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静 力 学,西北工业大学,平面任意力系,,§3–1 力对点的矩,§3–2 平面任意力系向作用面内任一点简化,§3–3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程,§3–5 简单平面桁架的内力计算,,,,,,,静 力 学,第三章 平面任意力系,§3–4 物体系的平衡,目录,第三章 平面任意力系,,,,,,M,实 例,第三章 平面任意力系,平面任意力系—— 作用线在同一平面内，但彼此不汇交一点，且不都平行的力系实 例,§3–1 力对点的矩,第三章 平面任意力系, 力对点的矩, 力矩的性质,,,力矩的表达式,1.力对点的矩 力F 的大小乘以该力作用线与某点O间距离d，并加上适当正负号，称为F 对O点的矩简称力矩1 力对点的矩,MO（F ) =±Fd,O — 矩心， d —力臂实例 ,§3–1 力对点的矩,MO(F) = r x F,,,力矩的值也可由三角形OAB面积的2倍表示,MO（F ) =±2ΔOAB面积,力矩的正负号规定 当有逆时针转动的趋向时，力F对 O点的矩取正值；反之，取负值MO（F ) =±Fd,§3–1 力对点的矩,力对点的矩,（2）当力通过矩心时，此力对于矩心的力矩等于零。

3）互成平衡的力对同一点的矩之和等于零1）力F的作用点沿作用线移动，不改变力对点O的矩§3–1 力对点的矩,2.力矩的性质,力对点的矩与力偶矩的区别,不同处：力对点的矩可随矩心的位置改变而改变，但一个力偶的矩是常量联系： 力偶中的两个力对任一点的矩之和是常量，等于力偶矩牛顿•米（N • m）,相同处：力矩的量纲与力偶矩的相同§3–1 力对点的矩,力矩的性质,证明：,MO （F1) ＋ MO （F2),= －F 1· OA′＋ F 2· OB′,= －F 1( OA′－OB′),= －F 1· (A′B′),= －F 1· d =M,力偶中的两个力对任一点的之和是常量，等于力偶矩§3–1 力对点的矩,力矩的性质,§3–2 平面任意力系向作用面内任一点简化,力系向给定点的简化,平面任意力系简化结果的讨论,合力矩定理•力矩的解析表达式,,,,,力线平移定理,=,=,F ' = F “ = F ,,,M= Fd = MO ( F ),把力F 作用线向某点O平移时，须附加一个力偶，此附加力偶的矩等于原力F 对点O的矩§3–2 平面任意力系向作用面内任一点简化,1.力线平移定理,加减平衡力系公理,(1) 当力线平移时，力的大小、方向都不改变，但附加力偶的矩的大小与正负一般要随指定O点的位置的不同而不同。

力线平移定理,§3–2平面任意力系向作用面内任一点简化,(2) 力线平移的过程是可逆的，由此可得重要结论： 作用在同一平面内的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原力大小相等的平行力力线平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一个平面共点力系和一个平面力偶系的依据几个性质,工程实例 ,力线平移定理,§3–2平面任意力系向作用面内任一点简化,应用力系平移定理，可将刚体上平面任意力系（包括平面平行力系）中各力的作用线全部平行搬移到作用面内某一给定点O 从而这力系被分解为平面共点力系和平面力偶系这种变换的方法称为力系向给定点O 的简化点O 称为简化中心以三个力构成的平面任意力系为例说明如下：,,力系的简化,§3–2 平面任意力系向作用面内任一点简化,2. 力系向给定点O 的简化,共点力系F1， F2， F3的合成结果为一作用点在点O的力FR这个力矢F 称为原平面任意力系的主矢附加力偶系的合成结果是作用在同平面内的力偶，这力偶的矩用MO代表，称为原平面任意力系对简化中心O的主矩F'R = F'1 +F'2+F'3 = F1 +F2+F3,MO = M1 +M2+M3 = MO (F1) + MO (F2 ) + MO (F3 ),力系的简化,§3–2 平面任意力系向作用面内任一点简化,结论 平面任意力系向作用面内任一点O简化的结果，是一个力和一个力偶，这个力作用在简化中心O，它的力矢等于原力系中各力的矢量和，并称为原力系的主矢；这力偶的矩等于各附加力偶矩的代数和，它称为原力系对简化中心O的主矩，并在数值上等于原力系中各力对简化中心O的力矩的代数和。

平面任意力系对简化中心O的,主矩,主矢,F'R = F1 +F2+···+Fn=∑Fi,MO = MO (F1) + MO (F2 ) +···+MO (F3 )= ∑ MO (Fi ),力系的简化,§3–2 平面任意力系向作用面内任一点简化,(2) 平面任意力系的主矩一般与简化中心O的位置有关因此，在说到力系的主矩时，一定要指明简化中心几点说明,(1) 平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心O的位置无关力系的简化,§3–2 平面任意力系向作用面内任一点简化,工程实例 ,力系的简化,§3–2 平面任意力系向作用面内任一点简化,方向余弦,(2) 主矩MO可由下式计算§3–2 平面任意力系向作用面内任一点简化,主矢、主矩的求法,(1) 主矢可按力多边形规则作图求得，或用解析法计算MO = MO (F1) + MO (F2 ) +···+MO (F3 )= ∑ MO (F ),力系的简化,（1） F'R =0，而MO≠0，原力系合成为力偶 这时力系主矩MO不随简化中心位置而变力系的简化,§3–2 平面任意力系向作用面内任一点简化,3.平面任意力系简化结果的讨论,（2） MO=0，而F'R ≠0，原力系合成为一个力。

