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数字信号处理习题解答第1章 时域离散信号与时域离散系统2． 给定信号： 　 　　　　2n+5　　　－4≤n≤－1　　　　　　6　　　　　0≤n≤4　　　　　　0 其它　　(1) 画出x(n)序列的波形， 标上各序列值； 　　(2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列； （3） 令x1(n)=2x(n－2)， 试画出x1(n)波形； 　 （4） 令x2(n)=2x(n+2)， 试画出x2(n)波形； 　 （5） 令x3(n)=x(2－n)， 试画出x3(n)波形 解解： (1) x(n)序列的波形如题2解图（一）所示 (2) x(n)=－3δ(n+4)－δ(n+3)+δ(n+2)+3δ(n+1)+6δ(n) +6δ(n－1)+6δ(n－2)+6δ(n－3)+6δ(n－4)x(n)=第1章 时域离散信号与时域离散系统（3） x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，再乘以2， 画出图形如题2解图（二）所示  (4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，再乘以2， 画出图形如题2解图（三）所示。

 (5) 画x3(n)时， 先画x(－n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180°)， 然后再右移2位， x3(n)波形如题2解图（四）所示 题2解图（一）题2解图（二）第1章 时域离散信号与时域离散系统题2解图（三）题2解图（四）3． 判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期1)解解： （1） 因为ω=　π, 所以　　　　, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T=14第1章 时域离散信号与时域离散系统5． 设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出， 判断系统是否是线性非时变的　 （1）y(n)=x(n)+2x(n－1)+3x(n－2)解解： （1） 令输入为　　　　　　　　x(n－n0)输出为 y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n－n0－2) y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n—n0—1)+3(n－n0－2) =y′(n) 故该系统是非时变系统第1章 时域离散信号与时域离散系统 因为 y(n)=T［ax1(n)+bx2(n)］ =ax1(n)+bx2(n)+2［ax1(n－1)+bx2(n－1)］+3［ax1(n－2)+bx2(n－2)］　　 a T［x1(n)］=ax1(n)+2ax1(n－1)+3ax1(n－2)　　 bT［x2(n)］=bx2(n)+2bx2(n－1)+3bx2(n－2) 所以 T［ax1(n)+bx2(n)］=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故该系统是线性系统。

第1章 时域离散信号与时域离散系统　6． 给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果稳定系统， 并说明理由 （2） y(n)=x(n)+x(n+1)解： 该系统是非因果系统， 因为n时间的输出还和n时间以后（（n+1）时间）的输入有关如果|x(n)|≤M, 则|y(n)|≤|x(n)|+|x(n+1)|≤2M, 因此系统是稳定系统7． 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示， 要求画出y(n)输出的波形题7图第1章 时域离散信号与时域离散系统　解解： 解法（一）采用列表法　 　y(n)=x(n)*h(n) =　　x(m)h(n－m)第1章 时域离散信号与时域离散系统y(n)={－2,－1,－0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=－2, －1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}解法（二）　采用解析法 按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为　　　x(n)=－δ(n+2)+δ(n－1)+2δ(n－3)　　　h(n)=2δ(n)+δ(n－1)+ δ(n－2)由于　　　x(n)*δ(n)=x(n)　　　x(n)*Aδ(n－k)=Ax(n－k)故　y(n)=x(n)*h(n)　　 =x(n)*［2δ(n)+δ(n－1)+ δ(n－2)］ =2x(n)+x(n－1)+x(n－2)将x(n)的表示式代入上式， 得到 y(n)=－2δ(n+2)－δ(n+1)－0.5δ(n)+2δ(n－1)+δ(n－2) +4.5δ(n－3)+2δ(n－4)+δ(n－5)第1章 时域离散信号与时域离散系统　　8. 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况， 分别求出输出y(n)。

