奇偶性-2022-2023学年高一数学考点讲解练（人教A版2019必修第一册）（解析版）公开课教学设计课件资料.pdf

3.2.2 奇偶性0知识归纳函数的奇偶性奇偶性偶函数奇函数条件设函数/X)的定义域为/,如果%口/,都有一%/结论=网/(x)=一/(x)图象特点关于谢 对 称关于原点对称?思考具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？【提示】定义域关于原点对称.Q考点讲解考 点1:函数奇偶性的判断 例1 (2 0 2 1全国高一课时练习)判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=2 x4+3x2；(2)/(x)=x2-2x.(3)/(x)=x2+l ；(4)=厂+1【答窠】(1)偶函数；(2)非奇非偶函数.(3)偶函数：(4)奇函数【解析】(1)函数 力=2/+3/的定义域为R,/(-X)=2(-x)4+3(-x)?=2 x4+3x2=/(),所以，函数 f(x)为偶函数;(2)函数/(力=/-2%的定义域为R,/(-X)=(-X)2-2(-X)=X2+2X,则/(-A)*f(x)且 一x),所以，函数/(X)为非奇非偶函数.(3)定义域为凡 v f(-x)=(-x)2+1 =+1 =/(x),+1为偶函数.(4)定义域为凡匕 缶=合=一/(幻，/*）=0 7为奇函数.x+【方法技巧】L定义法：判断函数奇偶性的两种方法2.图象法:【变式训练】1 .下列函数中，是偶函数的有.（填序号）肥）=3；q/（x）=k|+l；口/）=己；q/x）=x+*/（x）=x2,X D 1,2 .【答案】【解析】对于口，火 一.丫）=一/=一 危），贝J为奇函数；对于,人一刈=|一%|+1=网+1,则为偶函数；对于口，定义域为“冲0 ,关于原点对称，/（一劝=与=己=/（幻，则为偶函数;对于,定义域为X-0 ,关于原点对称，火一%）=x（=一/），则为奇函数：对于口，定义域为-1,2 ,不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数.2 .判断下列函数的奇偶性：（1）,心）=/+r （2）/）=4 _/+正_1；X 1 x 0.【解析】（1）函数的定义域为R,关于原点对称.又火一幻=（一 工）3 +（一）=_（/+彳）=一 外）,因此函数/（X）是奇函数.1 x2 0,(2)由 得 x 2=l,即x=L因 此 函 数 的 定 义 域 为 关 于 原 点 对 称.又/U)=A 1)=一 火-1)=0,所以应。

既是奇函数又是偶函数.(3)函数及)的定义域是(一8,-1)(-1,+o o),不关于原点对称，所以.危)既不是奇函数也不是偶函数.(4)函数外)的定义域为R,关于原点对称.-x-1,-x 0 y(x)=0,(x+1),x 0,艮 4)=0,x=0,(x 1),x 0.于是有人-x)=J(x).所以加)为奇函数.3.(2 0 2 1 江苏高一期末)(多选)下列说法正确的是()A.若定义在R上的函数/(“满足/(1)=/(1),则/(可 是偶函数B.若定义在R上的函数/(“满足则/(6不是偶函数C.若定义在R上的函数“X)满足则“X)在 R上是增函数D.若定义在R上的函数“X)满足则“X)在 R上不是减函数【答案】B D【解析】对于A 选项，取函数“力=1 任一1),则=函数力的定义域为R，/(-x)=-x(x2-l)=-/(x),此时，函数/(力为奇函数，A 选项错误:对于B选项，若函数“X)为定义在R上的偶函数，对任意的xcR，必有 r)=/(x),因为 T)工”1)，所以，“力不是偶函数，B选项正确；对于 C 选项，取函数 f(x)=f+x,则=4 1)=2,/(-1)0【变式训练】（变条件）将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题.【解析】（1）如图所示（2）由（1）可知，使函数值尸0的 x的取值集合为（一5,-2）0（2,5）.【方法技巧】巧用奇、偶函数的图象求解问题L依据：奇函数图象关于原点对称.偶函数图象关于y 轴对称.2.求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.【变式训练】1.如 图 是 函 数 在 区 间 0,+8）上的图象，请据此在该坐标系中补全函数危）在定义域内的图象,请说明你的作图依据.y1 1 1 1 1 1 1 1 1?-t-t-t j【解析】因为大x）=*y所以4）的定义域为R.又对任意x E JR,都有人一%）=(-x)2+l f+1=袋),1所以心0 为偶函数.所以4r）的图象关于y轴对称，其图象如图所示.2.定义在-3,-1 1,3 上的函数人x）是奇函数，其部分图象如图所示.y*-3-2-1 0 1 2 33）请在坐标系中补全函数.火功的图象；比 较 火 1）与火3）的大小.【解析】（1）由于儿丫）是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示.观察图象，知人3）守（1）.考点3：利用函数的奇偶性求值探究问题1.对于定义域内的任意x,若火一%）+九0=0,则函数./（x）是否具有奇偶性？若人一口一儿丫）=0呢?【解析】由人%）+以）=0得人一冷=一左），儿，）为奇函数.由火一幻一/(%)=0得./(-x)=/(x)，U/(x)为偶函数.2.若x)是奇函数且在x=0处有定义，则40)的值可求吗？若/)为偶函数呢？【解析】若)为奇函数，则0)=0：若左)为偶函数，无法求出义0)的值.【例3】(1)若函数人工)=打2+灰+3。

