2022年北京市高考数学试卷（含答案）.pdf

2022 年北京市高考数学试卷年北京市高考数学试卷一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 （4 分）已知全集 Ux|3x3，集合 Ax|2x1，则UA（）A （2，1B （3，2）1，3）C2，1）D （3，2（1，3）2 （4 分）若复数 z 满足 iz34i，则|z|（）A1B5C7D253 （4 分）若直线 2x+y10 是圆（xa）2+y21 的一条对称轴，则 a（）ABC1D14 （4 分）已知函数 f（x），则对任意实数 x，有（）Af（x）+f（x）0Bf（x）f（x）0Cf（x）+f（x）1Df（x）f（x）5 （4 分）已知函数 f（x）cos2xsin2x，则（）Af（x）在（，）上单调递减Bf（x）在（，）上单调递增Cf（x）在（0，）上单调递减Df（x）在（，）上单调递增6 （4 分）设an是公差不为 0 的无穷等差数列，则“an为递增数列”是“存在正整数 N0，当 nN0时，an0”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7 （4 分）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献 如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 T 和 lgP 的关系， 单位是 K； P 表示压强 （）A当 T220，P1026 时，二氧化碳处于液态B当 T270，P128 时，二氧化碳处于气态C当 T300，P9987 时，二氧化碳处于超临界状态D当 T360，P729 时，二氧化碳处于超临界状态8 （4 分）若（2x1）4a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则 a0+a2+a4（）A40B41C40D419 （4 分）已知正三棱锥 PABC 的六条棱长均为 6，S 是ABC 及其内部的点构成的集合设集合 TQS|PQ5，则 T 表示的区域的面积为（）ABC2D310 （4 分）在ABC 中，AC3，BC4，且 PC1，则的取值范围是（）A5，3B3，5C6，4D4，6二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分。

分11 （5 分）函数 f（x）+的定义域是 12 （5 分）已知双曲线 y2+1 的渐近线方程为 yx，则 m 13 （5 分）若函数 f（x）Asinxcosx 的一个零点为 ；f（） 14 （5 分）设函数 f（x）若 f（x）存在最小值 ；a 的最大值为 15 （5 分）已知数列an的各项均为正数，其前 n 项和 Sn满足 anSn9（n1，2，） 给出下列四个结论：an的第 2 项小于 3；an为等比数列；an为递减数列；an中存在小于的项其中所有正确结论的序号是 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16 （13 分）在ABC 中，sin2CsinC（）求C；（）若 b6，且ABC 的面积为 6，求ABC 的周长17 （14 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 BCC1B1为正方形，平面 BCC1B1平面 ABB1A1，ABBC2，M，N 分别为 A1B1，AC 的中点（）求证：MN平面 BCC1B1；（）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线 AB 与平面 BMN 所成角的正弦值条件：ABMN；条件：BMMN注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分18 （13 分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到 9.50m 以上（含 9.50m） ，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m） ：甲：9.80，9.70，9.55，9.48，9.42，9.35，9.30；乙：9.78，9.56，9.51，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立（）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（）设 X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 X 的数学期望 EX；（）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）19 （15 分）已知椭圆 E：+1（ab0）的一个顶点为 A（0，1）（）求椭圆 E 的方程；（）过点 P（2，1）作斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 B，C，直线 AB，N当|MN|2 时，求k 的值20 （15 分）已知函数 f（x）exln（1+x） （）求曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程；（）设 g（x）f（x） ，讨论函数 g（x） ，+）上的单调性；（）证明：对任意的 s，t（0，+） ，有 f（s+t） （s）+f（t） 21 （15 分）已知 Q：a1，a2，ak为有穷整数数列给定正整数 m，若对任意的 n1，2，mi，ai+1，ai+2，ai+j（j0） ，使得 ai+ai+1+ai+2+ai+jn，则称 Q 为 m连续可表数列（）判断 Q：2，1，4 是否为 5连续可表数列？是否为 6连续可表数列？说明理由；（）若 Q：a1，a2，ak为 8连续可表数列，求证：k 的最小值为 4；（）若 Q：a1，a2，ak为 20连续可表数列，且 a1+a2+ak20，求证：k72022 年北京市高考数学试卷年北京市高考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 【分析】由补集的定义直接求解即可【解答】解：因为全集 Ux|3x3，集合 Ax|6x1，所以UAx|3x6 或 1x3（5，2（1故选：D【点评】本题主要考查补集的运算，考查运算求解能力，属于基础题2 【分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解【解答】解：由 iz34i，得 z，|z|故选：B【点评】本题考查复数模的求法，考查化归与转化思想，是基础题3 【分析】由圆的方程求得圆心坐标，代入直线方程即可求得 a 值【解答】解：圆（xa）2+y28 的圆心坐标为（a，0） ，直线 2x+y20 是圆（xa）2+y81 的一条对称轴，圆心在直线 2x+y70 上，可得 2a+210故选：A【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，明确直线过圆心是关键，是基础题4 【分析】根据题意计算 f（x）+f（x）的值即可【解答】解：因为函数 f（x），所以 f（x），所以 f（x）+f（x）1故选：C【点评】本题考查了指数的运算与应用问题，是基础题5 【分析】利用二倍角公式化简得 f（x）cos2x，周期 T，根据余弦函数的单调性可得 f（x）的单调递减区间为k，（kZ） ，单调递增区间为，+k（kZ） ，进而逐个判断各个选项的正误即可【解答】解：f（x）cos2xsin2xcos5x，周期 T，f（x）的单调递减区间为k，（kZ），+k（kZ） ，对于 A，f（x）在（，故 A 错误，对于 B，f（x）在（，在（3，故 B 错误，对于 C，f（x）在（0，故 C 正确，对于 D，f（x）在（，在（，故 D 错误，故选：C【点评】本题主要考查了二倍角公式，考查了余弦函数的单调性，属于基础题6 【分析】根据等差数列的定义与性质，结合充分必要条件的定义，判断即可【解答】解：因为数列an是公差不为 0 的无穷等差数列，当an为递增数列时，公差 d0，令 ana6+（n1）d0，解得 n7表示取整函数，所以存在正整数 N81+1，当 nN0时，an0，充分性成立；当 nN4时，an0，an14，则 danan10，必要性成立；是充分必要条件故选：C【点评】本题考查了等差数列与充分必要条件的应用问题，是基础题7 【分析】计算每个选项的 lgP 的值，结合 T 与图可判断结论【解答】解：对于 A，当 T220，lgP3，故 A 错误；对于 B：当 T270，P128 时，由图可知二氧化碳处于液态；对于 C：当 T300，P9987 时，由图可知二氧化碳处于固态；对于 D：当 T360，P729 时，由图可知二氧化碳处于超临界状态；故选：D【点评】本题考查对数的计算，考查看图的能力，数形结合思想，属基础题8 【分析】由题意，利用二项式展开式的通项公式，求出 a0和 a2，以及 a4的值，可得结论【解答】解：（2x1）4a4x4+a3x3+a2x8+a1x+a0，a8+a2+a4+22+1+24+1641，故选：B【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题9 【分析】设点 P 在面 ABC 内的投影为点 O，连接 OA，根据正三角形的性质求得 OA 的长，并由勾股定理求得OP 的长，进而知 T 表示的区域是以 O 为圆心，1 为半径的圆【解答】解：设点 P 在面 ABC 内的投影为点 O，连接 OA2，所以 OP3，由1，1 为半径的圆，所以其面积 S故选：B【点评】本题考查棱锥的结构特征，点的轨迹问题，考查空间立体感和运算求解能力，属于基础题10 【分析】根据条件，建立平面直角坐标系，设 P（x，y） ，计算可得3x4y+1，进而可利用参数方程转化为三角函数的最值问题求解【解答】解：在ABC 中，AC3，C90，以 C 为坐标原点，CA，y 轴建立平面直角坐标系则 A（3，4） ，4） ，0） ，设 P（x，y） ，因为 PC2，所以 x2+y26，又（3x，（x，所以x（3x）y（8y）x2+y27x4y3x8y+1，设 xcos，ysin，所以（3cos+4sin）+15sin（+）+6，当 sin（+）7 时，有最小值为4，当 sin（+）1 时，有最大值为 8，所以4，故选：D【点评】本题考查了平面向量数量积的最值问题，属于中档题二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分。

