13北京版小五奥数教材课程十三、完全平方数.doc

课程十三 完全平方数学习目标1.完全平方数的基本概念2.完全平方数的性质3.判断完全平方数的方法重 点一个自然数自乘所得的积称为完全平方数，100以内的完全平方数（又称平方数）是0、1、22=4、33=9、44=16、55=25、66=36、77=49、88=64、99=81共10个平方数有一些特别的性质，可以解决一些有趣的问题：少年宫游戏厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，闪烁不停这200个灯泡按1～200编号，它们每过1秒变化一下自己的明暗状态开始时，全部灯泡是暗的第1秒，全部灯泡是亮着的；第2秒，凡编号为2的倍数的灯泡改变自己的明暗状态，即变暗；第3秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变自己的明暗状态：明的变暗，暗的变明，……，依此类推，第n秒钟，凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的明暗状态，每200秒钟为一周期，即到201秒时，全部灯泡大放光明，然后继续上述规则改变原来的状态问：第200秒时，明亮的灯泡有多少？事实上，每个灯泡如果明暗改变次数为偶数次时，它还保持原来的明暗状态；如果变化次数为奇数次时，则明暗状态发生改变，原来明亮的灯泡将变暗，原来不亮的灯泡将变明亮。

由于平方数的不同约数个数为奇数，从第2秒开始（此时，偶数编号灯泡变暗，奇数编号灯泡是亮的）起到200秒止，中间的平方数有4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196，在这些秒时，同样编号的灯泡由暗变明，加上1号灯泡始终是亮的，共14个灯泡是亮的总 结完全平方数具有下列性质性质1：任何一个完全平方数的个位数字只能是0、1、4、5、6、9性质2：个位数字是2、3、7、8的数一定不是完全平方数性质3：奇数平方的十位数字必为偶数性质4：个位数字十位数字均为奇数的数一定不是完全平方数性质5：完全平方数被2或3或4除的余数是0或1性质6：完全平方数被8除的余数为0或1或4性质7：在相邻两个完全平方数之间的数一定不是完全平方数2.判断完全平方数的方法（1）完全平方数个位数字是奇数时，其十位上的数字必为偶数2）完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数3）凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数4）末尾只有奇数个0的自然数不是完全平方数5）个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数6）任何偶数的平方一定能被4整除7）任何奇数的平方被4（或8）除余1，即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

8）一个完全平方数被3除的余数是0或1即被3除余2的数一定不是完全平方数 例1从1～1989的自然数中，完全平方数共有______个 分析与解法442=1936<1989<452=2025，所以，从1～1989的自然数中，完全平方数有44个 例246035乘以一个自然数a，是一个平方数，a最小是多少？ 分析与解法首先对46035分析质因数，化为标准式46035=3351131 （1） 为使a最小，只需令a是由46035的质因数标准分解式中质因数的幂为奇数的那些因数作为因数来组成即可，由（1）可知a=351131=5115 例3能不能找到一个自然数n，使得n和n+2008都是完全平方数 分析与解法假如能找到，则可设n+2008=a2，n=b2（a>b） 我们引入公式 a2-b2=（a+b）（a-b） （1）则有 a2-b2=2008=222251 （2）由（1）、（2）得（a+b）（a-b）=222251 （3）我们知道（a+b）、（a-b）有相同的奇偶性，且因（a+b）（a-b）=2008知，（a+b）、（a-b）均为偶数，故可将（3）式变形为（a+b）（a-b）=21004=4502=8251 得到三种情况a+b=1004①a-b=2a+b=502②a-b=4a+b=251③ （舍去）a-b=8分别得到b=501或b=249于是有两个解（1）n=b2=5012，n+2008=5032（2）n==b2=2492，n+2008=2532 例4求同时满足下列条件的自然数a、b：①a>b；②=132； ③a+b是平方数。

分析与解法由②知 ab=169（a+b） 即 a（b-169）=169b （1）设 a、b的最大公约数为d则 a=a1d，b=b1d （2）其中a1、b1互质，并且a1>b1，将（2）代入（1）消去d得a1（b-169）=169b1 （3）同样，由ab=169（a+b）可得 b（a-169）=169a进而 b1（a-169）=169a1 （4）由（3）、（4）知，a1、b1都整除169又因a1、b1互质，所以，b1=1，a1=13或169，b=d当a1=13时，由（3）得d-169=13，d=13+169=1314，a=13214，b=1314，a+b不是平方数当a1=169时，d-169=1，d=170，a=169170，b=170，a+b=1702，所以a=169170，b=170 例5自然数的平方按大小排成1，4，9，16，25，36，49，…问第612个位置的数是几？ 分析与解法1～3的平方是一位数，占去3个位置；4～9的平方是二位数，占去62=12个位置；10～31的平方是三位数，占去223=33个位置；32～99的平方是四位数，占去684=272个位置。

