专题求恒成立问题参数范围.doc

专题一一求参数取值范围一般方法概念与用法恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点题型特点大多以已知一个 变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现 这样的题型会出现于代数中的不等式里也会出现在几何里就常考题型的一般题型以及解题方法，我在这里做了个小结题型以及解题方法一，分离参数在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若 a_ f x恒成立，只须求出f X max，则a - f x mx ；若a岂f x恒成立，只须求出f x min，则a空f X両， 转化为函数求最值例1已知函数f(x)=lg x+^—2，若对任意x€恒有f(x)〉o，试确定a的 I X丿取值范围解：根据题意得：x •旦-2 .1在x：二〔2,：；心:上恒成立，x即：a^ -x2 3x在x：= 2,壯二,］；上恒成立，2 ( 3^9设 f (x )= -x +3x，则 f (x )= - x - +1 2丿4当 X =2 时，f x max =2 所以 a 2例2.已知当x・R时，不等式a+cos2x<5 -4sinx+ . 5a - 4恒成立，求实数 a的取值范围分析：在不等式中含有两个变量 a及x，其中x的范围已知(x^R),另一变量a的范围即为所求，故可考虑将 a及x分离。

解：原不等式即：4sinx+cos2x< i 5a「4「a+5要使上式恒成立，只需 •• 5a-4 -a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题2 2f(x)= 4sinx+cos2x= -2sin x+4sinx+1= -2(sinx T) +3-3,・：J5a - 4 - a+5>3 即■：■) 5a - 4 >a+2a-2^0 『、a—2<0 4上式等价于彳5a -4兰0 或丿 ，解得 兰a<8.2 、5a—4^0 55a -4 (a -2)说明：注意到题目中出现了 sinx及cos2x，而cos2x=1 -2sin2x,故若把sinx换元成t,则 可把原不等式转化成关于 t的二次函数类型二，变主换元在给出的含有两个变量的不等式中， 学生习惯把变量 x看成是主元(未知数)，而把另一个变量a看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐 如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程例3.对于满足|p| _2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围分析：在不等式中出现了两个字母： x及P关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。

显然可将 p视作自变量，则上述问题即可转化为在 ［-2，2］内关于p的一次函数大于0恒成立的问题解：不等式即(X — 1)p+x2—2x+1>0,设 f(p)= (x _1)p+x2_2x+1,则 f(p)在［_2,2］上恒大于 0, 故有：｛；；「即鳥解得:x< —1 或 x>3.‘X A 3或XV 1x> 1 或 x < -1例4、若不等式2x-1>m(x2-1 )对满足m兰2的所有m都成立，求x的取值范围2解：设 f (m )=m(x -1 )-(2x-1 )，对满足 m 兰2的 m，f(m)cO恒成立，解得:-1-1 13x :2 2f -2 <0 -2 x2 -1 - 2x-1 -02f 2 <0 2 x 一1 一 2x—1 ：：0三，利用二次函数根的分布例5.设f(x)=x 2 -2ax+2，当x • ［ - 1,+ ：：)时，都有f(x) _ a恒成立，求a的取值范围分析：题目中要证明f(x) _a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二 次函数在区间［-1,+ ：：)时恒大于0的问题解：设 F(x)= f(x) —a=x2—2ax+2—a.i )当厶=4 (a-1)(a+2)<0 时，即-20 |(a _1)(a+2)启0* f (―1)狂0 即

例6、当X £1恒成立，求实数a的取值范围解：;一1 ： loga x 1(1)a _31 1—< —a「3(2)1当0

2. 已知不等式(x-1)m ：：：2x-1对0,3恒成立，求实数 m的取值范围3. 已知不等式(x-1)m ：：： 2x-1对m・0,3恒成立，求实数 x的取值范围24. 已知不等式x -2ax 2 0对R恒成立，求实数 a的取值范围5. 已知不等式x2-2ax，2 0对X，1,2】恒成立，求实数 a的取值范围6. 已知不等式x2-2ax，2 0对1-1,2 1恒成立，求实数 a的取值范围。