分11 【分析】由分母不为 0，被开方数非负列不等式组，即可求解函数的定义域【解答】解：要使函数 f（x）+有意义，则，解得 x6 且 x0，所以函数的定义域为（，0）（2故答案为： （，0）（0【点评】本题主要考查函数定义域的求法，考查运算求解能力，属于基础题12 【分析】化双曲线方程为标准方程，从而可得 m0，求出渐近线方程，结合已知即可求解 m 的值【解答】解：双曲线 y2+8 化为标准方程可得 y26，所以 m0，双曲线的渐近线方程 yx，又双曲线 y3+1 的渐近线方程为 yx，所以，解得 m3故答案为：5【点评】本题主要考查双曲线的简单性质，考查运算求解能力，属于基础题13 【分析】由题意，利用函数的零点，求得 A 的值，再利用两角差的正弦公式化简 f（x） ，可得 f（）的值【解答】解：函数 f（x）Asinxcosx 的一个零点为，0，A3，函数 f（x）sinx） ，f（）6sin（）3sin，故答案为：6；【点评】本题主要考查两角差的正弦公式，函数的零点，求三角函数的值，属于中档题14 【分析】对函数 f（x）分段函数的分界点进行分类讨论，研究其不同图像时函数取最小值时 a 的范围即可【解答】解：当 a0 时，函数 f（x）图像如图所示，当 a0 时，函数 f（x）图像如图所示；当 2a2 时，函数 f（x）图像如图所示，需满足a2+30，解得：0a8；当 a2 时，函数 f（x）图像如图所示，当 a2 时，函数 f（x）图像如图所示，需（a4）2a2+5，无解；综上所述：a 的取值范围是0，1，故答案为：6，1【点评】本题主要考查利用分段函数图像确定函数最小值是分界点的讨论，属于较难题目15 【分析】对于，求出 a2即可得出结论；对于，假设an为等比数列，推出矛盾即可得出结论；。