四边形中常见辅助线的作法.doc

儒洋教育学科教师讲义儒洋教育学科教师讲义课 题教学目标重点、难点考点及考试要求作辅助线的方法 一：中点、中位线，延线，平行线 如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段 等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成 全等的目的 二：垂线、分角线，翻转全等连 如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转 180 度， 得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生其对称轴往往是垂线或角的平分线 三：边边若相等，旋转做实验 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就 可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生其对称中心，因题而异，有时没有中心故可 分“有心”和“无心”旋转两种 四:造角、平、相似，和、差、积、商见 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关在制 造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形 中的某一线段进行平移故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。

托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表） 五：面积找底高，多边变三边 如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助 线，而两三角形的等底或等高是思考的关键 如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立 另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为 “面积找底高，多边变三边”四边形 平行四边形出现，对称中心等分点梯形问题巧转换，变为△和□ 平移腰，移对角，两腰延长作出高如果出现腰中点，细心连上中位线 上述方法不奏效，过腰中点全等造证相似，比线段，添线平行成习惯 等积式子比例换，寻找线段很关键直接证明有困难，等量代换少麻烦 斜边上面作高线，比例中项一大片 添加辅助线解特殊四边形题特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题 时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法.和平行四边形有关的辅助线作法 平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加 辅助线构造平行四边形. 平行四边形中常用辅助线的添法 平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在 添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平 行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下： （1）连对角线或平移对角线： （2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形 （3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线 （4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。

