三角恒等变换 习题及答案.doc

三角恒等变换1、三角恒等变换的基本原则．③异角化同角；（角分析法）2、基本的技巧有 ：（1）常值代换：特别是用“1”的代换；1= sin2α＋cos2α，1= tanαcotα，等 （2）项的分拆与角的配凑 （3）三角函数次数的降升 ，即二倍角公式的变形（4）化弦（切）法将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切） （5）引入辅助角；（6）公式变形使用 3、三角恒等变换的基本题型有三种．　　（1）求值：　①给角求值，其关键是正确分析角间的关系，准确地选用公式，将非特殊角转化为特殊角或将非特殊角的三角函数值相约或相消；　②给值求值，其关键是分析已知和待求式之间的角、函数、结构的差异，有目的地消化　③给值求角，其关键是先求出该角某一三角函数值，在对应函数的单调区间内求解．　　（2）化简：　①未指明答案的恒等变形，应把结果化为最简形式；　②根据解题需要将三角函数式化为某种特定的形式，如一角一函数形式，以便研究函数的各种性质．　　（3）证明：主要有两种：无条件恒等式证明和条件恒等式证明．一、化简1.化简的思路 对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用.另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法. 2、对三角函数式化简的目标是： （1）次数尽可能低（2）角尽可能少、小； （3）三角函数名称尽可能统一；（4）项数尽可能少。

3.化简的方法 ： 弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂等. 1．化简的值是（ C ）A.tan B.tan2x C.－tanx D.cotx 2、 =13、化简：原式=4、解法1：解法二：（从“名”入手，异名化同名） 解法三：（从“幂”入手，利用降幂公式先降次） 解法四：（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方） =1/25、6．化简下列各式：（1），（2）（1）因为，又因，所以，原式=2）原式= =二、求值1．已知，，则（ D ）A． B． C． D．2．在△ABC中，，则△ABC为（ C ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定为钝角3．已知，则的值为（ ）A． B． C． D．4．求值：_____________ 7．若则 8．已知那么的值为 ,的值为 9．已知求的值.10．求值：原式 11、已知和角公式及二倍角公式的特征,由目标意识构建同角正弦和余弦的方程组切入三、证明（一）分析法“执果索因”1、求证：2、求证：tan3A－tan2A－tanA=tan3A·tan2A·tanA．证明：欲证等式即为tan3A(1－tan2A·tanA)=tan2A＋tanA，　即．根据正切的和角公式，　　结论成立．3．已知，求证：证明： 得 4．求证:cos3α＝4cos3α－3cosα证明：左边＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα＝(2cos2α－1)cosα－2sin2αcosα＝2cos3α－cosα－2sin2αcosα＝2cos3α－cosα－2(1－cos2α)cosα＝4cos3α－3cosα＝右边.5、已知sinα是sinθ和cosθ的等差中项，sinβ是sinθ和cosθ的等比中项，求证：cos4β－4cos4α=3．证明：由已知条件得：　　2sinα=sinθ＋cosθ，①　sin2β=sinθ·cosθ．②① 平方得：4sin2α=1＋2sinθcosθ，③ ；② ②式代入③得：4 sin2α=1＋2sin2β，　　即2cos2α=cos2β．④ ；④式平方得：4cos22α=cos22β，　　再降幂：2(1＋cos4α)=1/2 (1＋cos4β)，∴cos4β－4cos4α=3．　　小结：在三角变换中，为了达到化繁为简的目的，降幂应该是最主要的手段，但在某些情况下，升幂也是必要的．6．证明：左=====右。