵建立建立结点平衡方程点平衡方程组，求解各，求解各结点的位移。
点的位移〔〔3 3〕〕单元的元的应力列力列阵 第六章 用有限单元法解平面问题 思索题• 1.桁架的单元为杆件，而平面体的单元为三角形块体，在三角形内仍是作为延续体来分析的前者可用构造力学方法求解，后者只能用弹性力学方法求解，为什么？2. 2. 在平面在平面问题问题中，能否也可以思索其它的中，能否也可以思索其它的单单 元外形，如四元外形，如四边边形形单单元？元？ 第六章 用有限单元法解平面问题 运用插运用插值公式，可由公式，可由 求出位移求出位移 首先必需处理：由单元的结点位移 来求出单元的位移函数 FEM是取结点位移 为根本未知数的问题是如何求应变、应力 这个插值公式表示了单元中位移的分布方式，因此称为位移方式§6-3 §6-3 单单元的位移方式与元的位移方式与 解答的收解答的收敛敛性性 位移方式 第六章 用有限单元法解平面问题 插值公式〔a〕在结点 应等于结点位移值 由此可求出 • 泰勒级数展开式中，低次幂项是最重要的。
所以三角形单元的位移方式，可取为： 三角形单元〔〔a a〕〕 第六章 用有限单元法解平面问题 将式〔将式〔a a〕按未知数〕按未知数 归纳为: :• 其中 包含 三角形单元或用矩或用矩阵表示表示为: :〔〔b b〕〕 第六章 用有限单元法解平面问题 •N －－ 称为形〔态〕函数矩阵三角形单元〔〔c c〕〕 第六章 用有限单元法解平面问题 A为三角形 的面积〔图示坐标系中， 按逆时针编号〕，有：•其中其中: :三角形单元 第六章 用有限单元法解平面问题 • 三三结结点三角形点三角形单单元的位移方式，略去了元的位移方式，略去了2 2次次以上的以上的项项，因此其，因此其误误差量差量级级是是 且其中只包含且其中只包含了了 的的1 1次次项项，所以在，所以在单单元中元中 的分布如的分布如图图 •〔 〔a a〕 〕所示，所示， 的分布如的分布如图图〔 〔b b〕 〕、、〔 〔c c〕 〕所示 三角形单元(a)(b)(c)1 第六章 用有限单元法解平面问题 所以当单元趋于很小时，即 时，为了使FEM之解逼近于真解。
那么为了保证FEM收敛性,位移方式应满足以下条件： •FEMFEM中以后的一系列任中以后的一系列任务务，都是以位移，都是以位移 •方式方式为为根底的 收敛性条件 第六章 用有限单元法解平面问题 由于当单元 时，单元中的位移和应变都趋近于根本量－－刚体位移和常量位移 〔〔1 1〕位移方式必需能反映〕位移方式必需能反映单元的元的刚体位移 收敛性条件〔〔2 2〕位移方式必需能反映〕位移方式必需能反映单元的常量元的常量应变 第六章 用有限单元法解平面问题 收敛性条件可可见刚体位移体位移项在式〔在式〔a a〕中均已反映〕中均已反映 与与刚体位移相比，体位移相比， 将式〔将式〔a a〕写成〕写成 第六章 用有限单元法解平面问题 〔〔3 3〕位移方式〕位移方式应尽能尽能够反映位移的延反映位移的延续性 即即应尽能尽能够反映原延反映原延续体的位移延体的位移延续 性在三角形性在三角形单元内部，位移元内部，位移为延延续；在两；在两单元元边境境ij ij 上，上， 之之间均均为线性性变化，化，也也为延延续。
•对式〔式〔a a〕求〕求应变，得：，得：收敛性条件可可见常量常量应变也已反映也已反映 第六章 用有限单元法解平面问题 • 〔 〔1〕 〕和和〔 〔2〕 〕是必要条件，而加上是必要条件，而加上〔 〔3〕 〕就就为为充分条件充分条件收敛性条件 为为了保了保证证FEM的收的收敛敛性：性： 第六章 用有限单元法解平面问题 思索题•1.1.运用泰勒运用泰勒级级数公式来数公式来选选取位移方式，取位移方式，为为什么什么必需从低次必需从低次项项开开场选场选取？取？ •2.2.