利息理论讲义(北京大学).pdf

第一章 11 第一章 利息基本计算 所有金融活动的基础是投资收益和融资因此对不同投融资方式所带来的收益的定量刻画就构成了金融定量分析的主要内容表现和衡量收益的最直观最基本的概念是利息 利息的原始定义很多主要源于从不同的角度看待利息从债权债务关系的角度看利息是借贷关系中债务人borrower为取得资金使用权而支付给债权人lender的报酬从借贷关系的角度看利息是一种补偿由借款人borrower支付给贷款人lender因为前者占用和使用了后者的一部分资金从投资的角度看利息是一定量的资本经过一段时间的投资后产生的价值增值 1.1 利息基本函数 在一般的金融活动中常见的模式是某一方投资一定量的货币原始投资本金于某个业务在没有新资本投入和抽取原始本金的假定下原始投资经过一段时间的运作将有所变化达到一个新的价值 如何从根本上描述这种变化过程呢这里有两个基本要素 原始投资和经过的时间因此这个变化过程应该表示为这两个要素的函数为此引入如下的定义 定义1.1 用A(t)表示原始投资A 0经过时间tt>0事先给定时间度量单位后的价值则称A(t)为总量函数 ( amount function) 定义1.2 总量函数A(t)在时间12[ ,]t t内的变化量 一般为增量 称为利息记为12,t tIinterest则 12,t tI=21( )( )A tA t− (1.1.1) 而且利息总是在期末实现的特别地当1211,1tntt=−=+时记 nI=A(n)A(n1) n 1 (1.1.2) 1.1.1 累积函数accumulation function 无论利息在理论上是如何定义的现实生活中实际投资的原始货币量千差万别但是价值变化过程是带有根本性的其规律往往与本金投入的大小没有直接的关系为了更好地揭示这种变化过程考虑如下的定义 定义1.3 称 1 个货币单位的原始本金在时刻tt>0的累积值为累积函数记为a(t) 以上的定义说明货币的时间价值可以用一个标准的累积函数来表示一般情况下a(t)函数具有以下的基本性质 1a(0) = 1 第一章 22 2a(t)为递增函数如果该函数出现下降的趋势则说明将产生负的利息这一点在数学上并没有什么问题但在大多数金融问题中它是没有意义的只有在投资本金不能收回的情形才会出现负的利息累积函数为常数表示无利息情形这种现象有时会发生 为了表示货币价值的相对变化幅度度量利息的常用方法是计算所谓的利率interest rate它的准确定义为利率等于一定的货币量在一段时间计息期 measurement period内的变化量利息与期初货币量的比值同时这个变化量或称利息是在期末实现的简单地说利率是利息与期初本金的比值如果计息期为标准的时间单位如年月季或半年等常常简称为实利率Effective Rate of Interest除特别说明外实利率一般指年利率 定义1.4 给定时间区间12[ ,]t t内总量函数A(t)的变化量一般为增量与期初货币量的比值称为利率记为12,t ti则 12,t ti=12,2111( )( ) ( )( )t tIA tA t A tA t−= (1.1.3) 特别地当1211,1tntt=−=+时记 ) 1() 1() 1()( −=−−−=nAI nAnAnAin nn 1 1.1.4a 或 ]1)[1()(ninAnA+−= (1.1.4b) ni表示第n个时段的实利率具有以下基本性质 1这里用实际这个词并不是很明确它是为了与后面的所谓名义利率相区别因为前者表示在一定的时间内的实际利息收入的相对量 2实利率通常用百分数表示 3实利率的定义要求在计息期内没有其他资本的投入也没有原始本金的撤出即计息期内本金保持不变 4在这里利息是在计息期期满时支付的 结论1.1 由利率地定义有 ) 1() 1()( −−−=nananain 证明 假设初始投资为 A 0那么 ( )( )A nAn=0 a 所以 ( )(1)( )(1) (1)(1)nA nA na na niA na n−−−−==−−因此可以有实利率的另一种定义实利率为单位本金在某个计息期内产生的利息与期初资本量的第一章 33 比值 由结论 1.1 可以发现利息或利率的计算最根本的是累积函数的计算因此按照累积函数的不同形式有以下两种常见的利息计算方法 例1.1 考虑以下几类特殊的a(t)函数的特征见图 1.11常数 系列 12二次 系列 23指数系列4线性系列 4 图1.1 几类特殊累计函数的特征 0123451591 31 72 12 52 9时间系列1 系列2 系列3 系列41.1.2 单利和复利 1. 单利 simple interest 定义1.5 简单利息simple interest或简称单利它表示这样一种累积计算方式一个货币单位的投资经过任何一个单位的计息期产生的利息为常数 结论1.2 在单利情形下有 a(t) = 1 + i t, t 0 为整数 (1.1.5) 一般称i为单利率 证明 由定义 1.5 知在单利情况下 若一个货币单位的原始本金在第一个计息期末的价值为 1+i则在第二个计息期末的价值为 1+2i依此类推因此累积函数为时间的线性函数 a(t) = 1 + i t , t 0 为整数 从实质上看单利计算可以表述为利息与经过的时间成正比 也可以用更严格的数学方法来定义单利考虑满足如下条件的a(t) 函数 a(s+t)=a(s)a(t)1 , t 0, s 0 (1.1.6) 这意味着经过时间t+s产生的利息等于经过时间t产生的利息与经过时间s产生的利息之和在第一章 44 一定的条件下可以证明1.1.5与1.1.6互相等价的 单利情形的实利率是变化的实际上 如果设i为单利率ni 为第n个计息期的实利率则有 ) 1(1) 1() 1()( −+=−−−=nii nananain , n 1 (1.1.7) 它是n的递减函数因此单利计算隐含着实际利息收入比例是递减的即每个单位时间内的相对货币价值变化量是逐渐下降的 2. 