导数与函数的极值、最值-2025年高考数学备考复习.pdf

第三章一元函数的导数及其应用第3讲导数与函数的极值、最值课标要求命题点五年考情命题分析预测借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.导函数图象的应用该讲一直是高考的重点和难点.基本考法为求极值、最值，已知函数极值、最值求参数值(或范围)，难度中等；综合考法为通过研究函数的性质解决不等式、零点、极值点偏移等问题，更突出应用，难度偏大.预计2025年高考命题常规，在复习备考时，要会构造函数，进而通过研究新构造函数的性质，数形结合解决问题.利用导数研究函数的极值2023新高考卷IIT ll；2023新高考卷IIT22；2023全国卷乙T21；2022全国卷乙T16；2021全国卷乙T10；2021全国卷乙T20；2019全国卷IT20利用导数研究函数的最值2022新高考卷IT22；2022全国卷乙T11；2022全国卷甲T6；2021新高考卷IT15；2019全国卷niT20学生用书P0561.函数的极值极小值点和极大值点统称为极 值 点，极小值和极大值统称为极 值.条件f（X0）=0 xo附近的左侧尸(x)0,右侧尸(x)0X0附 近 的 左 侧/G)0)0图象二 .,A ,1极值f (x o)为极大值 f (xo)为极小值极值点X0为极大值点xo为 极小值点易错警示(1)极值点不是点，若函数/(X)在 X=X 1 时取得极大值，则X I 为极大值点，极大值为f(X 1).(2)极大值与极小值的大小没有必然关系，极小值可能比极大值大.(3)有极值的函数一定不是单调函数.(4)导数值为0的点不一定是函数的极值点.例如，f(x)=/,f(0)=0,但 x=0不是极值点.2.函数的最大(小)值如果在区间。

6 上函数y=/(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.辨析比较函数极值与最值的区别与联系极值最值区别(1)极值是个“局部”概念，只能在定义域内部取得；(2)在指定区间上极值可能不止一个，也可能一个都没有.(1)最值是个“整体”概念，可以在区间的端点处取得；(2)最值(最大值或最小值)最多有一个.联系(1)极值有可能成为最值，最值只要不在区间端点处必定是极值；(2)在区间，6 上图象是一条连续曲线的函数/(x)若有唯一的极值，则这个极值就是最值.1 .易错题 下列说法正确的是(C )A.函数的极大值比极小值大B.函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的C.函数的最大值不一定是极大值，极大值也不一定是最大值D/G o)=0是犹为可导函数y=/(x)的极值点的充分不必要条件解 析 对于A,由极大值与极小值的概念可知，函数的极大值不一定比极小值大；对于B,函数在某区间上或定义域内如果有最大值，则最大值是唯一的，但极大值不一定；对于 C,由极大值与最大值的概念可知C正确；对于D,在函数的极值点处/(x o)=0,但是 使/G o)=0成立的x o 未必是极值点，如当x o 为定义域的左右端点时/(x o)可以等于0,但此时x o 不是极值点.2 .设函数/G)的定义域为R,x o (x o N O)是/(x)的极大值点，则下列结论一定正确的是(D )A.V x G R,/(x)W/(x o)8.一犹是夕=/(一工)的极小值点C.一枇是(x)的极小值点 D.x o 是(x)的极小值点解析 极值是函数的一种局部性质，因此不能确定在整个定义域上/(X0)是否最大，故 A错误；因为函数y(x)与7=/(x)的图象关于y 轴对称，所以一X0是y=/(x)的极大值点，故 B 错误；因为函数/1(x)与y=/(X)的图象关于x 轴对称，所以祝是=/(x)的极小值点，而一xo是否为y=/(x)的极小值点不确定，故 C 错误；因为函数f (x)与=/(x)的图象关于原点对称，所以一xo是y=/(x)的极小值点，选项D 正确.3.2024辽宁省部分学校联考 函数/(x)=(2x+4)e在区间 1,+0,解得a 连 或 a。

