2022年广东省深圳市第二高级中学高三数学理测试题含解析.docx

2022年广东省深圳市第二高级中学高三数学理测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 直线与曲线  的公共点的个数为(A)1    (B)2    (C)3   (D)4参考答案：答案：D解析: 将代入得：，显然该关于的方程有两正解，即x有四解，所以交点有4个，故选择答案D2. 下列关于函数的描述正确的是A．在上递增   B．在上最小值为0   C. 周期为    D. 在上递减参考答案：D3. 若曲线处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a=A.64 B.32 C.16 D.8参考答案：A略4. 若复数满足,则在复平面内,对应的点的坐标是 （　　）A． B． C． D．参考答案：A5. 函数的大致图像为       （   ）参考答案：D略6. 设是等差数列的前项和，若，则＝(     )A.1      B.－1     C. 2   D.【知识点】等差数列前n项和公式  D2参考答案：Ａ解析：因为，由等差数列的前n项公式得：，故选择Ａ.【思路点拨】根据等差数列的前n项公式：，即可求得.7. 若函数在R上可导，且满足，则（   ）A．    B．   C．    D．参考答案：A8. 如果对任意实数总成立,则的取值范围是（     ）A．        B．        C．       D． 参考答案：A9. 设z = 1 – i（i是虚数单位），则复数的虚部是A．1          B．－1         C．i          D． －i参考答案：A因为z = 1 – i（i是虚数单位），所以复数，所以复数的虚部是1.10. 若=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则a﹣b等于（　　）A． B．1 C．0 D．﹣1参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解： ===a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），∴a=﹣，b=．则a﹣b=﹣1．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，那么cos2α=          ．参考答案：考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数． 专题：三角函数的求值．分析：化简已知后可得cosα的值，由二倍角的余弦公式化简后代入即可求值．解答： 解：∵?sincosα+cossinα=?cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2﹣1=．故答案为：．点评：本题主要考察了二倍角的余弦、两角和与差的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．12. 图中阴影部分的面积等于           ．参考答案：1试题分析：根据题意，该阴影部分的面积为，故答案为：1.考点：定积分.13. 如图，AB为的直径，C为上一点,AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，过B的切线交过C的切线于T，PB交于Q，若AB=4，则            . 参考答案：314. 已知点A（4，0），抛物线C：y2=2px（0＜p＜4）的准线为l，点P在C上，作PH⊥l于H，且|PH|=|PA|，∠APH=120°，则p=　　．参考答案：．【分析】由抛物线的定义可知：丨PH丨=x1+，根据三角形的性质，即可求得P点坐标，代入抛物线方程，即可求得p的值．【解答】解：设P（x1，y1），故P做PD⊥OA，则由|PH|=|PA|，∠APH=120°，则∠APD=30°，由抛物线的定义可知：丨PH丨=x1+，∴|PA|=x1+，丨AD丨=4﹣x1，sin∠APD=，则x1=﹣，则丨PD丨=丨AP丨cos∠APD=（+），则P（﹣，（+）），将P代入抛物线方程，整理得：5p2﹣48p+64=0，解得：p=，或p=8（舍去），∴p的值，故答案为：．【点评】本题考查抛物线的定义及简单几何性质，三角形的性质，考查数形结合思想，属于中档题．15. 不等式的解集是     ． 参考答案：16. 小明想利用树影测量他家有房子旁的一棵树的高度,但由于地形的原因,树的影子总有一部分落在墙上,某时刻他测得树留在地面部分的影子长为1.4米,留在墙部分的影高为1.2米,同时,他又测得院子中一个直径为1.2米的石球的影子长(球与地面的接触点和地面上阴影边缘的最大距离)为0.8米,根据以上信息,可求得这棵树的高度是         米.(太阳光线可看作为平行光线)  参考答案：6   17. 若，则                    ；参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数.（Ⅰ）求函数的单调增区间；（Ⅱ）在中，分别是角的对边，且，求的面积.参考答案：（Ⅰ）∵===.   -----------------3分∴函数的单调递增区间是.------------5分（Ⅱ）∵，∴.又，∴.∴.                 -----------------7分在中，∵，∴,即.