高中竞赛之导数(学生版).doc

高中数学竞赛讲义之极限与导数一、 基础知识 1、极限定义：（1）若数列{un}满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m，当n>m且n∈N时，恒有|un-A|<ε成立（A为常数），则称A为数列un当n趋向于无穷大时的极限，记为，另外=A表示x大于x0且趋向于x0时f(x)极限为A，称右极限类似地表示x小于x0且趋向于x0时f(x)的左极限 2、连续：如果函数f(x)在x=x0处有定义，且f(x)存在，并且f(x)=f(x0)，则称f(x)在x=x0处连续 3、最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值 4、极值的必要条件：若函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则 5、极值的第一充分条件：设f(x)在x0处连续，在x0邻域(x0-δ,x0+δ)内可导，（1）若当x∈(x-δ,x0)时，当x∈(x0,x0+δ)时，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若当x∈(x0-δ，x0)时，当x∈(x0,x0+δ)时，则f(x)在x0处取得极大值 6、极值的第二充分条件：设f(x)在x0的某领域(x0-δ,x0+δ)内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且。

1）若，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若，则f(x)在x0处取得极大值 7、罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使[证明] 若当x∈(a,b)，f(x)≡f(a)，则对任意x∈(a,b)，.若当x∈(a,b)时，f(x)≠f(a)，因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，必有一个不等于f(a)，不妨设最大值m>f(a)且f(c)=m，则c∈(a,b)，且f(c)为最大值，故，综上得证 8、Lagrange中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，则存在ξ∈(a,b)，使[证明] 令F(x)=f(x)-,则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且F(a)=F(b)，所以由13知存在ξ∈(a,b)使=0，即二、方法与例题1．极限的求法例1 求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）例2 求下列极限：（1）(1+x)(1+x2)(1+)…(1+)(|x|<1)；（2）；（3）2、利用导数公式及求导法则求导例1 设，求.例2利用导数求和(1)Sn=1+2x+3x2+…+nxn－1(x≠0,n∈N*)(2)Sn=C+2C+3C+…+nC,(n∈N*)例3 3、不等式（或等式）的证明例1、 求数列中的最小项。

例2、例3、4、利用导数讨论极值例1已知函数（1）若是单调函数，求的取值范围；（2）若有两个极值点，证明：例2 设x∈[0,π],y∈[0,1]，试求函数f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值5、函数与导数的综合应用例1 已知函数，其中．（Ⅰ）求证：函数在区间上是增函数；（Ⅱ）若函数在处取得最大值，求的取值范围．例2设函数（Ⅰ）当时，过原点的直线与函数的图象相切于点P，求点P的坐标；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间；（Ⅲ）当时，设函数，若对于]，[0，1]使≥成立，求实数b的取值范围.（是自然对数的底，）课后练习：1 y=esinxcos(sinx)，则y′(0)等于( )A 0 B 1 C －1 D 22 经过原点且与曲线y=相切的方程是( )A x+y=0或+y=0 B x－y=0或+y=0 C x+y=0或－y=0 D x－y=0或－y=03 若f′(x0)=2, =_________ 4 设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则f′(0)=_________ 5 已知曲线C1:y=x2与C2:y=－(x－2)2,直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程 6 求函数的导数(1)y=(x2－2x+3)e2x; (2)y= 7、 求和Sn=12+22x+32x2+…+n2xn－1,(x≠0,n∈N*) 8、已知函数. ⑴求函数的最小值； ⑵若≥0对任意的恒成立，求实数a的值； ⑶在⑵的条件下，证明：9、已知函数， 设 （1）是否存在唯一实数，使得，若存在，求正整数m的值；若不存在，说明理由。

2）当时，恒成立，求正整数n的最大值参考答案 1 B 2 A 3 －1 4 n! 5 直线l方程为y=0或y=4x－4 6 （1）(2) 7、 x=1与 x≠1，8、（1）（2）∴.（3）略9、（1）（2）正整数n的最大值为3。