将1到99的平方排成一行，共占去3+12+33+272=353个位置，从612减去353还有259个位置259=515+4从100起到150，共51个数，它们的平方都是五位数，要占去259个位置中的255个，还余4个位置，151151=22801，从左到右第4个位置上是0. 例6一个大于0的整数A加上一个大于1的整数B后是一个完全平方数，A加B的平方后仍是一个完全平方数，当满足条件的B最小时，A是______ 分析与解法由条件列出式子：A+B=n2，A+B2=m2因此有 B2-B=m2-n2即： B（B-1）=（m+n）（m-n） （1）（1）式左边为两个连续自然数的积，因此为偶数，从而m+n，m-n均为偶数，则（m+n）（m-n）是4的倍数，所以 B（B-1）也是4的倍数，为使B尽量小，令B=4，从而B-1=3，所以12=（m-n）（m+n）=26解得： n=2，m=4由A+B=n2（即A+4=22）得 A=0.不合题意 再令B-1=4，B=5，所以20=（m-n）（m+n）=210，m-n=2，m+n=10解得： n=4，m=6，由A+5=42 ，A+52=62得 A=11。

例7下式中每个汉字表示1～9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知热2+爱2+小2=学2+奥2+数2那么，学+奥+数=___________ 分析与解法1～9的平方分别是1，4，9，16，25，36，49，64，81热2+爱2+小2=学2+奥2+数2有两种可能：16+9+64=4+49+36 （1）81+4+16=1+64+36 （2）无论哪种情况三数之和均等于154+3+8=2+7+6=9+2+4=1+8+6=15 例8请你说明1+12+123+1234+12345+…+123…2007是不是完全平方数 分析与解法如果直接去计算此数，再判断是不是平方数，立即遇到两个很难克服的困难：计算量太大，判断大数是否是平方数更难这时，通常的办法先作一些“尝试”，帮助我们打开思路，为了叙述方便，先将问题一般化，即判断1+12+123+…+123…n（n为整数）是否是平方数，我们用“√”表示是平方数：“”表示不是平方数 （1）（1）n=1时，只有1项1 √（2）n=2时，1+12=3 （3）n=3时，3+123=9 √（4）n=4时，9+1234=33 （5）n=5时，33+12345=153 （6）n=6时，153+123456=873 ……上述尝试给我们的印象是，当n很小时，有平方数为1、9，但当n变得很大时，得到平方数的可能性很小，而本题n=2007是一个相当大的数，因此，我们首先倾向确定本题的结论为不是平方数。

为此，首先考虑平方数除以某数的余数问题，这就是一个很有限的而易于回答的问题，特别，考虑一般平方数的余数等价于考虑数字0～9的平方数的余数，0～9的平方为：0、1、4、9、16、25、36、49、64、81 …… （2）下面我们依次用2、3、4、5、…去除（2）中的10个数，求它们的余数，利用上面的结果，我们从n=5时开始，上面已说明，本题在n=5时不是平方数，那么，这个成果是否能用来获得原题的确切结论呢？首先，看平方数被5除的余数是什么，用5去除（2）中的10个数得的余数为0、1、4再用5去除原题：1+12+123+1234+12345+123456＋…＋123…2007由于从第5项开始，每项中都有因数5，故这些项余数为0，因此只要看前4项1+12+123+1234=33除以5的余数，它是3，而平方数除以5的余数只能为0、1、4，所以原题不是平方数练 习 1. 在324、897、211、247、546中，哪些数是完全平方数2. 203500乘一个自然数a，是一个平方数，a最小是多少？3. 能不能找到一个自然数n，使得n与n+2004都是平方数4. 一个四位数的数码都是非零的偶数，它又恰是某个偶数字组成的数的平方，则这个四位数是_______.5. 有一个自然数，它与168的和恰好等于某个数的平方；它与100的和恰好等于另一个数的平方，这个数是_______.6. 12345654321是否是平方数？练习答案 1.182=3242.20353.能，n=5002，n=16424.4624=6825.1566.是。