6是偶函数，定义域为口一 1,2 0，则b=；1 2)已知於)=N川+以+2,若人一3)=3,则次3)=.【答案】(1)1 0 (2)7【解析】(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以1 =一2,解得g.又函数x)=+b x+b+l为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得5=0.令 时)=/一/+川+炉，则g(x)是奇函数，4 3)=兼-3)+2=一跃3)+2,又大-3)=3,以3)=5.又人3)=茉3)+2,所以4 3)=5+2=7.【方法技巧】利庄奇偶性求参数的常见类型及策略L定义域含参数：奇、偶函数人r)的定义域为 a,b,根据定义域关于原点对称，利用+6=0求参数.2.解析式含参数：根据火-x)=-/(x)或人一好寸刈列式，比较系数即可求解.【变式训练】1.(2 0 2 1上海市川沙中学高一期末)若函数/(x)=(x 2)(x+7)为偶函数，则m=.【答案】2【解析】f(x)=(x-2)(x+m)=x1+(m-2)x-2in因为函数/a)=(x-2)(x+，)为偶函数，所以怙2=0,解得加=2.也可用/1=-1),解出m=2.故答案为:22 .若/(x)=(x+a)(x 4)为偶函数，则实数。

答案】4【解析】法一：-)=(工+4)=/+(a 4)x 4a,/(x)=(x+a)(x 4)=/一(白 一4)x 4a,两式恒相等，则a 4=0,即4=4.法二：儿:)=(r+a)(x 4)=f+(a 4)r 4a,要使函数为偶函数，只需多项式的奇次项系数为0,即a4=0,则 a=4.法三：根据二次函数的奇偶性可知，形如段)=的都是偶函数，因而本题只需将解析式看成是平方差公式，则a=4.3.(2 0 2 1浙江高一期末)已知/(x)是定义在R上的奇函数，且当工之0时，工)=/+办+1,则/(一1)二【答案】-2【解析】因为/(力 是定义在R 上的奇函数,所以0)=1 =0,解得1,因为当xNO时,/(x)=x*2+x,考点4：用奇偶性求解析式【例 4】(1)函数./(4)是定义域为R 的奇函数，当*0时，共0=一%+1,求共 丫)的解析式;2)设兀0是偶函数，以乃是奇函数，且-)+g(x)=，求函数/(、)，盛 工)的解析式._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,当 4 0 分 析 (1)设x 0,则一x0|/(0=_+奇函数 寄函数 分段函数求X r)|-|得力。

