导数100题经典大题汇编.doc

高三《函数与导数解答题》1. 已知（1）求函数f(x)的最小值；（2）对一切恒成立，求实数的取值范围；解：（1）由得当单调递减；当单调递增；（2）设① 单调递减， ② 单调递增，所以，对一切恒成立，所以2. 已知函数，，且，在的切线斜率为1）求；（2）设求证：解：（1），由 得： 又，则 …………4分（2）， ……5分，易证：时，；时；时，3. 已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？（Ⅲ）当时，设函数，若在区间上至少存在一个，使得成立，试求实数的取值范围．解：（Ι）由知：当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；………………4分（Ⅱ）由,∴，. ………………………6分故，∴,∵ 函数在区间上总存在极值，∴有两个不等实根且至少有一个在区间内…………7分又∵函数是开口向上的二次函数，且，∴ …………8分由，∵在上单调递减，所以；∴，由，解得；综上得： 所以当在内取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值………………………9分（Ⅲ）令，则.①当时，由得，从而,所以，在上不存在使得；…………………11分②当时，,，在上恒成立，故在上单调递增。

……………13分故只要，解得综上所述， 的取值范围是 ………14分4. 设a∈R，函数（），其中是自然对数的底数． （Ⅰ） 判断函数在R上的单调性； （Ⅱ） 当时，求函数在[1，2]上的最小值．解： （Ⅰ） ．……2分由于, 只需讨论函数的符号:当a = 0时, ，即，函数在R上是减函数； ……4分当a>0时, 由于，可知，函数在R上是减函数； ……6分当a<0时, 解得，且．在区间和区间上，，函数是增函数；在区间上，，函数是减函数综上可知：当a≥0时，函数在R上是减函数；当a<0时, 函数在区间上是增函数；在区间上是减函数；在区间上是增函数．（Ⅱ） 当时，,所以, 函数在区间[1，2]上是减函数，其最小值是． 5. 已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）设，若对任意，，不等式 恒成立，求实数的取值范围．（II）若对任意，，不等式恒成立，问题等价于， ．．．．．．．．．5分由（I）可知，在上，是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，故也是最小值点，所以； ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分当时，；当时，；当时，； 问题等价于 或 或 解得 或 或 即，所以实数的取值范围是 6. 已知函数，其中ｅ是自然数的底数，。

１） 当时，解不等式；（２） 若在［－１，１］上是单调增函数，求的取值范围；（３） 当时，求整数ｋ的所有值，使方程在［ｋ，ｋ＋１］上有解解：⑴因为，所以不等式即为，又因为，所以不等式可化为，所以不等式的解集为．………………………………………4分⑵，①当时，，在上恒成立，当且仅当时取等号，故符合要求；………………………………………………………6分②当时，令，因为，所以有两个不相等的实数根，，不妨设，因此有极大值又有极小值．若，因为，所以在内有极值点，故在上不单调．………………………………………………………8分若，可知，因为的图象开口向下，要使在上单调，因为，必须满足即所以.综上可知，的取值范围是．………………………………………10分⑶当时, 方程即为，由于，所以不是方程的解，所以原方程等价于，令，因为对于恒成立，所以在和内是单调增函数，……………………………13分又，，，，所以方程有且只有两个实数根，且分别在区间和上，所以整数的所有值为．………………………………………………………16分7. 已知函数（1）设曲线在处的切线与直线垂直，求的值（2）若对任意实数恒成立，确定实数的取值范围（3）当时，是否存在实数，使曲线C：在点处的切线与轴垂直？若存在，求出的值，若不存在，说明理由解：（1）， 因此在处的切线的斜率为，又直线的斜率为， ∴（）＝－1，∴ ＝－1.（2）∵当≥0时，恒成立，∴ 先考虑＝0，此时，，可为任意实数； 又当＞0时，恒成立，则恒成立， 设＝，则＝，当∈(0,1)时，＞0，在(0,1)上单调递增，当∈(1,＋∞)时，＜0，在(1,＋∞)上单调递减，故当＝1时，取得极大值，， ∴ 实数的取值范围为． （3）依题意，曲线C的方程为，令＝，则设，则，当，，故在上的最小值为， 所以≥0，又，∴＞0，而若曲线C：在点处的切线与轴垂直，则＝0，矛盾。