学生用书P057命题点1导函数图象的应用例 1 (1)浙江高考 函数y=/(x)的导函数=/(x)的图象如图所示，则函数=/(x)的图象可能是(D)C D解 析 根据题意，已知导函数的图象与x 轴有三个交点，且每个交点的两边导函数值的符号相反，因此函数/(X)在这些零点处取得极值，根据/1(X)有两个极小值和一个极大值可排除A,C；记 导 函 数/(X)的零点从左到右分别为XI,X2,X 3,又在(一8,XI)上f(X)0,所以函数/(X)在(-8,X1)上单调递减，在(XI,X2)上单调递增，由X20排除B.故选D.(2)多选/2024陕西省汉中市联考 设/(X)是函数/(X)的导函数，y=f (x)的图象如图所示，则下列说法正确的是(BC),A.函数一定有三个零点 It r,自：B.函数一定有三个极值点C.函数有最小值D.函数图象一定经过坐标原点解析 易知函数/(x)在(-8,o),(1,2)上单调递减，在(0,1),(2,+)上单调递增，所以函数/(x)一定有三个极值点0,1,2,B正确；函数/(x)有最小值，为7(0),/(2)中的较小者，C正确；函数/(x)的图象可能都在x 轴上方，其零点个数可能是0,A错误；函数/(x)的图象不一定过原点，D错误.故选B C.方法技巧根据函数图象判断极值的方法(1)由的图象与x轴的交点，可得函数y=/(x)的可能极值点.(2)由y=，(x)的图象可以看出了=/(x)的值的正负，从而可得函数y=/(x)的单调性，进而求得极值(点).注意要看清楚所给图象是原函数的图象还是导函数的图象.训 练 1 多选 已知函数=/(x)的 导 函 数=尸(x)的、图象如图所示，则下列结论正确的是(A B )匚/A/(a)f f(c)/T /B/(e)/(J)/(c)丫 j d/3 F o ;AC彳=0；当x e(c,e)时，f(x)0.所以/(x)在(-8,c),(e,+)上单调递增，在(c,e)上单调递减.对于A,因为a b c,所以/(a)/(6)/(c),A正确；对于B,因为c d e,所以/(e)/(d)e 时，可能存在了(x o)/(c),C错误；对于D,由单调性知/(e)0,解得x l,令/(x)0,解得一2 X 0 B.ab0C.b2-Sac0 D.QCVO解析 因为函数/(%)=q l n x+g+g (q W O),所以函数/(x)的定义域为(0,+),/(%)因为函数/(x)既有极大值也有极小值，所以关于x的方程(0,(b2+8 ac0,Q/b x 2 c=0 有两个不等的正实根X l,X 2,贝 可 1%1+%2 。

即 卜 I 名 0,I ab2+8 ac 0,a b 0?故 B，C,D 正确.因为仍 0,ac 09所以b cV O,A 错误，故选B C Dac 3 即 可).解析 由题意得，f(x)=(x 3)2+(x a)X 2 (x 3)=(x 3)(x 3+2 x 2Q)=(x 3)(3 x 2a3),令/(x)=0,解得 x=3 或=臂士当 警 3,即 a 3 时，f(x)在(-8,3)上单调递增，在(3,等)上 单 调 递 减，所以/(x)在 =3 时取极大值.所以q 3,可取4,故答案为4 (答案不唯一，满足 3即 可).方法技巧已知函数极值点或极值求参数的两个要领列式根据极值以及极值点处导数为0 列 方 程(组)，利用待定系数法求解.验证因为/，(犹)=0 不是X0为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.注意 若函数y=f(x)在 区 间(a,b)上存在极值点，则y=/(x)在(,6)上不是单调函数，即函数y=(x)在 区 间(a,b)内存在变号零点.训练2(1)多选 曲线/(x)=a(x+1)e在 点(-1,/(-I)处的切线方程为=-x+b,则下列说法正确的是(AC)eA.a=l,b=-B.f(x)的极大值为当C.f(x)的极小值为一点 D.f(x)不存在极值解 析 依题意，f (x)=aex+a(x+1)ex=C ax+la)巴 fr(-1)=6ze-1=|,解得 a=1,所以/(x)=(x+1)e,f (x)=(x+2)廿.又/(一1)=0,所以:义(1)+b=0,所以 故 A 正确.令/G)=0,解得=2,当、(一8,-2)时，fr(%)0,函数/(x)在(-2,+)上单调递增.所以当x=2 时，函数/(%)取极小值，即/(一2)=一 /(x)的极大值不存在，故 B,D 错误，C 正确.故选AC.(2)已知函数/(%)=X 3+2+队+次 在 =i 处有极值I。

