02利用待定系数法因式分解和分式的拆分等.docx

2. 第2讲利用待定系数法因式分解、分式的拆分等一、方法技巧待定系数法运用于因式分解、分式的拆分等问题中，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于一个任意的x=a值，都有f(x)g(x)；或者两个多项式各关于x的同类项的系数对应相等．使用待定系数法解题的一般步骤是：（ 1）确定所求问题含待定系数的一般解析式；2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程（组）；3）解方程（组），从而使问题得到解决.3. 例如：“已知x252ax2bxc，求a，b，c的值．”解答此题，并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到a，b，c的值．这里的a，b，c是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法．格式与步骤:(1) 确定所求问题含待定系数的解析式.上面例题中，解析式就是：2ax2bxc(2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程.在这一题中，恒等条件是：2a105(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决.1b05二、应用举例类型一利用待定系数法解决因式分解问题【例题1】已知多项式2x43x3ax27xb能被x2x2整除.（1）求a，b（2）分解因式：2x43x3ax27xb【答案】（1）a12和b6（2）2x43x312x27x6x2x22x25x3【解析】试题分析：;...（1）由条件可知x2x2是该多项式的一个二次因式，而该多项式次数为4，故可设2x43x3ax27xbx2x22x2mxn，可解出m、n，最后代入即可求出a、b的值.（ 2）由（1）可得结果试题解析：解：（1）∵多项式2x43x3ax27xb能被x2x2整除∴设2x43x3ax27xbx2x22x2mxn，整理，得2x43x3ax27xb2x4m2x3mn4x2n2mx2n∴ m23mn4a∴n2m7b2n53解得12b6a、b的值分别为12和6.（2）2x43x312x27x6x2x22x25x3考点：1.待定系数法因式分解2.整式乘法3.解方程组.点评：用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值.【难度】一般【例题2】分解因式：2x25xy3y23x5y2【答案】2x25xy3y23x5y2（2xy1）（x3y2）【解析】试题分析：方法一因为2x25xy3y2（2xy）（x3y），因此,如果多项式能分解成两个关于x、y的一次因式的乘积,那么设原式的分解式是（2x-y+m）（x3y+n）,其中m、n为待定系数.然后展开，利用多项式的恒等，求出m、n的值.试题解析：;...解：∵2x25xy3y2（2xy）（x3y），∴设2x25xy3y23x5y2（2xym）（x3yn）即2x25xy3y23x5y2（2xy）（x3y）m2nx3mnymn?m2n3①对比系数，得：3mn5②mn2③由①、②解得：m1n2代入③式也成立.∴2x25xy3y23x5y2（2xy1）（x3y2）试题分析：方法二前面同思路1，因为2x25xy3y23x5y22xyx3ym2nx3mnymn是恒等式，所以对任意x,y的值，等式都成立，所以给x,y取特殊值，即可求出m,n的值.试题解析：解：∵2x25xy3y2（2xy）（x3y），∴设2x25xy3y23x5y2（2x－y＋m）（x3y＋n）即2x25xy3y23x5y2（2xy）（x3y）m2nx3mnymn?∵该式是恒等式，∴它对所有使式子有意义的x，y都成立，那么令x0，y0得：mn2①令x0，y1得：3mnmn30②m1或m2解①、②组成的方程组，得3n2n-3把它们分别代入恒等式检验，得m1n2∴2x25xy3y23x5y2（2xy1）（x3y2）考点：1.待定系数法分解因式2.解方程组.点评：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验.若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所;...设形成的因式.【难度】较难类型二利用待定系数法解决分式拆分问题1【例题3】将分式拆分成两个分式的和的形式.2(x1)(x1)【答案】1x111)(x1)2(x21)2(x1)(x2【解析】试题分析：设1axbc，将等式右边通分，再利用分子恒等求出a、b、c的值即可.21)(x1)x21(xx1试题解析：解：设1axbc(x21)(x1)x21x1而axbc(ac)x2(ab)xbcx21x1(x21)(x1)即1(ac)x2(ab)xbc(x21)(x1)(x21)(x1)比较分子，得ac0ab0bc1解得a1，bc12.2∴1x1121)(x1)2(x21)2(x1)(x考点：分式的恒等变形点评：拆分有理真分式的时候，分母含二次项，则设分子为AxB形式，分母只含一次项，则设分子为常数【难度】较难1111【例题4】计算：a1a2a2a3...aa1a9a10;...【答案】1010aa【解析】试题分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a是整数），所以我们探究其中一个分式，找到相通的规律，从而解题.试题解析：解：我们设1ABaa1aa1而ABAa1BaABaAaa1a(a1)aa1AB0A1比较分子得：1，解得：B1A所以111aa1aa1所以，原式=111111...11aa1a1a2a2a3a9a101aa1010aa10考点：分式计算.点评：在做题的时候见到式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积，可直接用公式111拆分.nn1nn1【难度】较难类型三利用待定系数法解决多项式中不含某项问题【例题5】已知x2mx33x2的积中不含x的二次项，则m的值是（）A.02C.23B.3D.32【答案】C【解析】试题分析：;...将多项式x2mx33x2展开、合并，按x的降幂排列，根据积中不含x的二次项等价于x2项的系数为零列方程即可求得m的值.试题解析：解：∵x2mx33x23x33mx29x2x22mx63x33m2x292mx6∵积中不含x的二次项，3m20，解得m2.3故选C.考点：多项式乘以多项式.点评：多项式不含某项则某项的系数为零，根据这一条件列方程或方程组，从而求出待定系数的值.【难度】一般三、实战演练1.若多项式3x25xy2y2x9yn能被3xy4整除，则n_______.【答案】4【解析】试题分析：此题可通过因式分解得到：被除式=商×除式（余式为0），其除式为3xy4即可试题解析：解。