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阿德利昂·玛利·埃·勒让德勒让德徐州师范学院 侯德润作者：侯德润 文章来源：中数网 点击数： 更新时间：2004-5-17 阿德利昂·玛利·埃·勒让德（Adrien-Marie Legendre公元1752年9月18日–1833年1月10日）为法国数学家，生於巴黎，卒於同地约1770年毕业於马扎林学院1775年任巴黎军事学院数学教授1782年以外弹道方面的论文《关於阻尼介质中的弹道研究》获柏林科学院奖金，1783年被选为巴黎科学院助理院士，两年后升为院士1787年成为伦敦皇家学会会员1795年当选为法兰西研究院常任院士1813年继任J.-L.拉格朗日在天文事务所的职位 勒让德主要从事数学分析、几何学、数论以及天体力学研究，并且建立了许多重要的定理，导致了一系列重要理论的诞生尤其是在数论和椭圆积分（Elliptic Integrals）方面，提出了对素数定理（Prime Number Theorem）和二次互反律（Quadratic Reciprocity）的猜测并发表了初等几何教科书勒让德是椭圆积分理论奠基人之一他的代表作有：《行星外形的研究》（1784），当中给出处理特殊函数的“勒让德多项式”，论述了该多项式的性质；《几何学基础》（1794），将几何理论算术化、代数化，详细讨论了平行公设问题，证明了圆周率π和π2的无理性，该书在欧洲用作权威教科书达一个世纪之久；1796年，猜想素数分布的规律，即後来的素数定理;《数论》（1798－1830），论述了二次互反律及其应用，给出连分数理论及素数个数的经验公式等，使他成为解析数论的先驱者之一；《椭圆函数论》，提出三类基本椭圆积分，证明每个椭圆积分可以表示为这三类积分的组合，并编制了详尽的椭圆积分数值表，还引用若干新符号，使他成为椭圆积分理论的奠基人之一。

他还研究了B函数和Γ函数，得到了Γ函数的倍量公式他陈述了最小二乘法，提出了关于二次变分的“勒让德条件”创立并发展了测地缐（大地测量）理论（1787），提出球面三角形的有关定理，还发表了关於彗星轨道的著作1805年独立发现高斯（Gauss）不久前使用过的最小二乘法原理等等1830年勒让德证明费马大定理 n=5的情况，但1828年狄利克雷已做了同样的工作 勒让德曾与拉格朗日（Lagrange）、拉普拉斯（Laplace）并列为法国数学界的“三L”，为18世纪末19世纪初法国数学家的復兴做出重要贡献，并曾担任众多的官方职务　　勒让德出身于一个富裕家庭，就读于巴黎的马扎林(Maza-rin)学院．他受过科学教育，特别是数学方面的高等教育．他的数学老师 J．F．M．阿贝(Abbè)是一个小有名气并且在宫庭中受到尊敬的数学家．1770年勒让德18岁时，就在阿贝的主持下通过了数学和物理方面的毕业论文答辩．他的经济条件足以使他全力以赴地从事科学研究工作．但尽管如此，他还是在1775年到1780年在巴黎的军事学校教过数学．他的研究工作受到科学界的注意，并在1782年获得柏林科学院的奖励．1783年3月30日，他取代 P．S．拉普拉斯(Laplace)作为一名力学副研究员被选进科学院，1785年被提升为合作院士．　　1787年，他被科学院指派担任巴黎和格林尼治天文台联合进行的大地测量工作，并参加了皇家学会．1790年前后，与一位19岁的姑娘玛格丽特·库塞(Marguerite Couhin)结婚．1791年4月13日，他被任命为一个三人委员会的委员，设置该委员会的目的是解决为确立标准米而进行的天文运算和三角测量问题．1793年科学院被查禁，他一度被迫隐居，由他的年轻妻子帮助他创造了一个安静的环境继续从事研究工作．他们一直没有子女．　　1794年，巴黎行政区的公众教育委员会任命勒让德为马拉(de Marat)专科学校的纯粹数学教授．