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[研究生入学考试题库]考研数学三分类模拟11一、选择题问题:1. 设随机变量X与Y的联合分布是二维正态分布，X与Y相互独立的充分必要条件是A.E(X-Y)=0．B.D(X-Y)=0．C.E(X2-Y2)=0．D.E[X(Y-EY)]=0．答案:D[解析] (X，Y)服从二维正态分布，则X与Y独立的充分必要条件是它们的相关系数ρXY=0，而对任何两个随机变量X与Y，有 而EXY=EXEY又可以变形为EXY-EXEY=E[X(Y-EY)]=0，因此应选D． 进一步分析，可以举出反例说明对于前三个选项，它们都不是二维正态分布随机变量(X，Y)中X与Y独立的充分必要条件，比如(X，Y)的联合概率密度，则X～N(0，1)，Y～N(1，1)，且X与Y相互独立．但是由于X-Y～Ⅳ(-1，2)，所以 E(X-Y)=-1≠0，D(X-Y)=2≠0， E(X2-Y2)=EX2-EY2=DX+(EX)2-[DY+(EY)2]=-1≠0． 问题:2. 设A1，A2是两个随机事件，随机变量，已知X1与X2不相关，则A.X1与X2不一定独立．B.A1与A2一定独立．C.A1与A2不一定独立．D.A1与A2一定不独立．答案:B[解析] EXi=P-P(Ai)=1-2P(Ai)，i=1，2， E(X1X2)=P{X1=-1，X2=-1}-P{X1=-1，X2=1}-P{X1=1，X2=-1}+P{X1=1，X2=1}==P(A1A2)-[P(A1)-P(A1A2)]-[P(A2)-P(A1A2)]+1-P(A1)=P(A2)+P(A1A2)=4P(A1A2)-2P(A1)-2P(A2)+1， EX1EX2=[1-2P(A1)][1-2P(A2)]=4P(A1)P(A2)-2P(A1)-2P(A2)+1． 因X1与X2不相关，故E(X1X2)=EX1EX2． P(A1A2)=P(A1)P(A2)，即A1与A2相互独立，应选B． 问题:3. 随机变量序列X1，…，Xn，…相互独立且满足大数定律，则Xi的分布可以是 A．P{Xi=m}=，m=1，2，…． B．Xi服从参数为的指数分布． C．Xi服从参数为i的泊松分布． D．Xi的概率密度．答案:A[解析] 相互独立的随机变量X1，X2，…，如果X1，X2，…同分布，只要EXi存在，则X1，X2，…服从辛钦大数定律；若X1，X2，…不同分布，但Xi的期望、方差应都存在，且方差要一致有界，则X1，X2，…满足切比雪夫大数定律．据此分析： 在A中，Xi同分布，，由于级数是收敛的，因此EXi存在，X1，X2，…满足辛钦大数定律，应选A． 进一步分析，在B中，；在C中，DXi=i，它们均不能对i一致有界，因此不满足切比雪夫大数定律． 在D中，由于，因此．故EXi不存在，所以不能满足辛钦大数定律．问题:4. 设统计量Y服从F分布F(m，n)，Fα(m，n)满足P{Y≥Fα(m，n)}=α，则F1-α(m，n)等于 A．1-Fα(m，n)． B．1-Fα(n，m)． C． D． 答案:D[解析] 若Y～F(m，n)，则～F(n，m)，依题意 P{Y≥F1-α(m，n)}=1-α，P{Y≤F1-α(m，n)}=α， 但是，所以，应选D．二、解答题问题:1. 设离散型随机变量X的概率分布为 求的分布函数． 答案:解：由于X取值为所有正整数，因此Y的取值只有． 事件是可列个两两互不相容事件{X=2}，{X=5}，…，{X=3n-1}，…的和，根据概率的可列可加性，有 类似地有 由于事件是一个完备事件组，因此有 于是Y的分布函数F(x)为 [解析] 这是已知随机变量X的分布，求其函数的分布问题．由于X是离散型，故Y也是离散型．至于求离散型随机变量的分布函数，首先应确定出它的概率函数． 将一枚均匀的硬币接连掷5次．2. 求正面出现次数X的概率分布；答案:解：掷5次硬币，正面出现次数X的取值为0，1，2，3，4，5．每次掷出正面的概率为，因此X服从参数为的二项分布： 即 3. 在反面至少出现一次的条件下，求正面与反面出现次数之比Y的概率分布．答案:解：为求比值Y的分布，先求X1的分布，X1表示在“掷5次硬币至少出现了一次反面”的条件下正面出现的次数，则X1的取值为0，1，2，3，4．设A表示事件“5次中至少出现一次反面”，则 随机变量X1的概率分布为 即 由已知条件，则Y相对于X1的5个取值为于是由X1的概率分布可得y的概率分布为 问题:4. 若随机变量X在(0，1)上服从均匀分布，求随机变量Y=XlnX的概率密度函数．答案:[解法一] 本题是属于“已知随机变量X的分布，求X函数Y=g(X)分布”的题型，只不过函数的形式是Y=g(X)=φ(X)ψ(X)．类似于求φ(x)ψ(x)导数的方法，可以在等式两边求对数或化为eψ(x)lnφ(x)形式进行求解，我们仍然运用分布函数法来解答本题． 已知X的密度函数为Y=XlnX=e(lnX)2=eZ，其中Z=(lnX)2．