　　（1） h(n)=R4(n), x(n)=R5(n)　　（2） h(n)=2R4(n), x(n)=δ(n)－δ(n－2)　　（3） h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n)　　解解： （1） y(n)=x(n)*h(n)=　　R4(m)R5(n－m) 先确定求和域 由R4(m)和R5(n－m)确定y（n）对于m的非零区间如下:　　　　　　　　　　0≤m≤3　　　　　　　　　　n－4≤m≤n 根据非零区间， 将n分成四种情况求解： 第1章 时域离散信号与时域离散系统 ① n<0时， y(n)=0 ② 0≤n≤3时， y(n)= 　1=n+1 ③ 4≤n≤7时， y(n)=　 1=8－n ④ n>7时， y(n)=0最后结果为 0 n<0或n>7 n+1 0≤n≤3 8－n　4≤n≤7y(n)的波形如题8解图（1）所示 　　(2) y(n) =2R4(n)*［δ(n)－δ(n－2)］=2R4(n)－2R4(n－2)　　　　 = 2［δ(n)+δ(n－1)－δ(n+4)－δ(n+5)］y(n)的波形如题8解图（2）所示y(n)=题8解图（1）题8解图（2）第1章 时域离散信号与时域离散系统(3) y(n)=x(n)*h(n) = 　　　R5(m)0.5n－mu(n－m)　　　=0.5n　　　R5(m)0.5－mu(n－m)y（n）对于m 的非零区间为 　　　　　　　　0≤m≤4,　 m≤n　　① n<0时， y(n)=0　　② 0≤n≤4时， =－(1－0.5－n－1)0.5n=2－0.5n第1章 时域离散信号与时域离散系统③ n≥5时最后写成统一表达式： y(n)=(2－0.5n)R5(n)+31×0.5nu(n－5)　　13． 有一连续信号xa(t)=cos(2πft+j)， 式中， f=20 Hz, j=π/2。

　　（1） 求出xa(t)的周期；　　（2） 用采样间隔T=0.02 s对xa(t)进行采样， 试写出采样信号 　 的表达式；　　（3） 画出对应　 的时域离散信号（序列）x(n)的波形， 并求出x(n)的周期 　　解解： （1） xa(t)的周期为第1章 时域离散信号与时域离散系统（2）　　（3） x(n)的数字频率ω=0.8π， 故　　　　， 因而周期N=5， 所以 x(n)=cos(0.8πn+π/2)画出其波形如题13解图所示第1章 时域离散信号与时域离散系统题13解图14. 已知滑动平均滤波器的差分方程为　　（1） 求出该滤波器的单位脉冲响应；　　 （2） 如果输入信号波形如题14图所示，试求出y(n)并画出它的波形　　解： （1） 将题中差分方程中的x(n)用δ(n)代替， 得到该滤波器的单位脉冲响应， 即第1章 时域离散信号与时域离散系统（2） 已知输入信号， 用卷积法求输出 输出信号y(n)为表1.4.1表示了用列表法解卷积的过程 计算时， 表中x(k)不动， h(k)反转后变成h(－k)， h(n－k)则随着n的加大向右滑动， 每滑动一次， 将h(n－k)和x(k)对应相乘， 再相加和平均， 得到相应的y(n)。

“滑动平均”清楚地表明了这种计算过程 最后得到的输出波形如前面图1.3.2所示 该图清楚地说明滑动平均滤波器可以消除信号中的快速变化， 使波形变化缓慢 题14图第1章 时域离散信号与时域离散系统第2章 时域离散信号和系统的频域分析　　5. 设题5图所示的序列x(n)的FT用X(ejω)表示， 不直接求出X(ejω)， 完成下列运算或工作： （1)　(4) 确定并画出傅里叶变换实部Re［X(ejω)］的时间序列xa(n)；解解　(1)（4） 因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分， 即题15图第2章 时域离散信号和系统的频域分析按照上式画出xe(n)的波形如题5解图所示题15解图　　6． 试求如下序列的傅里叶变换：第2章 时域离散信号和系统的频域分析解：(2)　　8． 设x(n)=R4(n)， 试求x(n)的共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n)， 并分别用图表示 　解解：第2章 时域离散信号和系统的频域分析题8解图xe(n)和xo(n)的波形如题8解图所示 第2章 时域离散信号和系统的频域分析　　13． 已知xa(t)=2 cos(2πf0t)， 式中f0=100 Hz， 以采样频率fs=400 Hz对xa(t)进行采样， 得到采样信号　　　和时域离散信号x(n)， 试完成下面各题： 　　（1） 写出　　　的傅里叶变换表示式Xa(jΩ)； 　　（2） 写出　　　和x(n)的表达式； 　　（3） 分别求出　　　的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。

