2023年中考复习数学最值问题胡不归专项训练（解析版）.pdf

2023年中考复习数学最值问题胡不归专项训练1.如图，A BC中，AB=AC=IO,t a n A=2,BE_ L A C于点E,O是线段B E上的一个动点,则 CD+-B D 的最小值是（）解：如图，作H_ L A 8于H,CM _ L A B于A ZAEB=90,RFVt a i L 4=5|=2,设 A E=a,BE=2a,则有：1 0 0=a 2+4 q 2,A a2-2 0,，a=2伤 或-2 6（舍弃），：.BE=2a=4V5,：AB=AC,BE1AC,CMLAB,：.CM=BE=4V5（等腰三角形两腰上的高相等）,NDBH=NABE,NBHD=NBEA,.s i n皿/p1nlj=前DH=而AE=可V5：.DH=骨 D,；.CD 卷 BD=CD+DH,：.CD+DHCM,.CO+韵G：.CD+-BD的最小值为4V5.方法二：作CMLAB于例，交BE于点D,则点满足题意.通过三角形相似或三角函数 证 得 立 从 而 得 到C+4BO=CM=4V.5 3故选：B.2.如图所示，菱形ABCO的边长为5,对角线0B的长为4V5,P为0B上一动点，则AP+第0P解：如图，过点A作AHVOC于点H,过点P作PFLOC于点F,连接AC交0B于点J.1O H CF x.四边形0ABe是菱形，：.ACL0B,：.0J=JB=2遥,CJ=ylOC2-O 2=J52-(2尸=V5,：.AC=2CJ=2V5,：AHL0C,：.OCAH=OB-AC,.“口 1 475x275.AH=2 x-g-=4,.PF CJ 底-s in Z P O F=0P=0C=-5：.PF=M)P,：.AP+0P=AP+PF,：AP+PFAH,：.AP+-0P4,；.AP+当O P的最小值为4,故选：A.13.如图，E1ABC。

中，ZDAB=30,A5=6,BC=2,P 为边 CO 上的一动点，贝l PB+*PQ的最小值等于（）DBA.2 B.4 C.3 D.5解：作PQ_LAD的延长线于Q,作8_LA的延长线于H,ABCD,AB/CD,NQDC=NA,：ZDAB=30,ZQDC=30,.”二*PD 2QP=DP,1,.PB+今 PD=PB+QP,当3、P、Q三点共线时，PB+QP最小,即PB+QP最小为3”,A8=6,BH=AB=3,“8+弃的最小值等于3.故选：c.4.如图，四边形A 8CD内接于OO,A B为的直径，4B=16,NABC=60,为弧4 c 的中点，是弦AC上任意一点（不与端点A、C 重合），连 接 的则2+ZW 的解：过点加作用 _ _ 0于 E,过点作 OF_LOC于尸，连 接 0Q,/.ZACB=90,V Z A B C =60 ,A ZBAC=30 ,：OA=OC,：.Z A C O=ZCAO=30 ,1；M E=加 C,1:一C M+D M=M E+D M,2：.M E+D M的最小值为D F的长，）为弧AC的中点,A Z A O D=Z C O D=6 0 ,在 RtZkOQF 中，sinZDOF=sin600=器=亭，T o:D F=OD=4V3,1.,aCM+DM的最小值为：4百，故选：A.5.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=，-2x+c的图象与x 轴交于A、C 两点，与 y轴交于点8(0,-3),若尸是x 轴上一动点，点 0(0,1)在 y 轴上，连接尸),则鱼尸O+PC的最小值是()L L 3 2/A.4 B.2+2V2 C.2V2 D.-+-V22 3解：过点P 作/V1_BC于 J,过点。