则 4=4,b=-11.解 析/(x)=3N+2ax+6.由题意，得/=0，即+3=0,解得1/(1)=10,a2+a+b+1=10,或 卜 一 当 a=4,b 11 时，f (x)3x2+8x11=(3x+11)(xU=-l l 5 =3.1),在 X=1附近的左右两侧，/，(X)异号，此时函数/(X)在 X=1处有极值；当4=3,6=3 时，ff(x)=3/6X+3=3(%1)2,在 x=l 附近的左右两侧，恒有/G)0,不变号，此时函数/(%)在 =1 处无极值.综上，Q=4,6=-11.命题点3利用导数研究函数的最值角 度 1求函数的最值例 4 2022全国卷乙 函数/(x)=cosx+(x+1)sinx+1在区间 0,2扪的最小值、最大值分别为(D)c.-,-+2 D.-,-+22 2 2 2解析 由 /(x)=cos x+(x+1)sinx+1,0,2K,得/(x)=_ sinx+sinx+(x+1)cosx=(x+1)cos x.令/(x)=0,解得x=-1 (舍 去)或 或 x=多.因为7 0)=co 吟+(=+1)s i n=+l=2+p /(y)=CO Sy+(y +1)s i n y+1=-y,又f(0)=co s 0+(0+1)s i n 0+1=2,/(2 兀)=co s 2 兀 +(2 兀+1)s i n 2K+1=2,所以/(x)m ax=/0)=2+p f(X)m i n=/号)=一手故选 D.方法技巧求函数/(x)在 Q,加上的最值的方法(1)若函数/(X)在区间。

6 上单调递增(递减)，则/(Q)为 最 小(大)值，/(b)为 最 大(小)值；(2)若函数/(X)在 区 间(Q,b)内有极值，则要先求出函数在(6)内的极值，再与/()，/(6)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；(3)函数/(x)在 区 间(a,b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.角度2 已知函数的最值求参数例 5 全国卷H I 已知函数f(x)=2x3-ax2-b.(1)讨论/(x)的单调性.(2)是否存在，b,使得/G)在区间 0,1 上的最小值为一1 且最大值为1?若存在，求出，6的所有值；若不存在，说明理由.解析(1)对 f(%)=2 x3q N+b 求导，得/(x)=6 x22ax=2x(3 x).令/(x)=0,得 x=0 或若0,则当 工 (8,0)U +8)时，/(工)0；当工 (0,学 时，/(x)V 0.故/(x)在(-8,0)和(1,+)上单调递增，在(0,p上单调递减.若0,则/(x)在 R 上单调递增.若0；当工 0)时，/(x)V O.故/(%)在(一 8,1)和(o,+)上单调递增，在 0,0)上单调递减.(2)满足题设条件的Q,b 存在.(i)当a 0时，由(1)知，/(x)在 0,1 上单调递增，所以/(%)在区间 0,1 上的最小值为/(0)=b,最大值为/(I)=2 a+b,所以 b=1,2a+b=l,则 a=0,b=1,与QVO矛盾，所以QVO不存在.(i i)当a=0时，由(1)知，/(x)在 0,1 上单调递增，所以由/(0)=-1,f(1)=1 得 q=0,b=-l。