高考文科数学知识点复习14.ppt

学案学案5 数列的应用数列的应用 填填知学情填填知学情填填知学情填填知学情课内考点突破课内考点突破课内考点突破课内考点突破规规规规 律律律律 探探探探 究究究究考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读考考考考 向向向向 预预预预 测测测测返回目录返回目录 考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读数列的应用1.运用等差数列、等比数列的有关知识，解决两种数列互相交叉、互相渗透的一些综合问题.2.理解一般数列的求和方法.3.初步掌握数列的递推公式，运用这些知识解决一些综合问题.4.通过解决数列型应用题，提高分析问题和解决问题的能力，学会如何建立数学模型，解决实际问题.返回目录返回目录 考考考考 向向向向 预预预预 测测测测 从近几年的高考试题看，数列的综合应用成为命题的从近几年的高考试题看，数列的综合应用成为命题的热点，在选择题、填空题、解答题中都有可能出现热点，在选择题、填空题、解答题中都有可能出现.主要主要是等差、等比数列综合题，或可转化为等差、等比数列的是等差、等比数列综合题，或可转化为等差、等比数列的综合问题，或者与数列有关的应用题综合问题，或者与数列有关的应用题.数列与函数、方程、数列与函数、方程、不等式等的学科内综合题近几年几乎没有考查，也就是说，不等式等的学科内综合题近几年几乎没有考查，也就是说，数列的考查在总体难度上降了下来，这也是复习中注意的数列的考查在总体难度上降了下来，这也是复习中注意的方面方面.返回目录返回目录 1.数列的综合应用数列的综合应用 数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题，二是数列与其他数学内容相联系的综合问题法求解问题，二是数列与其他数学内容相联系的综合问题.解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会. （（1）数列是一种特殊的）数列是一种特殊的 ，解数列，解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法题要注意运用方程与函数的思想与方法. （（2）转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方）转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法，复杂的数列问题经常转化为法，复杂的数列问题经常转化为 、、 数列或常见的特殊数列问题数列或常见的特殊数列问题.函数函数 等差等差 等比等比 返回目录返回目录 （（3）由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列）由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想问题的重要思想.已知数列的前若干项求通项，由有限的已知数列的前若干项求通项，由有限的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的. （（4）分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数）分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数列中，经常要对列中，经常要对 进行讨论；由进行讨论；由Sn求求an时，时，要对要对 进行分类讨论进行分类讨论. 2.数列的实际应用数列的实际应用 数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容，解答应用问题的核心是建立数学模型容，解答应用问题的核心是建立数学模型.n=1或或n≥2公比公比 返回目录返回目录 （（1）建立数学模型时，应明确是）建立数学模型时，应明确是 模型、模型、 模型，还是模型，还是 模型，是求模型，是求an还还是求是求Sn. （（2）数列综合应用题的解题步骤）数列综合应用题的解题步骤 ①①审题审题——弄清题意弄清题意,分析涉及哪些数学内容分析涉及哪些数学内容,在每在每个数学内容中个数学内容中,各是什么问题各是什么问题. ②②分解分解——把整个大题分解成几个小题或几个把整个大题分解成几个小题或几个“步步骤骤”，每个小题或每个小，每个小题或每个小“步骤步骤”分别是数列问题、函分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等数问题、解析几何问题、不等式问题等. ③③求解求解——分别求解这些小题或这些小分别求解这些小题或这些小“步骤步骤”，，从而得到整个问题的解答从而得到整个问题的解答.