∴.                         -----------------10分∴        -----------------12分 【解析】略19. 已知函数f（x）=x2+bx﹣alnx（a≠0）（1）当b=0时，讨论函数f（x）的单调性；（2）若x=2是函数f（x）的极值点，1是函数f（x）的一个零点，求a+b的值；（3）若对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e），使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）先求导得到f′（x）=2x﹣+b，由，f（1）=1+b=0，得到a与b的值，继而求出函数的解析式，（3）令g（b）=xb+x2﹣alnx，b∈[﹣2，﹣1]，问题转化为在x∈（1，e）上g（b）max=g（﹣1）＜0有解即可，亦即只需存在x0∈（1，e）使得x2﹣x﹣alnx＜0即可，连续利用导函数，然后分别对1﹣a≥0，1﹣a＜0，看是否存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，进而得到结论．【解答】解：（1）b=0时，f（x）=x2﹣alnx，（x＞0），f′（x）=2x﹣=，a≤0时，f′（x）＞0，f（x）递增，a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（2））f′（x）=2x﹣+b，∵x=2是函数f（x）的极值点，∴f′（2）=4﹣+b=0．∵1是函数f（x）的零点，得f（1）=1+b=0，由，解得a=6，b=﹣1，∴a+b=﹣1+6=5；（3）令g（b）=xb+x2﹣alnx，b∈[﹣2，﹣1]，则g（b）为关于b的一次函数且为增函数，根据题意，对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e 为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，则在x∈（1，e）上g（b）max=g（﹣1）=﹣x+x2﹣alnx＜0，有解，令h（x）=x2﹣x﹣alnx，只需存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜0即可，由于h′（x）=2x﹣1﹣，令φ（x）=2x2﹣x﹣a，x∈（1，e），φ'（x）=4x﹣1＞0，∴φ（x）在（1，e）上单调递增，φ（x）＞φ（1）=1﹣a，①当1﹣a≥0，即a≤1时，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）在（1，e）上单调递增，∴h（x）＞h（1）=0，不符合题意．②当1﹣a＜0，即a＞1时，φ（1）=1﹣a＜0，φ（e）=2e2﹣e﹣a若a≥2e2﹣e＞1，则φ（e）＜0，所以在（1，e）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上单调递减，∴存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意．若2e2﹣e＞a＞1，则φ（e）＞0，∴在（1，e）上一定存在实数m，使得φ（m）=0，∴在（1，m）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上单调递减，∴存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意．综上所述，当a＞1时，对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e 为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立．20. （本小题满分12分）已知，且（Ⅰ）求的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在△中，分别是的对边，若成立，求 的取值范围.参考答案：（Ⅰ）                                    ……………………………3分                                   ……………………………4分 单调递增区间为：  解得： ∴单调递增区间为：       ……………………………6分（Ⅱ）由正弦定理得：(sinA+2sinC)cosB=－sinBcosA  ∴ sin(A+B)= －2sinCcosB     ∴ cosB=  ∵B为三角形的内角               ∴B=                ……………………………8分∴+1又                                    ……………………………10分故2，3]                                      ……………………………12分21. 已知数列是公差大于0的等差数列，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和.参考答案：（Ⅰ）设等差数列的公差为， 得：代入：，得：（Ⅱ）略22. 点为抛物线上一定点，斜率为的直线与抛物线交于两点.（Ⅰ）求弦中点的纵坐标;（Ⅱ）点是线段上任意一点（异于端点），过作的平行线交抛物线于两点，求证：为定值.参考答案：解答：（Ⅰ）（*）所以，.（Ⅱ）设，直线：，联立方程组，所以，，同理.由（*）可知：，所以，即所以，即。