　　解解:(1) 　　上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数δ函数，它的傅里叶变换可以表示成： 第2章 时域离散信号和系统的频域分析（2） （3） 式中第2章 时域离散信号和系统的频域分析式中　　　　　　ω0=Ω0T=0.5π rad　　上式推导过程中， 指数序列的傅里叶变换仍然不存在， 只有引入奇异函数δ函数才能写出它的傅里叶变换表示式　　第2章 时域离散信号和系统的频域分析　　14． 求出以下序列的Z变换及收敛域:　　(1) 2－n u(n)(2) －2－nu(－n－1)　　(3) 2－n u(n)(4) δ(n)　　(5) δ(n－1)(6) 2－n［u(n)－u(n－10)］解　(1) 　(2)第2章 时域离散信号和系统的频域分析(3)　 (4) ZT［δ(n)］=1 0 ≤|z|≤∞ 　　(5) ZT［δ(n－1)］=z－1 0<|z|≤∞　　(6)≤第2章 时域离散信号和系统的频域分析　　15． 求以下序列的Z变换及其收敛域， 并在z平面上画出极零点分布图 　　(1) x(n)=RN(n)　　N=4　 　(2) x(n)=Arn cos(ω0n+j)u(n)r=0.9, ω0=0.5π rad, j=0.25 π rad解　(1)由z4－1=0， 得零点为由z3(z－1)=0， 得极点为 z1, 2=0, 1第2章 时域离散信号和系统的频域分析零极点图和收敛域如题15解图(a)所示， 图中, z=1处的零极点相互对消。

题15解图第2章 时域离散信号和系统的频域分析(2)零点为极点为极零点分布图如题15解图(b)所示第2章 时域离散信号和系统的频域分析16． 已知求出对应X(z)的各种可能的序列表达式 　　解解： X(z)有两个极点： z1=0.5, z2=2， 因为收敛域总是以极点为界， 因此收敛域有三种情况： |z|<0.5，0.5<|z|<2， 2<|z| 三种收敛域对应三种不同的原序列 　　（1）收敛域|z|<0.5： 令第2章 时域离散信号和系统的频域分析　　n≥0时， 因为c内无极点，x(n)=0;　　n≤－1时， c内有极点 0 ， 但z=0是一个n阶极点， 改为求圆外极点留数， 圆外极点有z1=0.5, z2=2， 那么第2章 时域离散信号和系统的频域分析　　(2)　收敛域0.5<|z|<2:n≥0时， c内有极点0.5，　　 n<0时， c内有极点 0.5、 0 ， 但 0 是一个n阶极点， 改成求c外极点留数， c外极点只有一个， 即2，　　 　x(n)=－Res［F(z), 2］=－2 · 2nu(－n－1)最后得到第2章 时域离散信号和系统的频域分析　　(3)　收敛域z>2:n≥0时， c内有极点 0.5、 2，　　n<0时， 由收敛域判断， 这是一个因果序列， 因此x(n)=0； 或者这样分析， c内有极点0.5、 2、 0， 但0是一个n阶极点， 改求c外极点留数，c外无极点， 所以x(n)=0。

最后得到第3章 离散傅里叶变换　　3． 已知长度为N=10的两个有限长序列： 做图表示x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)， 循环卷积区间长度L=10 　 解解: x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)分别如题3解图（a）、 （b）、 （c）所示题3解图第3章 离散傅里叶变换　　14． 两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为　　　　　x(n)=0 n<0, 8≤n　　　　　y(n)=0 n<0, 20≤n对每个序列作20点DFT， 即　　　　　X(k)=DFT［x(n)］ k=0, 1, …, 19　　　　　Y(k)=DFT［y(n)］ k=0, 1, …, 19试问在哪些点上f(n)与x(n)*y(n)值相等, 为什么？　　解解: 记fl(n)=x(n)*y(n)，而f(n)=IDFT［F(k)］=x(n) 20 y(n) fl(n)长度为27， f(n)长度为20 由教材中式（3.4.3）知道f(n)与fl(n)的关系为第3章 离散傅里叶变换只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上， 才满足f(n)=fl(n),所以 f(n)=fl(n)=x(n)*y(n) 7≤n≤19　　18． 用微处理机对实数序列作谱分析， 要求谱分辨率F≤50 Hz， 信号最高频率为 1 kHz， 试确定以下各参数： 　　　　(1) 最小记录时间Tp min； 　 (2) 最大取样间隔Tmax； 　　(3) 最少采样点数Nmin； 　　(4) 在频带宽度不变的情况下， 使频率分辨率提高1倍（即F缩小一半）的N值。