递推数列递推数列 等差数列等差数列 等比数列等比数列  具体解题步骤如下框图具体解题步骤如下框图:返回目录返回目录 返回目录返回目录 3 3、数列应用题常见模型、数列应用题常见模型 (1)(1)银行储蓄单利公式银行储蓄单利公式 利息按单利计算，本金为利息按单利计算，本金为a元，每期利率为元，每期利率为r，存期为，存期为x，则本利和，则本利和y=a(1+xr). (2)银行储蓄复利公式银行储蓄复利公式 按复利计算利息的一种储蓄，本金为按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率元，每期利率为为r，存期为，存期为x,则本利和则本利和y=a(1+r)x. (3)产值模型产值模型 原来产值的基础数为原来产值的基础数为N,平均增长率为平均增长率为p,对于时间对于时间x的总的总产值产值y=N(1+p)x. (4)分期付款模型分期付款模型 a为贷款总额为贷款总额,r为年利率为年利率,b为等额还款数为等额还款数,则则返回目录返回目录 ［［2010年高考重庆卷］已知年高考重庆卷］已知{an}是首项为是首项为19，公差为，公差为-2的等差数列，的等差数列，Sn为为{an}的前的前n项和项和.（（1）求通项）求通项an及及Sn;（（2）设）设{bn-an}是首项为是首项为1，公比为，公比为3的等比数列，求数的等比数列，求数列列{bn}的通项公式及前的通项公式及前n项和项和Tn.考点考点考点考点1 1 等差、等比数列的综合应用等差、等比数列的综合应用等差、等比数列的综合应用等差、等比数列的综合应用  【【解析解析】】（（1））∵∵{an}是首项为是首项为a1=19,公差为公差为d=-2的的等差数列，等差数列，∴∴an=19-2(n-1)=21-2n,Sn=19n+ n(n-1)×(-2)=20n-n2.（（2）由题意得）由题意得bn-an=3n-1，即，即bn=an+3n-1,∴∴bn=3n-1-2n+21,Tn=Sn+(1+3+…+3n-1)=-n2+20n+ .返回目录返回目录 【【分析分析】】在在{an}中，因为中，因为a1,d已知，则已知，则an可求，可求，Sn可求，而数列可求，而数列{bn-an}中，首项、公比已知，则通项可中，首项、公比已知，则通项可求，所以求，所以bn可求可求.返回目录返回目录 （（1）等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考）等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点热点. （（2）利用等比数列前）利用等比数列前n项和公式时注意公比项和公式时注意公比q的取的取值值.同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可使问题易于解决；有些问题还需利用利用好性质，可使问题易于解决；有些问题还需利用条件联立方程求解条件联立方程求解.已知正项数列已知正项数列{an}的前的前n项和为项和为Sn，且，且 是是 与与(an+1)2的等比中项的等比中项.（（1）求证：数列）求证：数列{an}是等差数列；是等差数列；（（2）若）若bn= ，数列，数列{bn}的前的前n项和为项和为Tn，求，求Tn.返回目录返回目录  【解析】【解析】 （（1）证明：由题知）证明：由题知Sn= (an+1)2,当当n=1时，时，a1= (a1+1)2,∴∴a1=1,当当n≥2时，时，an=Sn-Sn-1= (an+1)2- (an-1+1)2,∴∴(an+an-1)(an-an-1-2)=0.∵∵an>0,∴∴an-an-1-2=0.即当即当n≥2时，时，an-an-1=2.∴∴数列数列{an}是等差数列是等差数列. 返回目录返回目录 返回目录返回目录 （（2）由（）由（1）知数列）知数列{an}是以是以1为首项，以为首项，以2为公差的等为公差的等差数列差数列.∴∴an=1+(n-1)·2=2n-1.∵∵bn= = ，，则则Tn= + + +…+ + , ①①∴∴ Tn= + + +…+ + , ②②由由①①-②②得得又又返回目录返回目录 返回目录返回目录 ［［2010年高考上海卷］已知数列年高考上海卷］已知数列{an}的前的前n项和为项和为Sn,且且Sn=n-5an-85,n∈∈N*.（（1）证明：）证明：{an-1}是等比数列；是等比数列；（（2）求数列）求数列{Sn}的通项公式，并求出的通项公式，并求出n为何值时，为何值时，Sn取得最小值？并说明理由取得最小值？并说明理由. 【【【【分析分析分析分析】】】】由于由于Sn=n-5an-85,故可由公式法求通项公故可由公式法求通项公式的思路消去式的思路消去Sn，建立，建立an与与an-1的关系的关系.