作H_L8c于 H.,二次函数y=/-2 x+c 的图象与y 轴交于点B(0,-3),c=-3,.二次函数的解析式为y=/-2 r-3,令 y=0,x1-2x-3=0,解得x=-1或 3,A(-1,0),C(3,0),：.OB=OC=3,NBOC=90,：.ZOBC=ZOCB=45,:D(0,1),A O D=,BD=4,:DH 上 BC,：.ZDHB=90,O”=BDsin450=272,:PUCB,：.ZPJC=90，：.PJ=PC,：.2PD+PC=2(PD+辱PC)=42(DP+PJ),:DP+PJNDH,：.DP+PJ2y/2,.OP+PJ的最小值为2&,：.y2PD+PC的最小值为4.故选：A.6.如图，在4BC 中，NA=90,ZB=60,AB=2,若是 8 C边上的动点，则 2AO+DC的最小值为6.解：如图所示，作点A关于BC的对称点A,连接A4,A D,过作E_LAC于E,A8C 中，ZBAC=90Q,ZB=60,AB=2,：.BH=,AH=V3,AA=2y3,Z C=30,1.国CQE 中，DE=/C D,即 2QE=C),：A与4关于BC对称，：.AD=AD,：.AD+DE=AD+DE,.当A,D,E在同一直线上时，AO+OE的最小值等于A E的长，/o此:时，RtZA4E 中，AE=sin60 X A 4=今 x2百=3,.AQ+OE的最小值为3,即2AD+CD的最小值为6,故答案为：6.A,7.如图，在ABC中，A8=5,AC=4,sinA=皆BQ_LAC交AC于点。

点P为线段2上的动点，则P C+|P B的 最 小 值 为 一解：过点P作于点E,过点C作于点”,BDLAC,A ZADB=90,V sin4=耳，AB=5,：.BD=4,由勾股定理得 40=7AB2 -BD2=V52-42=3,-7 Anr.A D PE 3-s in Z A B D=AB=BP=5f3:EP=BP,3,.PC+WPB=PC+PE,即点C、P、E三点共线时，P C+|pB最小，：.PC+PB的最小值为CH的长，1 1,*SMBC=2 x AC X BD=2 x AB x CH,4=120.(1)/A B C=75.(2)E 为 8边上的一个动点，B C=6,当AE+BE最小时BE=2企.L-：.AB=AC,：.NABD=NADB,9：ZBAD=120,，NABD=(180-120)+2=30,：OB=OC,OB IO C,NOBC=45,A ZABC=300+45=75,故答案为：75；(2)作 A 关于8 的对称点A,过 A 作 AG_LA8于 G,过点E 作 EF_L48于尸,V ZABO=30,乙 4330,1：.FE=专BE,1：.AE+BE=AE+FEAG9设 AG与 0 8 交于,BE即 为 当+最小时的8E,:BC=6,NO3c=45,A OB=OC=BCcos45=3也/小八八 OB 3/2/3 COS/A B F=前=7：.BA=2V6,V ZABA=60,AB=AB,为等边三角形，：.BG=聂4=V6,cosZA B O=诋 7 =诟；=-2,=2/.9.如图，已知菱形ABCD的周长为9V L 面积为1、/5,点 E 为对角线AC上动点，则/4E+BE解：连接BO交 AC于点。

过点E 作于点F,过点于点H,:菱 形A B C D的周长为9VLm=A B=竽，菱形A B 8 的面积为 千，即竽如=誓：.DH=2,.在 RtZ4OH 中，A H=JAD2-D H2=竽,.在 RtZiBOH 中，B=竽，.四边形ABC是菱形，：.O B=O D=*,BDVAC,：.在 RtAAOD 中，sin/ZMO=1,.在 RtZE4F 中，1 =3|JEF=aAE,1：.-AE+BE=EF +BE,31，当 8E+E尸最小时,4 E +BE最小，过点3 作于点尸，3尸为 3E+EF的最小值,QJ?9V2 9 企：AD BF=当,B|J.B F=,2 4 2：.BF=2,1,.,4七+8 9 的最小值为2.10.如图，菱形A3CQ中，NA8C=60,边长为3,尸是对角线3 Q 上的一个动点，则与P+PC2最小值是+3/3 .-2-解：如图，作于M,于”,四边形A8CO是菱形，1：.Z P B M=A B C =30,；PM=1 PB,1；.一 PB+PC=PC+PM,2根据垂线段最短可知，CP+PM的最小值为CH的长,在 中，C”=8C sin60 二 竽，1 日 口 3曲：.-BPrPC最小值是一，22故答案为:373211.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4的图象分别与)，轴和x 轴交于点4 和点B.若定点P 的坐标为(0,6b)，点。