若记Z的分布函数为FZ(z)，则当z≤0时，FZ(z)=0；当z＞0时，由于X在(0，1)上取值，因而有 即Z的分布函数为 因而Y=eZ的分布函数为 FY(y)=P{Y≤y}=P{eZ≤y}， 其中Z=(lnX)2的取值是非负的．因而当y≤1时，FY(y)=0；当y＞1时， FY(y)=P{0＜Z≤lny}=FZ(lny)-FZ(0)=． 故所求的Y的概率密度函数为 [解法二] FY(y)=P{Y≤y}=P{XlnX≤y}=P{e(lnX)2≤y}． 当y≤1时，FY(y)=0；当y＞1时，由于X在(0，1)上取值，故有 从而Y的分布函数为 于是Y的密度函数 问题:5. 设随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，Y=X2，求Y的概率密度fY(y)．答案:解：由于函数y=g(x)=x2在(-∞，+∞)内不是单调函数，我们用分布函数法求Y的概率密度． 显然当y≤0时，FY(y)=P{Y≤y}=0． 当y＞0时，FY(y)=P{Y≤y}=P{X2≤y}=P{}． 由于X～N(0，σ2)，故X/σ～N(0，1)．由于 将FY(y)对y求导数，得Y的概率密度函数为 其中Φ(x)与φ(x)分别表示标准正态分布的分布函数与概率密度． 问题:6. 设随机变量X服从参数为λ的指数分布，Y=eX，求Y的概率密度与分布函数．答案:解：由于y=ex是单调函数，其反函数x=lnyh(y)亦单调可导，当y∈(1，+∞)时，导数恒不为零(因X只取正值，故Y只取大于1的值)．应用单调函数公式法，得Y的概率密度为 当y＜1时，FY(y)=0；当y≥1时， 如果题目只求分布函数而不需求概率密度，则用分布函数法解答非常简单(解略)． 设随机变量U服从标准正态分布N(0，1)，随机变量 求： 7. X与Y的联合分布；答案:解：随机变量(X，Y)只可能取(-1，-1)，(-1，1)，(1，-1)与(1，1)各值． P{X=-1，Y=-1}=P{U≤0，|U|≤1.96}=P{-1.96≤U≤0}=Φ(0)-Φ(-1.96)=0.5-0.025=0.475． 类似地，可以依次计算出其他三个概率值，略去计算过程，将计算结果列于下表 8. X与Y的相关系数ρXY答案:解：从上一小题中联合分布表可以得到关于X与Y的边缘概率分布分别为 EX=0，EY=-0.9， EXY=(-1)(-1)×0.475+(-1)×1×0.025+1×(-1)×0.475+1×1×0.025=0， cov(X，Y)=EXY-EXEY=0． 由于cov(X，Y)=0，因此我们不必计算DX与DY，直接得出ρXY=0． 问题:9. 设随机变量X与Y同分布，并且P{XY=0}=1．求(X，Y)的联合概率分布与X+Y的概率分布．答案:解：先将X与Y的全部可能取值与边缘分布列出(X，Y)的联合分布结构表，有 依题意计算pij:P{XY≠0}=1-P{XY=0}=0． 但是事件{XY≠0}是四个两两互不相容事件{X=-1，Y=-1}，{X=-1，Y=1}，{X=1，Y=-1}，{X=1，Y=1}的和，因此它们的概率都是零，即p11=p13=p31=p33=0．再从边缘分布与联合分布的关系容易算出p12=p32=p21=p23=0.25，p22=0．将所得数据代入联合分布表中pij处得到(X，Y)的联合分布如下： 从联合概率分布表容易看出X+Y只取-1和1两个可能值其概率都是0.5，即X+Y的概分布为 问题:10. 已知(X，Y)的联合密度函数 (1)求常数A；(X，Y)的联合分布函数F(x，y)，并问X与Y是否独立?为什么? (2)求条件概率密度fX|Y(x|y)，fY|X(y|x)及条件概率； (3)记Z1=Y-X，求证Z1服从参数λ=1的指数分布，并计算Z2=X+Y的概率密度． 答案:[分析与解答] 由，求得A；再由，对不同的x，y，计算积分求得F(x，y)，最后考虑F(x，y)，FX(x)，FY(y)之间关系，判断X、Y是否独立． (1)因为，所以A=2． 当x≤0或y≤0时，F(x，y)=0； 当0＜y≤x时， 当0＜x＜y时， 综上得 由于 因为FX(x)·FY(y)≠F(x，y)，所以X与Y不独立． (2)由于X的概率密度 Y的概率密度 所以 条件概率 其中 故 (3)我们通过求Z1=Y-X的分布函数(或概率密度)来证明Z1服从参数λ=1的指数分布，有两种方法： 方法1° (分布函数法)Z1=Y-X的分布函数F1(z)=P{Y-X≤z}=， 当z≤0时，F1(z)=0；当z＞0时， 综上得所以Z1=Y-X服从参数λ=1的指数分布． 方法2° (公式法)如果(X，Y)～f(x，y)，则Z1=Y-X的概率密度 其中 由此可知：当z≤0时f1(z)=0；当z＞0时， 所以Z1=Y-X服从参数λ=1的指数分布． 仿照上述方法我们可以求得Z2=X+Y的概率密度f2(z)． 方法1° (分布函数法)Z2=X+Y的分布函数 由f(x，y)的非零定义域知：当z≤0时F2(z)=0；当z＞0时 综上得 方法2°。