考点考点考点考点2 2 数列中的最值问题数列中的最值问题数列中的最值问题数列中的最值问题 【解析】【解析】 (1)证明证明:∵ ∵Sn=n-5an-85, ∴ ∴当当n=1时时,S1=1-5a1-85, 即即a1=1-5a1-85,解得解得a1=-14; 当当n≥2时时,an=Sn-Sn-1=(n-5an-85)-［［(n-1)-5an-1-85］］=-5an+5an-1+1,整理得整理得6an=5an-1+1,∴ ∴6(an-1)=5(an-1-1),∴ ∴ .又又a1-1=-15,∴ ∴数列数列{an-1}是以是以-15为首项为首项, 为公比的等比数列为公比的等比数列.返回目录返回目录 返回目录返回目录 (2)由由(1)知知,an-1=-15× ,∴∴an=-15× +1,代入代入Sn=n-5an-85,得得Sn=n-5[(-15)× +1]-85=n+75× -90. Sk-1≥Sk Sk+1≥Sk, ak≤0 ak+1≥0，， -15× +1≤0 ≥ -15× +1≥0, ≤设设Sk为最小值，则为最小值，则 ∴∴ 即即 即即 返回目录返回目录 即即又又lg2≈0.301 0,lg3≈0.477 1, ∴∴ ≈14.9.∴∴14.9≤k≤15.9.又又∵∵k∈∈N*，，∴∴k=15.即当即当n=15时，时，Sn取得最小值取得最小值.返回目录返回目录 在数列中，若在数列中，若Sn与与an关系已知，求通项用公式法，关系已知，求通项用公式法，这是最基本的思路；数列是特殊的函数，因此可以用这是最基本的思路；数列是特殊的函数，因此可以用函数的思想解决数列问题，同时注意数列本身的特点，函数的思想解决数列问题，同时注意数列本身的特点，如本题中最小值的求法如本题中最小值的求法.返回目录返回目录 ［［2010年高考江苏卷］设各项均为正数的数列年高考江苏卷］设各项均为正数的数列{an}的前的前n项和为项和为Sn,已知已知2a2=a1+a3,数列数列{ }是公差为是公差为d的等的等差数列差数列.(1)求数列求数列{an}的通项公式的通项公式(用用n,d表示表示);(2)设设c为实数为实数,对满足对满足m+n=3k且且m≠n的任意正整数的任意正整数m,n,k,不等式不等式Sm+Sn>cSk都成立都成立,求证求证:c的最大值为的最大值为 . 【【解析解析】】 (1)∵∵{ }是等差数列是等差数列,∴∴ .又又2a2=a1+a3,∴∴ ,平方得平方得3a1+a2=2 ,即即 =0,∴∴a2=3a1,∴∴d= ,即即 =d,∴∴ ,∴∴Sn=n2d2.当当n≥2时时,an=Sn-Sn-1=n2d2-(n-1)2d2=(2n-1)d2,且对且对n=1成立成立,∴∴an=(2n-1)d2.返回目录返回目录 返回目录返回目录 (2)证明证明:由由Sm+Sn>cSk得得m2+n2>ck2,即即c< ,∵∵m+n=3k,∴∴ = .∵∵2mn5,所以所以n> ≈7.2.答：经过答：经过8年后该地区就开始水土流失年后该地区就开始水土流失.考点考点考点考点5 5 数列与解析几何的综合问题数列与解析几何的综合问题数列与解析几何的综合问题数列与解析几何的综合问题 返回目录返回目录 已知数列已知数列{an}的首项的首项a1=1,且点且点An(an,an+1)在函数在函数y= 的图象上的图象上.(1)求数列求数列{an}的通项公式的通项公式;(2)求证求证:弦弦AnAn+1的斜率随的斜率随n的增大而增大的增大而增大;(3)若数列若数列{bn}满足满足an·bn=2n,求数列求数列{bn}的前的前n项和项和Sn的值的值.返回目录返回目录 【【分析分析】】 (1)将点将点An(an,an+1)代入函数代入函数y= 即可即可得出数列得出数列{ }的性质的性质,从而求得从而求得an;(2) ,可用作差比较法证明可用作差比较法证明;(3)用错位相减法求和用错位相减法求和.【【解析解析】】 (1)∵∵an+1= 且且a1=1,∴∴ =1+ ,∴∴ =1，，∴∴ 是以是以1为首项，为首项，1为公差的为公差的等差数列，等差数列，∴∴ =1+(n-1)×1=n,∴∴an= .返回目录返回目录 (2)证明：证明：∵∵an= ,an+1= ,an+2= ,∴∴弦弦AnAn+1的斜率的斜率kn= ∴∴kn+1-kn==2(n+2)(n+3)>0.∴∴弦弦AnAn+1的斜率随的斜率随n的增大而增大的增大而增大.返回目录返回目录 （（3）由）由an·bn=2nbn= ·2n=n·2n,∴ ∴Sn=1·21+2·22+3·23+…+n·2n, ①①∴ ∴2Sn=1·22+2·23+…+(n-1)·2n+n·2n+1, ②②①①-②②得得-Sn=1·21+22+23+…+2n-n·2n+1,∴ ∴Sn=n·2n+1-2n+1+2=(n-1) ·2n+1+2.