【高中数学】不等式与线性规划-12页.pdf

回扣 5不等式与线性规划1.一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判 (判断 的符号 )；三解 (解对应的一元二次方程)；四写 (大于取两边，小于取中间). 解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：二次项系数，它决定二次函数的开口方向；判别式 ，它决定根的情形，一般分 0、 0、 0(a0)恒成立的条件是a0， 0.(2)ax2bxc0(a0)恒成立的条件是a0， 0(0(0，b0，当 ab 时等号成立 ). a1a2(a0，当 a1 时等号成立 )；2(a2b2)(ab)2(a， bR，当 ab 时等号成立 ). 5.可行域的确定“线定界， 点定域”， 即先画出与不等式对应的方程所表示的直线，然后代入特殊点的坐标，根据其符号确定不等式所表示的平面区域. 6.线性规划(1)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；(2)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个. 1.不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错. 2.解形如一元二次不等式ax2 bxc0 时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a0，a0 进行讨论 . 3.应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把f xg x 0 直接转化为f(x) g(x)0，而忽视 g(x)0. 4.容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数 f(x)x221x22的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数yx3x(xb，cd? acbd； ab， cd?adbc； a2b2? |a|b|； ab?1aNB.M0，b0)的最大值为40，则5a1b的最小值为 () A.256B.94C.1 D.4 7.已知实数x、y 满足y1，y2x1，xym，如果目标函数zxy 的最小值为 1，则实数m 等于() A.6 B.5 C.4 D.3 8.在平面直角坐标系中，若不等式组y0，yx，yk x1 1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是 () A.(， 1) B.(1， ) C.(1， 1) D.( ， 1)(1， ) 9.已知实数x1， 1， y0， 2， 则点 P(x， y)落在区域2xy20，x2y10，xy20内的概率为 () A.34B.14C.18D.3810.函数 yloga(x3)1(a0 且 a1)的图象恒过定点A，若点 A 在直线 mxny10 上，其中 m，n 均大于 0，则1m2n的最小值为 _. 11.已知 ab14，a，b(0，1)，则11a21b的最小值为 _. 12.变量 x，y 满足约束条件xy0，x2y20，mxy0，若 z2xy 的最大值为2，则实数 m_. 13.(2016上海 )若 x，y 满足x0，y0，yx1，则 x2y 的最大值为 _. 14.已知实数x，y 满足x y50，x 3，x y0，则y6x5的取值范围是 _. 回扣 5 不等式与线性规划1.一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判 (判断的符号 )；三解 (解对应的一元二次方程)；四写 (大于取两边，小于取中间). 解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：二次项系数，它决定二次函数的开口方向；判别式，它决定根的情形，一般分0 、0、0(a0)恒成立的条件是a0 ，0.(2)ax2bxc0(a0)恒成立的条件是a0 ，0(0(0 ，b0 ，当ab时等号成立 ). a1a2(a0 ，当a1 时等号成立 )；2(a2b2)(ab)2(a，bR，当ab时等号成立 ). 5.可行域的确定“线定界， 点定域”，即先画出与不等式对应的方程所表示的直线，然后代入特殊点的坐标，根据其符号确定不等式所表示的平面区域. 6.线性规划(1)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；(2)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个. 1.不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错. 2.解形如一元二次不等式ax2bxc0 时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a0 ，a0 进行讨论 . 3.应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把fxgx0 直接转化为f(x)g(x)0，而忽视g(x)0. 4.容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)x221x22的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数yx3x(xb，cd?acbd；ab，cd?adbc；a2b2? |a|b|；ab?1ab，cd?acbd正确，不等式的同向可加性；ab，cd?adbc错误，反例：若a3，b2，c1，d 1，则adbc不成立；a2b2? |a|b|正确；ab?1a1b错误，反例：若a 2，b 2，则1aNB.M0. 故选 A. 3.若不等式2kx2kx38 0 的解集为空集，则实数k的取值范围是 ( ) A.(3，0) B.(， 3) C.(3，0 D.(， 3)(0， ) 答案C 解析由题意可知2kx2kx380 恒成立，当k0 时成立，当k 0 时需满足k0 ，0 ，代入求得 3k1 ，所以不等式的解集为(， 0 (1， )，故选 C. 6.设第一象限内的点(x，y)满足约束条件2xy6 0，xy20，目标函数zaxby(a0 ，b0)的最大值为40 ，则5a1b的最小值为 ( ) A.256B.94C.1 D.4 答案B 解析不等式表示的平面区域如图中阴影部分，直线zaxby过点 (8，10) 时取最大值，即 8a10b40 ，4a5b20 ，从而5a1b(5a1b)4a5b20120(25 4ab25ba)120(25 2 4ab25ba)94，当且仅当2a5b时取等号，因此5a1b的最小值为94，故选 B. 7.已知实数x、y满足y 1，y 2x1，xym，如果目标函数zxy的最小值为 1， 则实数m等于( ) A.6 B.5 C.4 D.3 答案B 解析作出不等式组对应的平面区域，如图所示，由目标函数zxy的最小值为 1，得yxz，及当z 1 时，函数yx 1，此时对应的平面区域在直线yx1 的下方，由yx 1y2x1?x2，y3，即A(2，3)，同时A也在直线xym上，所以m5. 8.在平面直角坐标系中，若不等式组y 0，yx，ykx11表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是 ( ) A.(， 1) B.(1， ) C.(1，1) D.(， 1)(1， ) 答案A 解析易知直线yk(x1)1 过定点 (1，1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示 . 当直线yk(x1) 1 位于yx和x1 两条虚线之间时， 表示的是一个三角形区域，所以直线yk(x1) 1 的斜率的范围为(， 1)，即实数k的取值范围是 (， 1). 9.已知实数x1，1，y0 ，2 ，则点P(x，y)落在区域2xy2 0，x2y1 0，xy20内的概率为( ) A.34B.14C.18D.38答案D 解析不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为12 (212)(11)32，则所求的概率为38，故选 D. 10. 函数yloga(x3)1(a0 且a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10上，其中m，n均大于 0，则1m2n的最小值为 _. 答案8 解析由已知可得定点A(2， 1)，代入直线方程可得2mn1，从而1m2n(1m2n)(2mn)nm4mn4 2 nm4mn48. 当且仅当n2m时取等号 . 11. 已知ab14，a，b(0 ，1)，则11a21b的最小值为 _. 答案4423解析因为ab14，所以b14a，则11a21b11a2114a11a8a4a 111a24a124a111a24a 12 2(14a1244a)2 23(14a1244a)(4a 1)(44a)2 23344a4a124a144a2 23(322)24423(当且仅当44a4a 124a144a，即a32 24时，取等号 ). 12. 变量x，y满足约束条件xy 0，x2y20，mxy 0，若z2xy的最大值为2，则实数m_. 答案1 解析由可行域知，直线2xy2 必过直线x2y 20 与mxy 0 的交点，即直线mxy0 必过直线x2y20 与 2xy2 的交点 (2，2)，所以m1. 13.(2016 上海 )若x，y满足x0，y 0，yx1，则x2y的最大值为 _. 答案2 解析令zx 2y，则y12xz2.当在y轴上截距最小时，z最大 .即过点 (0，1)时，z取最大值，z02 1 2. 14. 已知实数x，y满足xy5 0，x3，xy0，则y6x5的取值范围是_. 答案1，92 解析作出可行域， 如图ABC内部 (含边界 )，y6x5表示可行域内点(x，y)与P(5，6)连线斜率，kPA8635 1，kPC3 63592，所以 1y6x592. 。