不久该校解散，他又担任公众教育国家执行委员会第一办公室主任，领导处理度量衡、发明创造以及对科学工作者的奖励等事宜，不久成为该委员会的高级秘书．1799年，他继拉普拉斯之后在巴黎综合工科学校担任研究生答辩的数学主考人，1815年辞职，得到一笔3000法郎的养老金．1813年，J．L．拉格朗日(Lagrange)去世，由勒让德取代了他在经度局的位置，并在那里终其余生．　　勒让德在数学方面的贡献，首先表现在椭圆函数论．有许多理由足以说明他是椭圆函数论的奠基人．在他之前，C．麦克劳林(Maclaurin)和 J．R．达朗贝尔(d'Alembert)曾研究过可以用椭圆或双曲线的弧表示的积分．G．C．法尼亚诺(Fagnano)在1716年曾证明，对任意给定的椭圆或双曲线，可以用无穷多种方法指定两条弧，使得其差等于一个代数量．他还证明过，伯努利双纽线(x2+y2)2=a2(x2-y2)的弧能够像圆弧那样被代数地加以乘、除．这是椭圆积分简单应用的第一个说明．这一积分被勒让德记作F(x)，他认为用它可以决定所有其他的积分．从法尼亚诺的研究出发，L．欧拉(Euler)着手处理更一般的椭圆积分，并得出了现在称为第一类和第二类椭圆积分的加法定理．1768年，拉格朗日把欧拉的发现纳入通常的分析程序．1775年，J．兰登(Landen)又证明了双曲线的每一条弧能够用一个椭圆的两条弧来度量．1786年，勒让德出版了他的关于椭圆弧的积分的著作．其中第一部分是在他知道兰登的发现之前就已写出的．他避免应用双曲线的弧，而采用作一个适当构造的椭圆弧的表的办法来代替．他给出兰登定理的一个新的解释，并且用同一方法证明了每一个给定的椭圆是一个无限多的椭圆序列的一部分．求出两个任意选定的椭圆的周长，就可以求得所有其他椭圆的周长．有了这条定理，就有可能把一个给定椭圆的求长问题化成两个其他的和圆相差任意小的椭圆的求长问题．　　不过，这一课题及一般形式的超椭圆函数理论，需要更系统的处理．这正是勒让德在他的“关于椭圆超越性的论文”(Mémoire sur les transcendantes elliptiques，1793)一文中所提供的．他提出对这一类型的所有函数应进行比较，将其区别归类，把每一个变成可能的最简形式，并利用最容易、最快速的近似法对其求值，进而作为一个整体从理论上建立一个算法系统．　　勒让德后来的研究，从几个方面完成了这一理论．1809年，他发表了“各种不同定义的积分的研究”(Recherches sur diverses sortes d’intégrales difinies)一文，继续从事对欧拉积分(这一术语是勒让德给出的)，特别是对Г函数的研究．1811年，勒让德在《积分练习》(Exercices de 　　　第三类积分为　　其中η为参数．每一个椭圆积分可被表示为这三种超越类型的一个组合．　　　　　　　　定理指出：　　　(μ)可以被一个任意常数(整数或有理数)相乘．经过这样的研究，勒让德对三种类型的积分中的每一种都导出了许多结果．　　角．根据兰登定理，他建立了一种变换，后来称之为二次变换，即如果　　复使用这种变换，勒让德建立了椭圆函数表，于1817年公开发表．　　1826年，勒让德又出版了《椭圆函数论》(Traité des foncti-ons elliptiques)，在第二卷中列有9张这种表．最后一张表是函数F和E的时取10位小数，在45°至90°之间时取9位小数．他曾写信给 C．G．J．雅可比(Jacobi)，说他在无任何外力帮助的情况下致力于如此冗长而乏味的工作，但却乐此不疲，并认为这一工作的重要性完全可以和 H．布里格斯(Briggs)的对数表媲美．　　1827年，雅可比也开始研究椭圆函数．他写信把自己的和N．H．阿贝尔(Abel)的发现告诉给勒让德．面对年轻对手的挑战，勒让德的态度是非常热心和直率的．他在《椭圆函数论》第3卷的序言中赞扬了这位“柯尼斯堡的年轻几何学家”以及阿贝尔．