返回目录返回目录 数列与其他知识的综合问题主要指的是用几何数列与其他知识的综合问题主要指的是用几何方法或函数的解析式构造数列，用函数或方程的方方法或函数的解析式构造数列，用函数或方程的方法研究数列问题法研究数列问题.函数与数列的综合问题主要有以下函数与数列的综合问题主要有以下两类：一是已知函数的条件，利用函数的性质图象两类：一是已知函数的条件，利用函数的性质图象研究数列问题，如恒成立、最值问题等研究数列问题，如恒成立、最值问题等.二是已知数二是已知数列条件，利用数列的范围、公式、求和方法等知识列条件，利用数列的范围、公式、求和方法等知识对式子化简变形，从而解决函数问题对式子化简变形，从而解决函数问题.返回目录返回目录 已知已知f（（x））=logax(a＞＞0，且，且a≠1),设设f（（a1），）， f（（a2），），…，，f（（an）（）（n∈∈N*）是首项为）是首项为4，公差为，公差为2的的等差数列等差数列.（（1）若）若a为常数，求证：为常数，求证：{an}成等比数列；成等比数列；（（2）设）设bn=anf(an),若若{bn}的前的前n项和是项和是Sn，当，当a= 时，时，求求Sn.返回目录返回目录 【【解析解析】】（（1））f（（an））=4+（（n-1））×2=2n+2,即即logaan=2n+2,可得可得an=a2n+2.∴∴ ，为定值，为定值.∴∴{an}为等比数列为等比数列.（（2））bn=anf（（an））=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2.当当a=2时，时，bn=（（2n+2）（）（ ））2n+2=（（n+1））2n+2.Sn=2·23+3·24+4·25+…+（（n+1））·2n+2，， ①①2Sn=2·24+3·25+4·26+…+n·2n+2+（（n+1））·2n+3. ②②返回目录返回目录 ①①-②②得得-Sn=2·23+24+25+…+2n+2-(n+1)·2n+3=16+ -（（n+1））2n+3=16+2n+3-24-n·2n+3-2n+3=-n·2n+3.∴∴Sn=n·2n+3.返回目录返回目录 1.解决数列综合问题应注意以下几点解决数列综合问题应注意以下几点（（1）对等差、等比数列的概念、性质有深刻的理解，）对等差、等比数列的概念、性质有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差（或等比）数列，但有些数列题目条件已指明是等差（或等比）数列，但有的数列并没有指明，可以通过分析，转化为等差数有的数列并没有指明，可以通过分析，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决相应问题解决相应问题.返回目录返回目录 （（2）在解决数列知识与其他数学知识综合的问题中，）在解决数列知识与其他数学知识综合的问题中，应注意思维角度与解题途径的选择，提高数学变形转应注意思维角度与解题途径的选择，提高数学变形转换、推理等综合能力换、推理等综合能力.从从“数列是特殊的函数数列是特殊的函数”的角度的角度出发，运用运动变化、联系制约的观点解决数列综合出发，运用运动变化、联系制约的观点解决数列综合问题问题.其解题策略可借助于常见函数的性质，也可借助其解题策略可借助于常见函数的性质，也可借助于研究函数性质的常用方法于研究函数性质的常用方法.（（3）数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的）数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质性质.等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它是研究数列性质的基础，它与函数、方程、不列，它是研究数列性质的基础，它与函数、方程、不等式、三角、复数等内容有着广泛的联系，等差数列等式、三角、复数等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用.返回目录返回目录 2.数列实际应用问题数列实际应用问题（（1）数学应用问题已成为中学数学教学与研究的一个）数学应用问题已成为中学数学教学与研究的一个重要内容，解答数学应用问题的核心是建立数学模型，重要内容，解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型问题，需利用数列知识建立数学模型.（（2）在试题中常用的数学模型有）在试题中常用的数学模型有①①构造等差、等比数构造等差、等比数列的模型，然后再去应用数列的通项公式和公式求解；列的模型，然后再去应用数列的通项公式和公式求解；②②用无穷递缩等比数列的求和公式求解；用无穷递缩等比数列的求和公式求解；③③通过归纳通过归纳得到结论，用数列知识求解得到结论，用数列知识求解.。