近世代数--半群.doc

定义定义 1 设是一个非空集合，在上有一个二元代数运算,记为“·”,称为“乘法”，如果这个运算满足结合律，即对则称是一个半群定义定义 2 给定，若⊙满足结合律，则称为半群 定义定义 3 设 V=是代数系统,为二元运算,如果运算是可结合的,则称 V 为半群 由半群定义可见，半群就是由集合及其上定义的一个可结合的二元运算组成的代数结构 例例 1 1 自然数集 N，按通常数的加法运算“+”即，构成半群，按通常的乘法运算即，也构成半群 例例 2 2 正整数集按通常数的加法运算“+”即, 整数集按通常数的加法运算“+”即 , 有理数集按通常数的加法运算“+”即,实数集按通常数的加法运算“+”即 均构成半群,+是普通加法 例例 3 3 设 n 是大于 1 的正整数,和都是半群,也都是独异点,其中+和·分别表 示矩阵加法和矩阵乘法 例例 4 4 整数集 Z，按通常数的减法“-”运算即，不构成半群 定义定义 4 定，若是半群且○有幺元或○满足结合律且拥有幺元，则称 为独异点 定义定义 5 设 V=是半群,若 e∈S 是关于运算的单位元,则称 V 是含幺半群,也叫做独异 点有时也将独异点 V 记作 V=. 可以看出，独异点是含有幺元的半群。

,,,都是半群,+是普通加法这些半群中除外都是独异点为半群,也是独异点,其中为集合的对乘差运算4)为半群,也是独异 点，其中 Zn={0,1,…,n-1},为模 n 加法5)为半群,也是独异点,其中为函数的 复合运算定义定义 6 如果半群满足交换律,即则称半群是交换半群定义定义 7 给定半群，若⊙是可交换的，则称是交换半群定理定理 1 1 设是一个交换半群，则对中任意个元素的乘积,可以任意交换顺序，即它们任意交换顺序计算的结果都相等 定义定义 8 如果半群中的集合 S 是有限的，则称半群为有限半群 定理定理 2 2 为有限半群 Þ($x)(x∈S∧x⊙x=x) 本定理告诉我们，有限半群存在等幂元 定义定义 9 给定半群和 g∈S，以及自然数集合 N，则 g 为的生成元:=(“x)(x∈S→($n)(n∈N∧x=gn)) 此时也说，元素 g 生成半群，而且称该半群为循环半群 类似地定义独异点的生成元 g 和循环独异点，并且规定 g0=e 定理定理 3 3 每个循环独异点都是可交换的 可见，○是可交换的，故是可交换的显然，每个循环半群也是可交换的 定义定义 10 给定半群及非空集 TÍS，若 T 对⊙封闭，则称为的子半群。

类似地定义独异点的子独异点，应注意的是 e∈P定义定义 11 给定半群及任意 a∈S，则是循环子半群 显然，a 是的生成元故是循环子半群 定义定义 12 给定半群及 GÍS，则 G 为的生成集:=(“a)(a∈S→a=⊙(G))∧|G| 这里⊙(G)表示用 G 中的元素经⊙的复合而生成的元素 类似地定义独异点的生成集 定理定理 4 4 给定可交换独异点，若 P 为其等幂元集合，则为子独异点定理定理 5 5 设为独异点，则关于○的运算表中任两列或任两行均不相同 定理定理 6 6 给定独异点，对任意 a，b∈M 且 a，b 均有逆元，则 (1) (a-1)-1=a (2) a○b 有逆元，且(a○b)-1=b-1○a-1 定义定义 1313 设是一个半群，如果存在元素, 使得对任意元素,都有 ea=a,则称是的一个左单位元；如果对任意元素,都有,则称是的一个右单位元，如果,使得既是的左单位元又是的右单位元，则称是的单位元注：1、左单位元，体现在是从左边乘以任意元素,即；右单位元,就是从右边 乘以元素，使得2、单位元是当然的左单位元，也是当然的右单位元但左单位元未必是单位元，同样右单位元也未必是单位元。

3、如果是交换半群，则左单位元与右单位元就没有区别了，因此这时左单位元也是右单位元,从而都是交换半群的单位元但如果不是交换半群，那差别就可能很大了定理定理 7 7 设是一个交换半群，如果是左单位元，是右单位元，则因此是的唯一的单位元例：半群没有单位元，因为不存在一个正整数加上任意正整数还是等于,但半群 有单位元 0，半群有单位元 1，半群有单位元 0例例 5 5 群的乘法表如下则半群有单位元 1例例 6 6 群的乘法表如下则中每一个元素都是左单位元，但没有右单位元，因此没有单位元定义定义 1414 设是一个半群，是的单位元，对的元素如果有称是左可逆元，而是的左逆元；同样这时，也称是右可逆元，是的右逆元如果元素既是左可逆,又是右可逆元，则称是可逆元注意：在任意一个有单位元的半群中，单位元自身是当然的可逆元，但除单位元外是否还有其他可逆元，这是人们所关心的比如例 1 中有单位元 1，但除 1 外其他任意元素都是不可逆元但前面的例 5 半群中，1 是单位元，2 的逆元是 3，3 的逆元是 2，单位元的逆元当然是自身因此的每一个元素都是可逆元，半群也是如此，单位元即零元 0, 此外的每一个元素都是可逆元，其逆元是。

定理定理 8 在半群中如果是左可逆元又是右可逆元，则的左逆元与右逆元相等这时把的左（右）逆元称为的逆元这个定理表明，如果半群有单位元，并且元素是可逆元，则的逆元素是唯一的,因此今后常用表示的逆元。