相遇问题应用题.doc

相遇问题　　我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题.　　在对小学数学的学习中，我们已经接触过某些简朴的行程应用题，并且已经理解到：上述三个量之间存在这样的基本关系：路程＝速度×时间.因此，在这一讲中，我们将在前面学习的基本上，重要来研究行程问题中较为复杂的一类问题——反向运动问题，也即在同一道路上的两个运动物体作方向相反的运动的问题.它又涉及相遇问题和相背问题.所谓相遇问题，指的就是上述两个物体以不同的点作为起点作相向运动的问题；所谓相背问题，指的就是这两个运动物体以同一点作为起点作背向运动的问题，下面，我们来具体看几种例子.例1 甲、乙二人分别从相距30千米的两地同步出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，问：二人几小时后相遇？　　分析 出发时甲、乙二人相距30千米，后来两人的距离每小时都缩短6＋4＝10（千米），即两人的速度的和（简称速度和），因此30千米里有几种10千米就是几小时相遇.　　解：30÷（6＋4）　　＝30÷10　　＝3（小时）　　答：3小时后两人相遇.　　例1是一种典型的相遇问题.在相遇问题中有这样一种基本数量关系：　　路程＝速度和×时间. 例2 一列货车上午6时从甲地开往乙地，平均每小时行45千米，一列客车从乙地开往甲地，平均每小时比货车快15千米，已知客车比货车迟发2小时，中午12时两车同步通过途中某站，然后仍继续迈进，问：当客车达到甲地时，货车离乙地尚有多少千米？　　分析 货车每小时行45千米，客车每小时比货车快15千米，因此，客车速度为每小时（45＋15）千米；中午12点两车相遇时，货车已行了（12—6）小时，而客车已行（12—6－2）小时，这样就可求出甲、乙两地之间的路程.最后，再来求当客车行完全程达到甲地时，货车离乙地的距离.　　解：①甲、乙两地之间的距离是：　　 45×（12—6）＋（45＋15）×（12—6—2）　　＝45×6＋60×4　　＝510（千米）.　　②客车行完全程所需的时间是：　　 510÷（45＋15）　　＝510÷60　　＝8.5（小时）.　　③客车到甲地时，货车离乙地的距离：　　 510—45×（8.5＋2）　　＝510－472.5　　＝37.5（千米）.　　答：客车到甲地时，货车离乙地尚有37.5千米.例3 两列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米.两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头通过她的车窗时开始到乙车车尾通过她的车窗共用了14秒，求乙车的车长.　　分析 一方面应统一单位：甲车的速度是每秒钟36000÷3600＝10（米），乙车的速度是每秒钟54000÷3600＝15（米）.本题中，甲车的运动事实上可以看作是甲车乘客以每秒钟10米的速度在运动，乙车的运动则可以看作是乙车车头的运动，因此，我们只需研究下面这样一种运动过程即可：从乙车车头通过甲车乘客的车窗这一时刻起，乙车车头和甲车乘客开始作反向运动14秒，每一秒钟，乙车车头与甲车乘客之间的距离都增大（10＋15）米，因此，14秒结束时，车头与乘客之间的距离为（10＋15）×14＝350（米）.又由于甲车乘客最后看到的是乙车车尾，因此，乙车车头与甲车乘客在这段时间内所走的路程之和应恰等于乙车车身的长度，即：乙车车长就等于甲、乙两车在14秒内所走的路程之和.　　解：（10＋15）×14　　 ＝350（米）　　答：乙车的车长为350米.　　我们也可以把例3称为一种相背运动问题，对于相背问题而言，相遇问题中的基本关系仍然成立.例4 甲、乙两车同步从A、B两地出发相向而行，两车在离B地64千米处第一次相遇.相遇后两车仍以原速继续行驶，并且在达到对方出发点后，立即沿原路返回，途中两车在距A地48千米处第二次相遇，问两次相遇点相距多少千米？　　　　　分析 甲、乙两车共同走完一种AB全程时，乙车走了64千米，从上图可以看出：它们到第二次相遇时共走了3个AB全程，因此，我们可以理解为乙车共走了3个64千米，再由上图可知：减去一种48千米后，正好等于一种AB全程.　　解：①AB间的距离是　　 64×3－48　　＝192－48　　＝144（千米）.　　②两次相遇点的距离为　　 144—48－64　　＝32（千米）.　　答：两次相遇点的距离为32千米.例5 甲、乙二人从相距100千米的A、B两地同步出发相向而行，甲骑车，乙步行，在行走过程中，甲的车发生故障，修车用了1小时.在出发4小时后，甲、乙二人相遇，又已知甲的速度为乙的2倍，且相遇时甲的车已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少？　　分析 甲的速度为乙的2倍，因此，乙走4小时的路，甲只要2小时就可以了，因此，甲走100千米所需的时间为（4—1＋4÷2）＝5小时.这样就可求出甲的速度.　　解：甲的速度为：　　100÷（4－1＋4÷2）　　＝10O÷5＝20（千米/小时）.　　乙的速度为：20÷2＝10（千米/小时）.　　答：甲的速度为20千米/小时，乙的速度为10千米/小时.例6 某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车与另一列长150米.时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？　　分析 解此类应用题，一方面应明确几种概念：列车通过隧道指的是从车头进入隧道算起到车尾离开隧道为止.因此，这个过程中列车所走的路程等于车长加隧道长；两车相遇，错车而过指的是从两个列车的车头相遇算起到她们的车尾分开为止，这个过程事实上是一种以车头的相遇点为起点的相背运动问题，这两个列车在这段时间里所走的路程之和就等于她们的车长之和.因此，错车时间就等于车长之和除以速度之和.　　列车通过250米的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，因此列车行驶的路程为（250—210）米时，所用的时间为（25—23）秒.由此可求得列车的车速为（250—210）÷（25—23）＝20（米/秒）.