作用于点O的力F 就是原力系的合力3） F'R ≠0，MO≠0，原力系简化成一个力偶和一个作用于点O的力F  = －F〞=F,=,=,证 明,FR’≠0，MO≠0，原力系简化成一个力偶和一个作用于点O的力，这时力系也可合成为一个力至于点Ａ在主矢F 的那一边，则与主矩MＯ的正负有关下面列出二种可能性力系的简化,§3–2 平面任意力系向作用面内任一点简化,综上所述，可见：,(4) F'R =0，而MO=0，原力系平衡 平面任意力系如不自成平衡，则当主矢F'R ≠0，该力系合成为一个力力系的简化,§3–2 平面任意力系向作用面内任一点简化, 平面任意力系如不自成平衡，则当主矢F'R =0，该力系合成为一个力偶平面力系的合力对作用面内任一点的矩，等于这力系中的各力对同一点的矩的代数和 表达式： MO(FR)=∑MO(Fi),证明：,因为 MO=∑MO(Fi) ,,MO =FR·d=MO(FR),所以 MO(FR)=∑MO(Fi),=,=,,,,MO,O,,,,,,,,O,,,,A,,,,,,,O,,A,§3–2 平面任意力系向作用面内任一点简化,4. 合力矩定理,4. 合力矩定理（伐里农定理）, 力矩的解析表达式 F对原点O的力矩的解析表达式：MO(F) = xFy yFx,合力矩定理,§3–2 平面任意力系向作用面内任一点简化,,例3-1 在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个力：F1=1 kN，F2=2 kN，F3=F4=3 kN（如图），试求以上四个力构成的力系对点O的简化结果，以及该力系的最后的合成结果。

例题3-1,解：取坐标系Oxy 1、求向O点简化结果  求主矢FR  例题 3-1,§3–2 平面任意力系向作用面内任一点简化,§3–2 平面任意力系向作用面内任一点简化, 例题 3-1, 求主矩2. 求合成结果F,O,A,B,C,x,y,,合成为一个合力F，F的大小、方向与FR相同其作用线与O点的垂直距离为,§3–2 平面任意力系向作用面内任一点简化, 例题 3-1,§3–3 平面任意力系平衡条件和平衡方程,平面平行力系的平衡条件和平衡方程,平面任意力系的平衡条件和平衡方程,,,(1) 平面任意力系平衡的充要条件,§3–3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程,(2) 平面任意力系的平衡方程,FR=0， MO=0,力系中的各力在其作用平面内两坐轴上的投影的代数和分别等于零，同时力系中的各力对任一点矩的代数和也等于零力系的主矢等于零 ，且力系对任一点的主矩也等于零1.平面任意力系的平衡条件和平衡方程,（3） 平面任意力系的平衡方程其他形式,且A，B的连线不和x轴相垂直A，B，C三点不共线§3–3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程, 平衡方程,解： 1.取伸臂AB为研究对象。

2.受力分析如图a,α,c,b,,,,,B,F,A,C,WD,WE,l,例3-2 伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB重W=2200N，吊车D、E连同吊起重物各重WD=WE=4000N有关尺寸为： l = 4.3m，a = 1.5m，b = 0.9m，c = 0.15m, α=25°试求铰链A对臂AB的水平和垂直约束力，以及拉索BF的拉力例题3-2, 例题 3-2,§3–3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程,3.选如图坐标系，列平衡方程4.联立求解 F = 12 456 N FAx= 11 290 N FAy= 4 936 N, 例题 3-2,§3–3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程,解： 1. 取梁AB为研究对象 2. 受力分析如图，其中F =q×AB=100×3=300 N；作用在AB 的中点CB,A,D,1m,q,2m,,M,,例3-3 梁AB上受到一个均布载荷和一个力偶作用，已知载荷集度（即梁的每单位长度上所受的力）q = 100 N/m，力偶矩大小M = 500 N•m长度AB = 3 m，DB=1 m求活动铰支D和固定铰支A的约束力例题3-3, 例题 3-3,§3–3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程,3.选如图坐标系，列平衡方程。

4.联立求解 FD= 475 N FAx= 0 FAy= －175 N, 例题 3-3,§3–3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程,解： 1.取机翼为研究对象 2.受力分析如图例3-4 某飞机的单支机翼重 W =7.8 kN飞机水平匀速直线飞行时，作用在机翼上的升力 F = 27 kN，力的作用线位置如图示，其中尺寸单位是mm试求机翼与机身连接处的约束力 例题 3-4,§3–3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程,例题 3-4,4.联立求解 MA= －38.6 kN•m (顺时针） FAx= 0 FAy= －19.2 kN （向下）,3.选如图坐标系，列平衡方程 例题 3-4,§3–3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程,已知 M，a，φ，求三根杆所受的约束力，三角块及杆的重量不计 练习题, 练习题,§3–3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程,练习题,∑MC = 0 ,,－F1sin φ ·acos φ －M = 0,应用三矩式,1.取三角块为研究对象 2.受力分析如图 解 答,∑MB = 0 ,,∑MA = 0 ,,－F3 · a sin φ －M = 0,－F2· a cos φ －M = 0, 练习题,§3–3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程,且A，B的连线不平行于力系中各力。

由此可见，在一个刚体受平面平行力系作用而平衡的问题中，利用平衡方程只能求解二个未知量力系中各力的代数和等于零 ，以及这些力对任一点的矩的代数和也等于零2) 平面平行力系的平衡方程,(1) 平面平行力系平衡的充要条件,§3–3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程,2.平面平行力系的平衡条件和平衡方程,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,G2,FA,G1,G3,,,,,G,FB,B,3.0 m,2.5 m,,1.8 m,,,,,2.0 m,,例3-5 一种车载式起重。