第3章 离散傅里叶变换　　解解: （1） 已知F=50 Hz， 因而（2）（3）　　（4） 频带宽度不变就意味着采样间隔T不变， 应该使记录时间扩大1倍， 即为0.04 s， 实现频率分辨率提高1倍（F变为原来的1/2）第4章 快速傅里叶变换　　　　1． 如果某通用单片计算机的速度为平均每次复数乘需要4 μs， 每次复数加需要1 μs， 用来计算N=1024点DFT， 问直接计算需要多少时间 用FFT计算呢？照这样计算， 用FFT进行快速卷积对信号进行处理时， 估计可实现实时处理的信号最高频率 　　解解: 当N=1024=210时， 直接计算DFT的复数乘法运算次数为　　　　　N2=1024×1024=1 048 576次复数加法运算次数为　　　　　N（N－1）=1024×1023=1 047 552次直接计算所用计算时间TD为　　　　TD=4×10－6×10242+1 047 552×10－6=5.241 856 s用FFT计算1024点DFT所需计算时间TF为第4章 快速傅里叶变换　　快速卷积时， 需要计算一次N点FFT（考虑到H(k)=DFT［h(n)］已计算好存入内存）、 N次频域复数乘法和一次N点IFFT。

所以， 计算1024点快速卷积的计算时间Tc约为所以， 每秒钟处理的采样点数（即采样速率）第4章 快速傅里叶变换　　应当说明， 实际实现时， fmax还要小一些 这是由于实际中要求采样频率高于奈奎斯特速率， 而且在采用重叠相加法时， 重叠部分要计算两次 重叠部分长度与h(n)长度有关， 而且还有存取数据和指令周期等消耗的时间 　　第5章 时域离散系统的网络结构　　1. 已知系统用下面差分方程描述:试分别画出系统的直接型、 级联型和并联型结构 式中x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出信号 解解： 将原式移项得将上式进行Z变换， 得到第5章 时域离散系统的网络结构　　 (1) 按照系统函数H(z)， 画出直接型结构如题1解图（1）所示题1解图（1）(2) 将H(z)的分母进行因式分解： 第5章 时域离散系统的网络结构按照上式可以有两种级联型结构:① ②画出级联型结构如题1解图（2）所示 题1解图（2）第5章 时域离散系统的网络结构图　　(3) 将H(z)进行部分分式展开： 第5章 时域离散系统的网络结构图根据上式画出并联型结构如题1解图（3）所示。

题1解图（3）第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计　　5． 已知模拟滤波器的系统函数如下： (1)(2)试采用脉冲响应不变法和双线性变换法将其转换为数字滤波器 设T=2 s 　解解: Ⅰ. 用脉冲响应不变法(1)按脉冲响应不变法设计公式， Ha(s)的极点为第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计将T=2代入上式， 得(2)第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计或通分合并两项得 Ⅱ． 用双线性变换法（1） 第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计(2)第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计　　8． 题8图是由RC组成的模拟滤波器， 写出其系统函数Ha(s)， 并选用一种合适的转换方法， 将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)， 最后画出网络结构图解解: 模拟RC滤波网络的频率响应函数为显然， Ha(jΩ)具有高通特性， 用脉冲响应不变法必然会产生严重的频率混叠失真 所以应选用双线性变换法 将Ha(jΩ)中的jΩ用s代替， 可得到RC滤波网络的系统函数： 题8图第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计用双线性变换法设计公式, 可得H(z)的结构图如题8解图所示。

题8解图第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计　　3． 设FIR滤波器的系统函数为求出该滤波器的单位脉冲响应h(n)， 判断是否具有线性相位， 求出其幅度特性函数和相位特性函数　　解解: 对FIR数字滤波器， 其系统函数为所以其单位脉冲响应为第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计由h(n)的取值可知h(n)满足： 　　　　　　　　h(n)=h(N－1－n) N=5所以， 该FIR滤波器具有第一类线性相位特性 频率响应函数H(ejω)为第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计幅度特性函数为 相位特性函数为5． 用矩形窗设计一线性相位高通滤波器， 要求过渡带宽度不超过π/10 rad 希望逼近的理想高通滤波器频率响应函数Hd(ejω)为　 （1） 求出该理想高通的单位脉冲响应hd(n)； 　　（2） 求出加矩形窗设计的高通FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)表达式， 确定α与N的关系； 　　（3） N的取值有什么限制？为什么？第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计　　解解: （1） 直接用IFT［Hd(ejω)］计算： ≤第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计hd(n)表达式中第2项　　　　　　正好是截止频率为ωc的理想低通滤波器的单位脉冲响应。

而δ(n－α)对应于一个线性相位全通滤波器： Hdap(ejω)=e－jωα即高通滤波器可由全通滤波器减去低通滤波器实现 　　（2） 用N表示h(n)的长度， 则h(n)=hd(n)RN(n)=为了满足线性相位条件： h(n)=h(N－1－n)要求满足　　（3） N必须取奇数 因为N为偶数时（情况2）， H(ejπ)=0， 不能实现高通 根据题中对过渡带宽度的要求， N应满足：　　　, 即N≥40 取N=41。