【解析版】江苏省姜堰市2013届高三下学期期初考试数学试卷.doc

江苏省姜堰市2013届高三下学期期初考试数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）已知集合M={1，x2}，N={1，x}，且集合M=N，则实数x的值为　0　．考点：集合的相等．.专题：阅读型．分析：根据集合相等的定义与集合中元素的互异性，判定x满足的条件，求出即可．解答：解：∵集合M=N，∴x2=x≠1⇒x=0，∴答案是0．点评：本题考查集合的相等与集合中元素的互异性．　2．（5分）计算i2013=　i　（i为虚数单位）考点：虚数单位i及其性质．.专题：计算题．分析：由i2=﹣1，结合指数幂的运算可得i2013=（i4）503•i，代入计算即可．解答：解：i2013=i2012•i=i503×4•i=（i4）503•i，而i4=（i2）2=（﹣1）2=1，故上式=i故答案为：i点评：本题考查虚数单位的性质，属基础题．　3．（5分）已知向量=（cos36°，sin36°），=（cos24°，sin（﹣24°）），则=　　．考点：平面向量数量积的运算；同角三角函数间的基本关系．.专题：计算题；平面向量及应用．分析：直接利用向量的数量积的坐标表示，然后结合两角和的余弦公式进行化简即可求解解答：解：由题意可得，=cos36°cos24°+sin36°sin（﹣24°）=cos36°cos24°﹣sin36°sin24°=cos（36°+24°）=cos60故答案为：点评：本题主要考查了向量 的数量积的坐标表示及两角和的余弦公式的简单应用，属于基础试题　4．（5分）圆x2+y2﹣6x+8y=0的半径为　5　．考点：圆的一般方程．.专题：直线与圆．分析：把圆的方程化为标准形式，即可求得半径．解答：解：圆x2+y2﹣6x+8y=0 即 （x﹣3）2+（y+4）2=25，故此圆的半径为5，故答案为5．点评：本题主要考查圆的标准方程的特征，属于基础题．　5．（5分）双曲线的离心率为　　．考点：双曲线的简单性质．.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的方程为标准形式，求出a、b、c 的值，即得离心率的值．解答：解：双曲线，a=1，b=，∴c=，∴双曲线的离心率为e==，故答案为：．点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把双曲线的方程化为标准形式是解题的突破口．　6．（5分）已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an，则该数列前8项之和S8=　255　．考点：等比数列的前n项和；等比数列．.专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意可得，数列{an}是以1为首项以2为公比的等比数列，结合等比数列的求和公式可求解答：解：由题意可得，数列{an}是以1为首项以2为公比的等比数列=255故答案为：255点评：本题主要考查了等比数列的求和公式的简单应用，属于基础试题　7．（5分）点M（1，m）在函数f（x）=x3的图象上，则该函数在点M处的切线方程为　y=3x﹣2　．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．.专题：导数的综合应用．分析：先求切线斜率，即y′|x=1，然后由点斜式即可求出切线方程．解答：解：f′（x）=3x2，f′（x）|x=1=3，即函数y=x3在点（1，m）处的切线斜率是3，又m=f（1）=1，所以切线方程为：y﹣1=3（x﹣1），即y=3x﹣2．故答案为：y=3x﹣2．点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程问题，函数在某点处的导数为该点处的切线斜率．　8．（5分）将20个数平均分为两组，第一组的平均数为50，第二组的平均数为40，则整个数组的平均数是　45　．考点：众数、中位数、平均数．.专题：概率与统计．分析：利用加权平均数的计算公式进行计算．用20个数的总和除以20即可．解答：解：这两组数据的总和为10×50+10×40=900，那么这20个数的平均数是=45．故答案为：45．点评：本题考查加权平均数的计算方法．一组数据的平均数等于所有数据的和除以数据的个数．　9．（5分）已知函数f（x）=ax3+bx2+x+1（x，a，b∈R），若对任意实数x，f（x）≥0恒成立，则实数b的取值范围是　[，+∞）　．考点：函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．.专题：计算题；函数的性质及应用．分析：要使得f（x）≥0恒成立，结合已知函数解析式可知，只有让a=0且二次函数开口向上且与x轴没有交点，结合二次函的性质可求解答：解：∵f（x）=ax3+bx2+x+1的定义域为R当a≠0时，函数的值域为R与题意矛盾故a=0若使得f（x）≥0恒成立，即bx2+x+1≥0恒成立则根据二次函数的性质可知∴b故答案为：[，+∞）点评：本题主要考查了函数的恒成立为题的求解，解题的关键是灵活利用函数知识　10．（5分）（2013•黄埔区一模）已知直线l1：x+ay+6=0和l2：（a﹣2）x+3y+2a=0，则l1∥l2的充要条件是a=　﹣1　．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．.专题：计算题．分析：由已知中，两条直线的方程，l1：x+ay+6=0和l2：（a﹣2）x+3y+2a=0，我们易求出他们的斜率，再根据两直线平行的充要条件，即斜率相等，截距不相等，我们即可得到答案．