复利 这种计算模式的基本思想是利息收入应该自动地被再次记入下一期的本金它是更为常见的计算利息的一种方法复合一词意味着将利息经过再投资后再次产生新利息的过程对复利情形在投资期间的每个时刻过去所有的本金与利息的收入之和都将用于下一时刻的再投资就像常说的利滚利 定义1.6 复利计算compound interest或简称复利它表示这样一种累积计算方式一个货币单位的投资经过任何一个单位的计息期产生的实利率为常数 结论1.3 在复利情形下有 a(t)=ti)1 ( +, t 0 为整数 或 a(t)=)1ln(ite+, t 0 证明 从定量刻画的角度看首先对t为整数考虑如下的累积函数形式 1)tn na ti=∏= ( 1 + , t 0 为整数 如果各个时间段内的实利率相同即 ni=i , n 1 为整数 那么累积函数a(t)为 a(t)=ti)1 ( + , t 0 为整数 对一般的tt 0 为实数复利计算意味着累积函数为指数函数形式 a(t)=)1ln(ite+, t 0 可以证明在一定条件下指数函数是满足如下条件的唯一函数形式 a(s+t)=a(s)a(t), t0, s0 为整数 单利计算与复利计算的区别 1短期内两者差异不大 2单利考虑绝对增量的变化复利考虑相对增量的变化当货币量的数额加大时两者的差异也会加大 3复利几乎用于所有的金融业务单利只是用于短期计算或复利的不足期近似计算 第一章 55 今后除特别声明一般考虑复利计算方式 利率是为了表示利息或货币随时间投资的相对变化率承认存在利息也就承认货币有时间性同样数量的货币在不同的时刻有不同的价值从最简单的项目看人们关心的是开始和结束这两个时刻前面介绍的累积函数和累积值都是将本金单位化后计算货币在结束时刻的价值下面将这个过程反过来计算 例1.2 以年利率 5%为例比较单利与复利计算方法的异同效果 解 在第一年内复利累积小于单利累积在第一年底两者相同从第二年开始复利累积超过单利累积而且前者的上升速度远远超过后者具体计算如下 计算 1 单利情形每年的实利率水平为 5%,1,2,3,1(1)1 5% (1)niini nn===+−+×−K 列表 n 1 2 3 4 5 6 ni 5% 4.76% 4.55% 4.35% 4.17% 4% 这表明 6 年时间实利率水平就会降低一个百分点 2 复利累积值超过单利累积值 3%的时刻 n 1 2 3 4 5 6 单利 1.05 1.10 1.15 1.2 1.25 1.3 复利 1.05 1.1025 1.157625 1.2155 1.27628 1.34010 复利超过单利的百分比% 0 0.227 0.663 1.29 2.1 3.1 这表明经过 6 年时间复利方式比相同单利方式超过 3%的累计值 1.1.3 贴现 定义1.7 时刻t的一个货币单位在时刻 0 的价值称为贴现函数 discount function用)(1ta−表示一般为累积函数的倒数函数因此有 单利情形 )(1ta−= 1)1 (−+ it(1.1.8) 其中i为单利率复利情形)(1ta−= ti−+ )1 ( (1.1.9) 其中i为实利率 从定义可以看出贴现与累积是两种互相对称的计算货币时间价值的方法对于贴现计算过程第一章 66 也有对应的贴现变化量的概念描述 定 义1.8 一个计息期内的利息收入与期末货币量的比值称为实 贴 现 率effective rate of discount这里的利息也是在期末实现的 具体计算可以考虑任何时间段内的贴现率nd )() 1()( )()() 1()( nanana nAI nAnAnAdn n−−==−−= (1.1.10) 在单利计算模式下还有如下特殊的单贴现率d的定义 )(1ta−=1d t , 0≤ t Bi 应选择 A 方法二比较实际收益 107%(5)(1)1.41062Aa=+= 5(5)(17.05%)1.4058Ba=+= (5)(5)ABaa⇒> 应选择 A 1.1.5 连续利息计算 这里我们考虑一种理想的情形每个瞬间都可以进行利息的换算例如每小时换算一次那么货币的价值变化就是非常频繁的随时都在改变当然这只是理想化的描述但是对此的研究将有助于我们对一般离散情形的分析这种情况下定义的利率就是瞬间变化率 定义1.13 设累积函数a(t)为t的连续可微函数时刻t的利息力force of interest定义为 )()( )()( tata tAtAt′=′=δ (1.1.12) 因此这时的累积函数可以表示为 )exp()(0∫=tsdstaδ (1.1.13a) 贴现函数可以表示为 )exp()(01∫−=−tsdstaδ (1.1.14b) 累积函数a(t)为t的连续可微函数若定义时刻t的贴现力force of discounttδ ′为 )]([] )([ )]([] )([1111tat。