是 y 轴上任意一点，贝 gpQ+Q 8的最小值为_5y3_.解：过点尸作直线尸与 y 轴的夹角NOPO=30,作 B 点关于y 轴的对称点片，过 9点作B E IP D 交于点E、交 轴于点Q,：BEPD,NOPE=30,：.QE=PQ,：BQ=BQ,1 1-PQ+QB=QE-BQ=BEf 止 匕 时5PQ+QB 取最小值，V ZOPD=30,/尸90,:.PD=2OD,NO尸=60,尸的坐标为(0,6V3),:.P O=6 3 2+(6V3)2=(20)2,0 0=6,直线y=-x+4的图象分别与y 轴和x 轴交于点A 和点8,A (0,4),B(4,0),O8=4,J 0 8=4,80=10,VBEIPD,NOOP=60,：.ZEBD=30,1：.DE=BD=5,:BE=ylBD2-DE2=V102-52=573,1-PQ+QB取最小值为5V3,故答案为：5 B.1 2.如图，二次函数y=-7+2 x+3的图象与x轴交于4、8两点，与），轴交于点C,对称轴与x轴交于点D,若 点 尸 为y轴上的一个动点，连 接P D,则 詈P C+P D的最小值为3 V1 051解：*.j，=-/+2 x+3=-（x -3）（x+1）=-（x -1）2+4,.,.当x=0时，y=3,当y=0时，x=3或x=l,该函数的对称轴是直线x=l,.二次函数y=-f+2 x+3的图象与x轴交于4、B两点，与y轴交于点C,对称轴与x轴交于点D,.,.点A的坐标为（-1,0）,点B的坐标为（3,0）,点C的坐标为（0,3）,点 力的坐标 为（1,0）,连接C D,作A E L C Q于点E,交y轴于点P,V O D=I,O C=3,Z CO D=90 ,:.CD=VTos i n OCD ,=M ,，/i o i o即 s i n/P CE=停:.PE=噜PC,.点4和点O关于点O对称，：.PE+PD的最小值就是A E的长，V Z E A D+Z E D A Z D C O+E D A=9 0Q,：.Z E A D=Z D C O,s i n z _ EAD一 0 ,.c o s/z _ E A.D 3 同 0 ,AD=2,.32义嚅手即 答P C+P D的最小值为x轴交于A (3,0)、B(-1,0)两点，与y轴交于点C(0,3),其顶点为点,连结A C.(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标;(2)在抛物线的对称轴上取一点E,点尸为抛物线上一动点,顶点、A C为边的四边形为平行四边形，求点尸的坐标;(3)在(2)的条件下，将点。

向下平移5个单位得到点M,使得以点4、C、E、F为点P为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值.解：(1).抛物线=0?+版+经过 4(3,0)、8 (-1,0),C (0,3),9Q+3匕 +c =0*.a Z?+c =0 ,c =3(a=-1解 得 b=2，c =3，抛物线的解析式为y=-/+2 x+3,V y=-(x-1)2+4,顶 点的 坐 标 为(1,4)；(2)设直线4 c的解析式为)=履+乩把A (3,0),C(0,3)代入，得 t+3k=-1F=3，直 线A C 的解析式为y=-户3,过 点 尸作/G JLO E于 点G,;以A,C,E,尸为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形，：.AC=EF,AC/EF,：OA/FG,：.ZO A C=ZG F E,：./O A C/G F E(A A S),：.OA=FG=3,设 尸小-irr+2m+3),则 G(l,-nr+2fn+3),：.F G=m-1|=3,，m=-2 或?=4,当 m=-2 时，-nr2m+。