后来又发表了《椭圆函数论》的3个附录．前两个主要介绍了雅可比的工作，也提到阿贝尔，其中包括椭圆函数和勒让德积分的反函数．勒让德以其惯有的略嫌冗长的模式讨论了将椭圆函数推广到复数域和双周期．附录三主要讨论阿贝尔的工作和他的大定理．1832年3月4日，勒让德总结他的工作说：“我们仅接触到这一课题的表面．可以预言它将随数学家的工作而日趋成熟，最终将构成超越函数分析中的一个最漂亮的部分．”　　数论是勒让德特别关注的第二个重要领域．早在1785年，他所发表的“不定分析的研究”(Recherches d’analyse indétermi-née)一文中即载有二次剩余互反律及其若干应用的一个说明，把数分解成三个平方数的理论的概述，还陈述了一条以后变得很有名的定理：“每一个首项和公比互素的算术级数中都含有无限多个素数．”1798年，他又发表了他的《数论随笔》(Essai sur la théoriedes nombres)一书的第一版．他在这本书里，用更系统和更彻底的方法处理了“不定分析的研究”中的那些论题．该书是18世纪数论学科的主要著作之一．第二版以《数论》(Théorie des nom-bres)为名于1808年出版．在这一版的引言中，勒让德提到要高度注意严密性，这一点是值得赞扬的．在这一版中，他利用和 P．de费马(Fermat)的无穷递减法有关的技巧证明了整数乘积的变换性．作为欧拉和拉格朗日的一个直接追随者，勒让德和他们一样，经常使用连分数的算法，用来解一阶不定方程，并用来证明费马方程x2-Ay2=1 恒有一个整数解．以后他又给第二版增加了两个附录(1816，1825)．第二个附录中含有方程x5+y5=z5不可能有整数解的一个漂亮的证明．接着就是对这条定理的更复杂情形的考察．该书第三版分成两卷，于1830年5月问世．第三版发展了第一版中的内容，并添上一些在很大程度上受到 C．F．高斯(Gauss)影响的新思想．这一版特别有价值．它和高斯的《算术研究》(Disquisitiones Arithmeticae，1801)一起同为这门学科中的标准著作．　　勒让德还追随拉格朗日研究过二次型，在某些方面得到了完善的结果．例如，他证明了每一个非8k+7型的奇数是三个平方数的和．在这一结果的基础上，A．L．柯西(Cauchy)在1812年针对多项式数的情形证明了费马定理．　　勒让德对数论的主要贡献是提出二次剩余的互反律．这是18世纪数论中最富于首创精神的可能引出最多成果的发现．1785年，他用一个冗长而不完善的说明提出这一定律．1801年，高斯对勒让德的陈述进行了批评，并宣称他是第一个能够严格叙述这一命题的人．1808年，勒让德采用了这位年轻的批评者所给出的证明．他发明了记号(p/q)，令其等于1或-1，以表示p是q的二次剩余或二次非剩余．在这种记号下，二次互反律说，如果p和q是不同的奇素数，那末(p/q)(q/p)=(-1)(p-1)(q-1)/4．　　1830年，他又把他认为是更好的雅可比的证明补充了进去．　　作为一个非常熟练的计算工作者，勒让德提出了有价值的数表．他编列了二次型的二次和一次的因子以及费马方程x2-Ay2=±1的最小解．后一张表出版于1798年，并在1808年用一种更简略的删节本形式重印．　　勒让德还是解析数论的先驱者．他在1798年提出了素数分布定律的初步形式，1808年又使其更加精确化，呈现为如下形式：如果y是小于纳法发现这一定律的．1793年，高斯由直觉看出了素数的渐近分布定律．但是，第一个明确给出这一条非凡定律的，还是勒让德．　　另一方面，勒让德早在1785年便说明了在每一个算术级数ax+b(此　　对数论研究开辟了一个十分广阔的园地之后，勒让德在1830年又试图阐述阿贝尔的关于方程代数解的概念．勒让德认为，他已令人信服地证明了对于高于四次的方程来说，求得一般的解是不可能的．他还对研究方程的数值解法表示过兴趣，特别是研究过根的分离和。