试试思索：将构造力学解法引入到求解延思索：将构造力学解法引入到求解延续续体体的的问题时问题时，位移方式的建立是一个关，位移方式的建立是一个关键键性任性任务务，，它使得它使得单单元元( (延延续续体体) )内部的分析任内部的分析任务务都有能都有能够够进进展了 第六章 用有限单元法解平面问题 §6-4 §6-4 单单元的元的应变应变列列阵阵和和应应力列力列阵阵 位移函数其中， 单单元中的位移函数用位移方式表示元中的位移函数用位移方式表示为为 第六章 用有限单元法解平面问题 •运用几何方程，求出运用几何方程，求出单元的元的应变列列阵：： 应变 第六章 用有限单元法解平面问题 应变S——称称为应为应力力转换转换矩矩阵阵，写成分，写成分块块方式方式为为再运用物理方程，求出单元的应力列阵：B ——称称为应变为应变矩矩阵阵，用分，用分块块矩矩阵阵表示，表示， 第六章 用有限单元法解平面问题 • 对于线性位移方式，求导后得到的应变和应力，均成为常量，因此，称为常应变〔应力〕单元。
应变和应力的误差量级是 其精度比位移低一阶，且相邻单元的应力是腾跃式的应力 第六章 用有限单元法解平面问题 思索题•1.1.假假设设在位移方式中取到泰勒在位移方式中取到泰勒级级数中的二数中的二次次幂项幂项，略去，略去 高高阶阶小量，小量，试试思索位移、思索位移、应变应变和和应应力的力的误误差量差量级级 第六章 用有限单元法解平面问题 §6-5 §6-5 单单元的元的结结点力列点力列阵阵与与劲劲度矩度矩阵阵 如今来思索其中一个单元：模型 在FEM中，首先将延续体变换为离散化构造的模型 第六章 用有限单元法解平面问题 〔〔2 2〕〕单元与周元与周围的的单元在元在边境上已没有境上已没有联 系，只在系，只在结点点 相互相互联络 〔〔1 1〕将作用于〕将作用于单元上的各种外荷元上的各种外荷载，按静，按静 力等效原那么移置到力等效原那么移置到结点上去，化点上去，化为等等 效效结点荷点荷载故单元内已没有外荷元内已没有外荷载 第六章 用有限单元法解平面问题 假想将假想将单元与元与结点点i i 切开，那么：切开，那么： 其数其数值与与 一一样，而方向相反。
而方向相反结点力以沿正坐以沿正坐标向向为正对单元而言，元而言，这是作是作 用于用于单元上的元上的““外力〞 结点作用于单元上的力，称为结点力，单元作用于元作用于结点的力，点的力，为：： 第六章 用有限单元法解平面问题 按虚功方程，在虚位移上，外力的虚功等于应力的虚功结点力而其内部有应力作用， 调查已与结点切开后的单元 ，那么此单元上作用有外力－－结点力 ，运用虚功方程，求单元的结点力： 第六章 用有限单元法解平面问题 •假假设发生一生一组结点虚位移 点虚位移 那么那么单元内元内任一点〔任一点〔x,yx,y〕的虚位移〕的虚位移为 单元内元内 •任一点〔任一点〔x,yx,y〕的虚〕的虚应变为 代入虚代入虚 •功方程：在功方程：在单元中，外力〔元中，外力〔结点力点力 〕在虚〕在虚 •位移〔位移〔结点虚位移 点虚位移 〕上的虚功，等于 〕上的虚功，等于应 •力力 在虚在虚应变 上的虚功，即：上的虚功，即： 虚功方程 第六章 用有限单元法解平面问题 其中其中 与与 无关，故式无关，故式(a) (a) 成成为 式式(b)(b)是由是由应力求力求结点力的普通公式。
点力的普通公式 由于由于 是独立的恣意的虚位移，虚功方是独立的恣意的虚位移，虚功方程程对对恣意的恣意的 均均应满应满足，可得出足，可得出 代入代入 (b) 第六章 用有限单元法解平面问题 式〔式〔c c〕是由〕是由结点位移求点位移求结点力的普通公式，点力的普通公式， －－称－－称为单元的元的劲度矩度矩阵 K其中：其中： 再将再将应力公式代入上式，得力公式代入上式，得 单元劲度矩阵〔c〕〔d〕 第六章 用有限单元法解平面问题 对于三角形于三角形单元，元，B B 矩矩阵内均内均为常数，常数， 有有 代入 B，D，得出 k 如书中〔6-37〕及〔6-38〕所示 第六章 用有限单元法解平面问题 〔〔1 1〕〕 是是6×66×6的方的方阵，， 中每一个元素都表示中每一个元素都表示 单元各元各结点沿坐点沿坐标方向方向发生生单位位移位位移时所所 引起的引起的结点力〔〔2 2〕由反力互等定理，〕由反力互等定理， 所以所以 是是对称称 矩矩阵，以，以对角角线为对称称轴。