再根据前面的分析可知：列车在25秒内所走的路程等于隧道长加上车长，因此，这个列车的车长为20×25—250＝250（米），从而可求出错车时间.　　解：根据另一种列车每小时走72千米，因此，它的速度为：　　7÷3600＝20（米/秒），　　某列车的速度为：　　（25O－210）÷（25－23）＝40÷2＝20（米/秒）　　某列车的车长为：　　20×25-250＝500-250＝250（米），　　两列车的错车时间为：　　（250＋150）÷（20＋20）＝400÷40＝10（秒）.　　答：错车时间为10秒.例7 甲、乙、丙三辆车同步从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为每小时60千米和48千米，有一辆迎面开来的卡车分别在它们出发后的5小时.6小时，8小时先后与甲、乙、丙三辆车相遇，求丙车的速度.　　分析 甲车每小时比乙车快60-48＝12（千米）.则5小时后，甲比乙多走的路程为12×5＝60（千米）.也即在卡车与甲相遇时，卡车与乙的距离为60千米，又由于卡车与乙在卡车与甲相遇的6-5＝1小时后相遇，因此，可求出卡车的速度为60÷1-48＝12（千米/小时）　　卡车在与甲相遇后，再走8-5＝3（小时）才干与丙相遇，而此时丙已走了8个小时，因此，卡车3小时所走的路程与丙8小时所走的路程之和就等于甲5小时所走的路程.由此，丙的速度也可求得，应为：　　（60×5-12×3）÷8＝33（千米/小时）.　　解：卡车的速度：　　（60-48）×5÷（6－5）－48＝12（千米/小时），　　丙车的速度：　　（60×5－12×3）÷8＝33（千米/小时），　　答：丙车的速度为每小时33千米.　　注：在本讲中浮现的“米/秒”、“千米/小时”等都是速度单位，如5米/秒表达为每秒钟走5米.习题六　　1.甲、乙两车分别从相距240千米的A、B两城同步出发，相向而行，已知甲车达到B城需4小时，乙车达到A城需6小时，问：两车出发后多长时间相遇？　　2.东、西镇相距45千米，甲、乙二人分别从两镇同步出发相向而行，甲比乙每小时多行1千米，5小时后两人相遇，问两人的速度各是多少？　　3.甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同步出发，相向而行，她们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续迈进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.　　4.甲、乙二人从相距100千米的A、B两地出发相向而行，甲先出发1小时.她们二人在乙出后的4小时相遇，又已知甲比乙每小时快2千米，求甲、乙二人的速度.　　5.一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢车的车长为385米，坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒，那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少？　　6.迈进钢铁厂用两辆汽车从距工厂90千米的矿山运矿石，既有甲、乙两辆汽车，甲车自矿山，乙车自钢铁厂同步出发相向而行，速度分别为每小时40千米和50千米，达到目的地后立即返回，如此反复运营多次，如果不计装卸时间，且两车不作任何停留，则两车在第三次相遇时，距矿山多少千米？习题六解答　　1.解：240÷（240÷4＋240÷6）＝2.4（小时）.　　 2.解：①甲、乙的速度和45÷5＝9（千米/小时）.　　②甲的速度：（9＋1）÷2＝5（千米/小时）.　　③乙的速度：9—5＝4（千米/小时）.　　 3.解：①A、B两地间的距离：　　 4×3—3＝9（千米）.　　②两次相遇点的距离：9－4－3＝2（千米）.　　 4.解：①乙的速度为：　　［100—2×（4＋1）］÷（4×2＋1）＝10（千米/小时）.　　②甲的速度为：10＋2＝12（千米/小时）.　　 提示：甲比乙每小时快2千米，则（4＋1）小时快2×（4＋1）＝10（千米），因此，相称于乙走100—10＝90千米的路需（4×2＋1）＝9（小时）.　　5.解：280÷（385÷11）＝8（秒）.　　提示：在这个过程中，对方的车长＝两列车的速度和×驶过的时间.而速度和不变.　　6.解：①第三次相遇时两车的路程和为：　　90＋90×2＋90×2＝450（千米）.　　②第三次相遇时，两车所用的时间：　　 450÷（40＋50）＝5（小时）.　　③距矿山的距离为：40×5—2×90＝20（千米）.四年级下 第七讲 行程问题　　在本讲中，我们研究两个运动物体作方向相似的运动时，路程、速度、时间这三个基本量之间有什么样的关系.例1 下午放学时，弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后，哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后，通过几分钟可以追上弟弟？（假定从学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家）.分析 若通过5分钟，弟弟已到了A地，此时弟弟已走了40×5=200（米）；哥哥每分钟比弟弟多走20米，几分钟可以追上这200米呢？解： 40×5÷（60-40）　　=200÷20　　=10（分钟）　　答：哥哥10分钟可以追上弟弟.　　我们把类似例1这样的题，称之为追及问题.如果我们把开始时刻前后两物体（或人）的距离称为路程差（如例1中的200米），从开始时刻到后者追上前者路程差这一段路程所用的时间称为追及时间，则从例1容易看出：追及问题存在这样的基本关系：　　路程差=速度差×追及时间.　　如果已知其中的两个量，那么根据上式就很容易求出第三个量.例2 甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙；若甲让乙先跑2秒钟，则甲跑4秒钟就能追上乙.问：甲、乙二人的速度各是多少？分析 若甲让乙先跑10米，则10米就是甲、乙二人的路程差，5秒就是追及时间，据此可求出她们的速度差为。