高数必不挂-D5_习题课.ppt

习题课一、与定积分概念有关的问题的解法一、与定积分概念有关的问题的解法机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、有关定积分计算和证明的方法二、有关定积分计算和证明的方法定积分及其相关问题 第五五章 一、与定积分概念有关的问题的解法一、与定积分概念有关的问题的解法1. 用定积分概念与性质求极限2. 用定积分性质估值3. 与变限积分有关的问题机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求解解: 因为时,所以利用夹逼准则得因为 依赖于且1) 思考例1下列做法对吗 ?利用积分中值定理原式不对不对 !机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 2) 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 . 如, P265 题4解：解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：已知利用夹逼准则夹逼准则可知(考研98 ) 例例2. 求机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: :提示提示: :由上题机动 目录 上页 下页 返回 结束 故练习练习: 1.求极限解：解：原式2. 求极限提示提示：原式左边= 右边机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 估计下列积分值解解: 因为∴即机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 证明证证: 令则令得故机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.设在上是单调递减的连续函数， 试证都有不等式证明证明：显然时结论成立.(用积分中值定理)当时,故所给不等式成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 明对于任何例例6.解：解：且由方程确定 y 是 x 的函数 , 求方程两端对 x 求导, 得令 x = 1, 得再对 y 求导, 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 故例例7. 求可微函数 f (x) 使满足解解: 等式两边对 x 求导, 得不妨设 f (x)≠0,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意 f (0) = 0, 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 求多项式 f (x) 使它满足方程解解: 令则代入原方程得两边求导:可见 f (x) 应为二次多项式 ,设代入① 式比较同次幂系数 , 得故①机动 目录 上页 下页 返回 结束 再求导:二、有关定积分计算和证明的方法二、有关定积分计算和证明的方法1. 熟练运用定积分计算的常用公式和方法2. 注意特殊形式定积分的计算3. 利用各种积分技巧计算定积分4. 有关定积分命题的证明方法思考思考: 下列作法是否正确?机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 求解解: 令则原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例10. 求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例11. 选择一个常数 c , 使解解: 令则因为被积函数为奇函数 , 故选择 c 使即可使原式为 0 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例12. 设解解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例13. 若解解: 令试证 :则机动 目录 上页 下页 返回 结束 因为对右端第二个积分令综上所述机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例14. 证明恒等式证证: 令则因此又故所证等式成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例15.试证使分析分析: 要证即故作辅助函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 至少存在一点证明证明: 令在上连续,在至少使即因在上连续且不为0 , 从而不变号,因此故所证等式成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 故由罗尔定理知 ,存在一点思考思考: 本题能否用柯西中值定理证明 ?如果能, 怎样设辅助函数?要证: 提示提示: 设辅助函数 例15 目录 上页 下页 返回 结束 例例16.设函数 f (x) 在[a, b] 上连续,在(a, b) 内可导, 且 (1) 在(a, b) 内 f (x) > 0 ; (2) 在(a, b) 内存在点 , 使 (3) 在(a, b) 内存在与  相异的点 , 使 (03考研) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证: (1) 由 f (x)在[a, b]上连续, 知 f (a) = 0. 所以f (x) 在(a, b)内单调增, 因此 (2) 设满足柯西中值定理条件, 于是存在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 即 (3) 因 在[a, ] 上用拉格朗日中值定理代入(2)中结论得因此得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例17. 设证证: 设且试证 :则故 F(x) 单调不减 ,即② 成立.②机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 (总习题五总习题五)P264 2 (3) , (5) ; 4 ; 5 (1) ; 7 (2) , (5) ; 10第四节 目录 上页 下页 返回 结束 。