单元元劲度矩度矩阵k k的性的性质：：〔〔3 3〕当〕当单元作元作刚体平移体平移时，如，如 三角形内不三角形内不产生生应力和力和应变，，结点力也点力也为0 0 第六章 用有限单元法解平面问题 〔〔4 4〕由〔〕由〔3 3〕可〕可导出行列式出行列式 〔〔5 5〕〕 的元素与 的元素与 单元的外形和方位等元的外形和方位等 有关，但与有关，但与单元的大小和元的大小和刚体的平体的平动以及作以及作 度度转动无关即有：即有： 中每一行〔或列〕的元素之和中每一行〔或列〕的元素之和为零〔其中零〔其中第第1 1、、3 3、、5 5元素之和或元素之和或2 2、、4 4、、6 6元素之和也元素之和也为0 0〕 第六章 用有限单元法解平面问题 • 〔书中P.117页〕，以直角三角形单元为例，计算了应力转换矩阵S和单元劲度矩阵 • 从例题中可以看出，将单元边境上的应力向结点移置，化为作用于结点上的力，正好就是结点力。
在FEM中，单元边境之间的联络和相互作用力，都向结点简化，归结成为结点的铰结和结点力 思索题 例题试求出书中例题的位移方式 第六章 用有限单元法解平面问题 §6§6－－6 6 荷 荷载载向向结结点移置 点移置 单单元的元的结结点荷点荷载载列列阵阵 在FEM中，须将作用于单元中的外荷载向结点移置，化为等效结点荷载， 第六章 用有限单元法解平面问题 〔2〕变形体静力等效原那么－－在恣意的虚位移上，使原荷载与移置荷载的虚功相等 • 1、等效原那么 •〔1〕刚体静力等效原那么－－使原荷载与移置荷载的主矢量以及对同一点的主矩也一样 移置原那么 刚体静力等效原那么只从运动效应来思索，得出移置荷载不是独一的解；变形体的静力等效原那么思索了变形效应，在一定的位移方式下，其结果是独一的，且也满足了前者条件的 所以在FEM中，采用变形体的静力等效原那么 第六章 用有限单元法解平面问题 假设发生一组结点虚位移 ，那么点的 虚位移为 使移置荷载的虚功等 于原荷载的虚功：• • 2、集中力的移置公式 • 原荷载 作用于单元中任一 •点 为单位厚度上的作用力；移置荷载 • 作用于结点 集中力 第六章 用有限单元法解平面问题 3、单元边境 上面力 的移置公式 运用式 ，将 代之为 并在边境 上积分，得:•对于恣意的虚位移 ，虚功方程都 •必需满足，得： 面力 第六章 用有限单元法解平面问题 •运用式 ，将 代之为 并对单 •元域A 积分，得 4 4、、单单元内膂力元内膂力 的移置公式的移置公式 膂力 当位移方式为线性函数时，由虚功方程得出的移置荷载，与按刚体静力等效原那么得出的结点荷载一样。
第六章 用有限单元法解平面问题 思索题•1. 试导出书中例题的荷载移置公式 第六章 用有限单元法解平面问题 • 在单元分析中，从单元的结点位移→求位移分布→求应变→求应力→求结点力，为单元的内力分析；外荷载移置到结点荷载，为单元的外力分析 §6§6－－7 7 构造的整体分析 构造的整体分析 结结点平衡方程点平衡方程组组 假设将结点i与周围的单元切开，那么围绕i结 点的每个单元对i 结点有结点力( 〕的作用, 也有外荷载移置的结点荷载〔 〕的作用下面思索整体分析 第六章 用有限单元法解平面问题 对某一个单元 ，其中 是对围绕i 结点的单元求和• i 结点的平衡条件为 • 结点平衡条件 第六章 用有限单元法解平面问题 是单元结点的部分编号； 是整体结点的整体编号 •代入式 ，可表示为 将式 按整体结点编号陈列，得整个构造的平衡方程组 第六章 用有限单元法解平面问题 思索构造的约束条件后，从式 求出 ，就可以求出各单元的位移和应力。