所以，不存在实数，使曲线C：在点处的切线与轴垂直. 8. 设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)－g(x).（1）若x=0是F(x)的极值点,求a的值；（2）当 a=1时,设P(x1,f(x1)), Q(x2, g(x 2))(x1≥0,x2≥0), 且PQ//x轴,求P、Q两点间的最短距离；（3）若x≥>0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(－x)的图象上方,求实数a的取值范围．解：(Ⅰ)F(x)= ex+sinx－ax,．因为x=0是F(x)的极值点,所以．………2分又当a=2时,若x<0, ;若 x>0, ．∴x=0是F(x)的极小值点, ∴a=2符合题意． ………4分 (Ⅱ) ∵a=1, 且PQ//x轴,由f(x1)=g(x2)得:,所以．令当x>0时恒成立．…………………………7∴x∈[0,+∞时,h(x)的最小值为h(0)=1．∴|PQ|min=1． ………8分(Ⅲ)令则．因为当x≥0时恒成立, ………11分所以函数S(x)在上单调递增, ………12分∴S(x)≥S(0)=0当x∈[0,+∞时恒成立; 因此函数在上单调递增, 当x∈[0,+∞时恒成立．当a≤2时,,在[0,+∞单调递增,即．故a≤2时F(x)≥F(－x)恒成立． ………13分9. 已知函数定义域为(),设.（1）试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；（2）求证:；（3）求证:对于任意的,总存在,满足,并确定这样的 的个数解: (Ⅰ)因为………………2分由；由,所以在上递增,在上递减 ,欲在上为单调函数,则 …………4分(Ⅱ)证明:因为在上递增,在上递减,所以在处取得极小值 ……………………………6分 又,所以在上的最小值为 从而当时,,即 ……………………………………………9分（Ⅲ）证:因为, 即为, 令,从而问题转化为证明方程=0在上有解,并讨论解的个数 …………………………………………11分 因,,所以 ①当时,,所以在上有解,且只有一解 ………………………………13分②当时,,但由于,所以在上有解,且有两解 ………………………………………14分③当时,,所以在上有仅有一解；当时,, 所以在上也有且只有一解 ………………………………15分综上所述, 对于任意的,总存在,满足,且当时,有唯一的适合题意；当时,有两个适合题意 …………………………16分10. 已知三次函数的最高次项系数为a，三个零点分别为. ⑴ 若方程有两个相等的实根，求a的值； ⑵若函数在区间内单调递减，求a的取值范围.解：1）依题意，设∵有两个相等实根，即有两个相等实根，∴，即或。

2）在内单调递减，在恒成立，11. 对于三次函数．定义：（1）设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；定义：（2）设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有成立，则函数的图象关于点对称．己知，请回答下列问题：（1）求函数的“拐点”的坐标（2）检验函数的图象是否关于“拐点”对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）（3）写出一个三次函数，使得它的“拐点”是（不要过程）（1）依题意，得： ， ……………………2分 由 ，即∴，又 ， ∴的“拐点”坐标是2）由(1)知“拐点”坐标是而= ==，由定义(2)知：关于点对称一般地，三次函数的“拐点”是，它就是的对称中心或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数………）都可以给分（3）或写出一个具体的函数,如或12. 已知函数．（I）求函数的单调递减区间；（II）若在上恒成立，求实数的取值范围；（III）过点作函数图像的切线，求切线方程．解：（Ⅰ）得 2分 函数的单调递减区间是； 4分 （Ⅱ）即 设则 7分 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增； 最小值实数的取值范围是； 10分 （Ⅲ）设切点则即 设，当时是单调递增函数 13分 最多只有一个根，又 由得切线方程是. 16分13. 设函数 (k∈N*，a∈R)．(1) 若，，求函数的最小值； (2) 若是偶数，求函数的单调区间．解：（1）因为，，所以，（），由得，且当时，，在上是增函数；当时，，在上是减函数．故．（5分）（2）当是偶数时，，． 所以当时，，在上是增函数；（9分）当时，由得，且当时，，当时，，所以在上是减函数，在上是增函数．（13分）综上可得当时，的增区间为；当时，的减区间为，增区间为．（14分）14. 已知函数，，其中，且．函数在上是减函数，函数在上是增函数．（1）求函数，的表达式；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围． （3）求函数的最小值，并证明当，时．解：（1）对任意的恒成立，所以，所以；同理可得；；（4分）（2），，且函数在上是减函数，函数在上是增函数．所以时，，， ．（6分）有条件得，；（8分）（3），当时，，当时，当时，在递减，在递增．（12分）当时，；，所以，时成立；（16分）15. 已知二次函数对任意实数都满足，的最小值为且．令（）．（1）求的表达式；（2）若使成立，求实数的取值范围；（3）设，，证明：对、，恒有．15、解：（Ⅰ）设，于是所以 又，则．所以． …………3分 （Ⅱ）当m>0时，由对数函数性质，f（x）的值域为R；…………4分当m=0时，对，恒成立； …………5分 。