（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形 例 1 如图 1，已知点 O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的中点，四边形 OCDE 是平行四边形. 求证:OE 与 AD 互相平分.分析:因为四边形 OCDE 是平行四边形,所以 OC//ED,OC=DE,又由 O 是 AC 的中点,得出 AO//ED,AO=ED,则四边形 AODE 是平行四边形,问题得证. 证明:连结 AE、OD，因为是四边形 OCDE 是平行四边形， 所以 OC//DE，OC=DE，因为 0 是 AC 的中点，所以 A0//ED，AO=ED， 所以四边形 AODE 是平行四边形，所以 AD 与 OE 互相平分. 说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助 线构造平行四边形. 2．利用两组对边平行构造平行四边形 例 2 如图 2，在△ABC 中，E、F 为 AB 上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC 交 BC 分别为 D，G.求 证:ED+FG=AC. 分析:要证明 ED+FG=AC,因为 DE//AC,可以经过点 E 作 EH//CD 交 AC 于 H 得平行四边形,得 ED=HC,然 后根据三角形全等,证明 FG=AH.证明:过点 E 作 EH//BC,交 AC 于 H,因为 ED//AC,所以四边形 CDEH 是平行四边形,所以 ED=HC,又 FG//AC,EH//BC,所以∠AEH=∠B,∠A=∠BFG,又 AE=BF,所以△AEH≌△FBG, 所以 AH=FG,所以 FG+DE=AH+HC=AC. 说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解 决问题.3．利用对角线互相平分构造平行四边形 例 3 如图 3，已知 AD 是△ABC 的中线，BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且 AE=EF.求证 BF=AC. 分析：要证明 BF=AC，一种方法是将 BF 和 AC 变换到同一个三角形中，利用等边对等角；另一种 方法是通过等量代换，寻找和 BF、AC 相等的相段代换.寻找相等的线段的方法一般是构造平行四边 形. 证明：延长 AD 到 G，使 DG=AD，连结 BG，CG， 因为 BD=CD，所以四边形 ABGC 是平行四边形，所以 AC=BG， AC//BG，所以∠1=∠4，因为 AE=EF，所以∠1=∠2，又∠2=∠3，所以∠1=∠4，所以 BF=BG=AC.说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当 已知中点或中线应思考这种方法.图 3 图 4 二、和菱形有关的辅助线的作法 和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题. 例 4 如图 5，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，E 是 AB 上一点，且 AE=AC，EF//BC 交 AD 于点 F，求证：四边形 CDEF 是菱形.分析：要证明四边形 CDEF 是菱形，根据已知条件，本题有量种判定方法，一是证明四边相等的四 边形是菱形，二是证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形.根据 AD 是∠BAC 的平分线， AE=AC，可通过连接 CE，构造等腰三角形，借助三线合一证明 AD 垂直 CE. 求 AD 平分 CE. 证明：连结 CE 交 AD 于点 O，由 AC=AE，得△ACE 是等腰三角形， 因为 AO 平分∠CAE，所以 AO⊥CE，且 OC=OE，因为 EF//CD，所以∠1=∠2， 又因为∠EOF=∠COD，所以△DOC 可以看成由△FOE 绕点 O 旋转而成，所以 OF=OD，所以 CE、DF 互相垂直平分.所以四边形 CDEF 是菱形. 例 5 如图 6，四边形 ABCD 是菱形，E 为边 AB 上一个定点，F 是 AC 上一个动点，求证 EF+BF 的 最小值等于 DE 长. 分析：要证明 EF+BF 的最小值是 DE 的长，可以通过连结菱形的对角线 BD，借助菱形的对角线互 相垂直平分得到 DF=BF，然后结合三角形两边之和大于第三边解决问题. 证明：连结 BD、DF.因为 AC、BD 是菱形的对角线，所以 AC 垂直 BD 且平分 BD， 所以 BF=DF，所以 EF+BF=EF+DF≥DE， 当且仅当 F 运动到 DE 与 AC 的交点 G 处时，上式等号成立，所以 EF+BF 的最小值恰好等于 DE 的 长.图 6 说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的 几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线. 与矩形有辅助线作法 和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解 决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有 关的试题的辅助线的作法较少. 例 6 如图 7，已知矩形 ABCD 内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD 的长. 分析：要利用已知条件，因为矩形 ABCD，可过 P 分别作两组对边的平行线，构造直角三角形借助 勾股定理解决问题. 解：过点 P 分别作两组对边的平行线 EF、GH 交 AB 于 E，交 CD 于 F，交 BC 于点 H，交 AD 于 G. 因为四边形 ABCD 是矩形， 所以 PF2=CH2=PC2-PH2，DF2=AE2=AP2-EP2，PH2+PE2=BP2， 所以 PD2=PC2-PH2+AP2-EP2=PC2+AP2-PB2=52+32-42=18，所以 PD=32. 图 7 说明：本题主要是借助矩形的四个角都是直角，通过作平行线构造四个小矩形，然后根据对角线得 到直角三角形，利用勾股定理找到 PD 与 PA、PB、PC 之间的关系，进而求到 PD 的长. 四、与正方形有关辅助线的作法正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多. 解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.例 7 如图 8，过正方形 ABCD 的顶点 B 作 BE//AC，且 AE=AC，又 CF//AE.求证：∠BCF=21∠AEB.分析：由 BE//AC，CF//AE，AE=AC，可知四边形 AEFC 是菱形，作 AH⊥BE 于 H，根据正方形的性质可知四边形 AHBO 是正方形，从 AH=OB=21AC，可算出∠E=∠ACF=30°，∠BCF=15°.证明：连接 BD 交 AC 于 O，作 AH⊥BE 交 BE 于 H. 在正方形 ABCD 中，AC⊥BD，AO=BO， 又 BE//AC，AH⊥BE，所以 BO⊥AC，所以四边形 AOBH 为正方形，所以 AH=AO=21AC，因为 AE=AC，所以∠AEH=30°， 因为 BE//AC，AE//CF， 所以 ACFE 是菱形，所以∠AEF=∠ACF=30°， 因为 AC 是正方形的对角线，所以∠ACB=45°，所以∠BCF=15°，所以∠BCF=21∠AEB. 说明：本题是一道综合题，既涉及正方形的性质，又涉及到菱形的性质.通过连接正方形的对角线构 造正方形 AHBO，进一步得到菱形，借助菱形的性质解决问题. 与梯形有关的辅助线的作法和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型：（1）作一腰的平行线构造平行四边 形和特殊三角形；（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；（3）作一对角线的平行线，构造直 角三角形和平行四边形；（4） 延长两腰构成三角形；（5）作两腰的平行线等. 例 8 已知，如图 9，在梯形 ABCD 中，AD//BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD 交 AC 于点 0.求证：CO=CD. 分析：要证明 CO=CD，可证明∠COD=∠CDO，由于已知∠BAC=90°，所以可通过作梯形高构造 矩形，借助直角三角形的性质解决问题.证明：过点 A、D 分别作 AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别是 E、F，则四边形 AEFD 为矩形，因为 AE=DF，AB=AC，AE⊥BC，∠BAC=90°，所以 AE=BE=CE=21BC，∠ACB=45°，所以 AE=DF=21，又 DF⊥BC，所以在 Rt△DFB 中，∠DBC=30°，又 BD=BC，所以∠BDC=∠BCD=752。