• －－整体结点位移列阵， • －－整体结点荷载列阵， • －－整体劲度矩阵 结点平衡方程组 第六章 用有限单元法解平面问题 例2例1•列出图示构造i 结点的平衡条件〔见书中P.121〕②②①①③③④④ 第六章 用有限单元法解平面问题 有限有限单元法的元法的详细计算步算步骤：： §6§6－－8 8 解 解题题的的详细详细步步骤骤 单单元的划分元的划分 1、划分单元网格，对单元和结点编号 2、选定直角坐标系，按程序要求填写和输入有关信息单元内的ijm的部分编号应按书中规定的右手规那么编号否那么会使三角形的面积出现负号等问题 第六章 用有限单元法解平面问题 • 3、运用已编好的程序进展上机计算事先须将有限单元法的公式，计算方法和步骤都编入程序 4、对成果进展整理、分析 对第1和第4步的任务，也尽能够让计算机执行，以减少人工的任务量如自动划分网格，整理成果等。
第六章 用有限单元法解平面问题 • 关于单元的划分，留意几点：〔8〕构造具有凹槽或孔洞等应力集中处等〔1〕单元大小问题；〔2〕单元在不同部位的合理布置问题；〔3〕三角形三个内角最好较接近；〔4〕利用对称性和反对称性；〔5〕厚度突变之处和资料不同之处；〔6〕载荷作用〔集中力或突变分布载荷〕处；〔7〕水利闸坝工程问题； 第六章 用有限单元法解平面问题 在有限单元法中，位移的精度较高， 其误差量级是 ，即与单元尺度的二次幂成正比应力的误差量级是 ，即与单元的大小成正比 §6§6－－9 9 计计算成果的整理算成果的整理 第六章 用有限单元法解平面问题 三结点三角形单元的应力的成果，不但应力的精度较低，而且还产生了所谓应力的动摇性 对于结点位移的成果，可以直接采用 第六章 用有限单元法解平面问题 • 应力的动摇性在三结点三角形单元中较为显著 由于计算出的应力的精度较低假设Ⅰ单元的应力成果为 ，其中 为真解， • 为误差那么由于在结点都列出了平衡方程并令其满足，从而使相邻的Ⅱ单元的应力趋近于 。
这就产生了应力的动摇性 缘由是， 第六章 用有限单元法解平面问题 为了提高应力的精度，处理应力动摇性问题，可以采用两种应力成果的整理方法： 普通地讲，两相邻单元平均法的精度较好，由于它涉及的区域范围较小 〔1〕两相邻单元平均法 〔2〕绕结点平均法 第六章 用有限单元法解平面问题 • 在受面力边境限附近，求得的应力误差较大可采用向外插值的方法〔例抛物线插值〕来处理 • 第六章 用有限单元法解平面问题 • 为了提高应力的精度，可以采用两种方法 是加密网格，减少单元的尺寸，以提高应力的精度 • 是可以采用较多结点的单元，并使 • 位移方式中包含一些高幂次的项，从而提 • 高位移和应力的精度二一 第六章 用有限单元法解平面问题 书中运用三结点三角形单元，计算了以下例题：§6§6－－1010 计计算算实实例例 1. 楔形体受自重及齐顶水压力 2. 简支梁受均布荷载 3. 圆孔附近的应力集中 第六章 用有限单元法解平面问题 在整理应力成果时，读者应留意，运用三角形单元时，〔1〕采用两单元平均法和绕结点平均法的 应力成果比较接近，但前者的精度略 好于后者。
〔2〕边境面的应力，宜采用向外插值的方 法求出 第六章 用有限单元法解平面问题 在FEM中，将延续体变换为离散化构造之后，有两种导出FEM公式的主要方法： §6§6－－1111 运用 运用变变分原理分原理导导出出 有限有限单单元法根本方程元法根本方程 第六章 用有限单元法解平面问题 〔2〕建立单元的位移方式，求出单元中的 位移分布，1.按静力方法导出FEM公式 〔1〕取结点位移 为根本未知数；〔3〕由几何方程求出单元的应变，〔4〕由物理方程求出单元的应力，按构造力学方法导出FEM公式 第六章 用有限单元法解平面问题 〔5〕由虚功方程求出单元的结点力，〔6〕由虚功方程求出单元的结点荷载 ， 〔7〕建立结点平衡方程组， 按构造力学方法导出FEM公式 第六章 用有限单元法解平面问题 〔1〕变分原理中的极小势能原理是2. 按变分方法导出FEM公式 保管上述〔1〕-〔4〕步骤，然后运用极小势能原理导出FEM根本方程按变分法导出FEM公式对于平面问题， 第六章 用有限单元法解平面问题 对于延续体,变分的宗量是位移函数 变分方程 可表示为总势能 对 的导数等于0，即 第六章 用有限单元法解平面问题 变分宗量由 变换成〔2〕将经典变分原理运用到离散化构造，那么 总势能、形变势能和外力势能，可以用单元的势能之和来表示 第六章 用有限单元法解平面问题 其中 为三角形单元的面积。