解答：解：∵直线l1：x+ay+6=0和l2：（a﹣2）x+3y+2a=0，∴k1=，k2=若l1∥l2，则k1=k2即=解得：a=3或a=﹣1又∵a=3时，两条直线重合故答案为﹣1点评：本题考查的知识点是直线的一般式方程与直线的平行关系，其中两个直线平行的充要条件，易忽略截距不相等的限制，而错解为﹣1或3．　11．（5分）（2011•江苏模拟）已知实数a，b，c满足a+b+c=9，ab+bc+ca=24，则b的取值范围是　[1，5]　．考点：函数最值的应用．.专题：计算题；综合题．分析：根据a+b+c=9，ab+bc+ca=24，得到a+c=9﹣b，并代入ab+bc+ca=24，得到ac=24﹣（a+c）b，然后利用基本不等式ac，即可求得b的取值范围．解答：解：∵a+b+c=9，∴a+c=9﹣b，∵ab+ac+bc=（a+c）b+ac=24，得ac=24﹣（a+c）b； 又∵ac，∴24﹣（a+c）b，即24﹣（9﹣b）b，整理得b2﹣6b+5≤0，∴1≤b≤5；故答案为[1，5]．点评：此题考查了利用基本不等式求最值的问题，注意基本不等式成立的条件为一正、二定、三等，以及消元思想的应用，属中档题．　12．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=，若对任意的x∈[a，a+2]不等式f（x+a）f（x）恒成立，则a的最大值为　﹣4　．考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．.专题：函数的性质及应用．分析：由当x≥0时，f（x）=，由函数是奇函数，可得当x＜0时，f（x）=﹣，从而可知f（x）在R上是单调递增函数，且满足f（x）=f（3x），再根据单调性把不等式f（x+a）≥f（x）转化为具体不等式在[a，a+2]恒成立，分离参数转化为函数最值，即可得出答案．解答：解：当x≥0时，f（x）=，∵函数是奇函数，∴当x＜0时，f（x）=﹣，∴f（x）=，∴f（x）在R上是单调递增函数，且满足f（x）=f（3x），∵不等式f（x+a）≥f（x）=f（3x）在[a，a+2]恒成立，∴x+a≥3x在[a，a+2]恒成立，即：x≤在[a，a+2]恒成立，∴a+2，解得a≤﹣4．故答案为：﹣4．点评：本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性、单调性的应用，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性．　13．（5分）已知数列{an}的通项公式为an=n，若对任意的n∈N*，都有an≥a3，则实数k 的取值范围为　6≤k≤12　．考点：数列的函数特性．.专题：等差数列与等比数列．分析：根据对所有n∈N*不等式an≥a3恒成立，可得，可解得6≤k≤12，验证即可．解答：解：由题意可得k＞0，∵对所有n∈N*不等式an≥a3恒成立，∴，∴，∴6≤k≤12经验证，数列在（1，2）上递减，（3，+∞）上递增，或在（1，3）上递减，（4，+∞）上递增，符合题意，故答案为：6≤k≤12点评：本题考查数列中的恒成立问题，考查学生的计算能力，属基础题．　14．（5分）已知α，β，γ∈R，则的最大值为　2+　．考点：三角函数的化简求值；正弦函数的定义域和值域．.专题：压轴题；三角函数的图像与性质．分析：设a=sinα，b=sinβ，c=sinγ，则a，b，c∈[﹣1，1]，不妨设 a≥b≥c，则原式=++．分析可得要使原式取得最大值，必须有a=1，c=﹣1，b=0，由此原式的最大值．解答：解：由于sinα、sinβ、sinγ∈[﹣1，1]，设a=sinα，b=sinβ，c=sinγ，则a，b，c∈[﹣1，1]．不妨设 a≥b≥c，令f=++．再采用固定变量法：对于固定的b，c，f随a的增大而增大，所以当原式取最大值时，a一定取1，对于固定的a，b，f随c的减小而增大，所以当原式取最大值时，c一定取﹣1．此时，原式=++．令g（b）=+ （﹣1≤b≤1），∵g2（b）=2+2，∴当b=0时，g2（b）最大，故g（b）的最大值为．综上可得，要使原式取得最大值，必须有a=1，c=﹣1，b=0，故原式的最大值为 2+，故答案为 2+．点评：本题主要考查正弦函数的值域，求函数的最大值，体现了转化的数学思想，属于中档题．　二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）求证：acosB+bcosA=c；（2）若acosB﹣bcosA=c，试求的值．考点：余弦定理．.专题：计算题；解三角形．分析：（1）直接利用余弦定理对acosB+bcosA进行化简即可证明（2）由结合（1）acosB+bcosA=c及已知acosB﹣bcosA=c可求bcosA=，然后利用正弦定理及两角和的正弦公式化简可求解答：证明：（1）∵acosB+bcosA==c（2）由（1）acosB+bcosA=c∵acosB﹣bcosA=c∴acosB=，bcosA=∴5cosAsinB=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA∴4sinBcosA=sinAcosB∴=4点评：本题主要考查了余弦定理、和差角公式及同角基本关系的简单应用，解题的关键是熟练应用公式．　16．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB=BC=CA=，AD=CD=1．（1）求证：BD⊥AA1；（2）若E为棱BC上的一点，且AE∥平面DCC1D1，求线段BE的长度．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的性。