运用前面记号,内力势能为 第六章 用有限单元法解平面问题 其中 为三角形单元的受面力边境援用 前面记号 外力势能为 总势能为 第六章 用有限单元法解平面问题 故总势能极小值条件 变换为 〔3〕对于离散化构造，泛函数 的宗量变 换为 那么式(n) 成为援用矩阵运算公式， 第六章 用有限单元法解平面问题 其中 第六章 用有限单元法解平面问题 代入式(o) ，得出与构造力学方法导出的一样方程， 从物理意义上讲，将延续体的经典变分原 理(g) 或 (i) 运用到离散化构造，成为式(p) 第六章 用有限单元法解平面问题 代入式(o) ，得出与构造力学方法导出的一样方程， 从物理意义上讲，将延续体的经典变分原 理(g) 或 (i) 运用到离散化构造，成为式(p) 第六章 用有限单元法解平面问题 例题1例题2例题3例题4例题 第六章 用有限单元法解平面问题 • 例题1 平面问题中采用的四结点矩阵单 元，如下图该单元的结点位移列阵是 • 第六章例题ba 第六章 用有限单元法解平面问题 采用的位移方式是 其中的系数 , 由四个结点处的位 移值,应等于结点位 移值 的条件求出。
ab 第六章 用有限单元法解平面问题 • 读者试检查其收敛性条件能否满足？并估计位移和应力的误差量级第六章例题 第六章 用有限单元法解平面问题 • 例题2 平面问题中采用的六结点三角形单 • 元，如下图 • 该单元的结点位移列阵为 • • 其位移方式取为 第六章例题 第六章 用有限单元法解平面问题 可以类似地表示然后由六个结点处的条件求出 读者试检查其位移方式的收敛性，并估计其位移和应力的误差量级 第六章 用有限单元法解平面问题 • 在空间问题中，采用的最简单的单元，是如下图的4结点四面体单元， • 其位移方式是 例例题3第六章例题 第六章 用有限单元法解平面问题 试思索如何求出其系数 并检查位移方式的收敛性条件,并估计其位移和应力的误差量级 第六章 用有限单元法解平面问题 • 例题4 图〔a〕所示的深梁，在跨中受集中力F的作用，假设取 试用有限单元法求解跨中的位移。
第六章例题 第六章 用有限单元法解平面问题 第六章例题 第六章 用有限单元法解平面问题 解解 1.将图 划分网格，化为离散化构造，如图〔b〕所示由于构造具有对称性，可取 部分进展分析，如 所示〔a〕图〔c〕 第六章 用有限单元法解平面问题 • 2. 中，只需两个未知结点位移 • 其他的结点位移均为零 • 未知的结点位移列阵是 • 对应的结点荷载列阵是 • • 3.下面我们直接来建立对应于未知结点 • 位移的平衡方程式，第六章例题图〔c〕 第六章 用有限单元法解平面问题 • 4.对于三角形单元，按照结点的部分编号 • 结点力普通公式是第六章例题 第六章 用有限单元法解平面问题 •当 且结点的部分编号如图 • 时，单元 的单元劲度矩阵均如 •书中 所示。
• 对于 单元，结点的部分编号与整体编号的关系是 将书中 的k和结点编号代入式 ，有第六章例题 第六章 用有限单元法解平面问题 • 其中 由上式，得出 • I单元中 不存在，而第六章例题 第六章 用有限单元法解平面问题 • 对于 单元，结点的部分编号与整体编号 • 的关系是 再将书中 • 的k代入式〔c〕，得第六章例题 第六章 用有限单元法解平面问题 • 其中 由上式，可得 单元 • 的结点力 • 5.将各单元的结点力代入式 得 • 从上两式解出结点位移值，第六章例题 第六章 用有限单元法解平面问题 • 显然，位移第六章例题 。