时危)的解析式|由叶质|火危)的解析式|-用一X代式中X|-奇偶性-口解方程组(2)yw+g(x)=77-x)+g(x)=Y -得ZWg(x)=R Y -得AM，gW的解析式【解析】设 x 0,4%)=-(x)+l=x+l，又函数以)是定义域为R 的奇函数,匚_/(一彳)=-/)=彳+1,匚当x0时，危)=一“一1.又 x=0 时，0)=0,X 1 x所以y w=0,x=x+l,x0.(2)二府)是偶函数，鼠乃是奇函数,所以“1)=2,/(-1)=-/0)=-2,故答案为：-2L/(-x)=/(x),g(-x)=-g(x).由贝力+)=言 7，口用一X 代替 X 得/(x)+g(x)=,(+尸2,得大、)=吉：(口一口尸2,得其r)=.【变式训练】把本例(2)的条件%x)是偶函数，趴x)是奇函数”改为7(x)是奇函数，g(x)是偶函数”，再求火x),以x)的解析式.【解析】巩工)是奇函数，g(x)是偶函数，口/(一%)=/)，g(_ x)=g(x)，又 x)+x)=F r p 口用一X 代替上式中的X,得._ x)+g(_ x)=_ 1 _ ,即./w-g a)=*Q联立得X 1危 尸 W Tg 尸目.【方法技巧】利用函数奇偶性求解析式的方法1,“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，X就应在哪个区间上设.2.要利用已知区间的解析式进行代入.3.利用风。

的奇偶性写出一人外或人一x),从而解出义x).提醒：若函数人外的定义域内含0且为奇函数，则必有/(0)=0,但若为偶函数，未必有/(0)=0.【变式训练】1.已知函数y=/(x)为奇函数，且当x 0 时，)=/-2 工+3,则当正0时，段)的解析式是(A.火力=f+2 x 3 B.j(x)=x12x3)C./)=%22r+3 D.f(x)=x22x-3【答案】B【解析】若x0,则一40,因为当它0时，外)=/一 法+3,所以次-x)=/+2x+3,因为函数)是奇函数，所以大一/(x),所以y(x)=X?2r 3,所以x 0 时，4)=-x22x3.故选 B.2.(20 20宁夏大学附属中学高一期中)己知/)是定义在H上的奇函数，x N O时，/(x)=f+2 x,则在，/0上/(力 的表达式是()A.f(x)=-x1+2x B.fx)=-JC-2xC.f(x)=x2-2x D./(x)=x2+2x【答案】A【解析】因为x N O时，x)=f+2x,设x 0,所以/(一力=/一2%，又因为外工)是定义在R上的奇函数，所以/(力=-/(-X)=-X2+2X,故选：A.3.(20 21湖南省长沙县第九中学高一期末)已知函数 力 是定义在R上的奇函数，当/K)时，/(x)=x(l +x).则函数的解析式为.【答窠】/U)=A(1 +A)A 0M D x0,所以/(X)=T(l-X)=T +k，因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以-/(x)=-x+a所以/(x)=_ f+x =x(I).所以函数的解析式为/*)=M l +x)x 0 x(l-x)x 0故答案为：/*）=f x，（l +x）x0A M l-x）x0考点5：函数单调性和奇偶性的综合问题探究问题1 .如果奇函数/（x）在区间（。

6）上单调递增，那么大x）在（一瓦一）上的单调性如何？如果偶函数 x）在区间（6）上单调递减，那么火x）在（一4 一0）上的单调性如何？【解析】如果奇函数危）在区间（4,力上单调递增，那么人力在（一 儿 一上单调递增；如果偶函数 X）在区间（6）上单调递减，那么y（x）在（一4 一a）上单调递增.2.你能否把上述问题所得出的结论月一句话概括出来？【解析】奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.3.若偶函数人力在（-8,0）上单调递增，那么43）和人一2）的大小关系如何？若/（况 6）,你能得到什么结论？【解析】人一2）X3），若 曲）刁 ,则a|v 同.角度一比较大小问题【例 5】（20 22广东珠海高一期末）已知/（是R上的偶函数，在（-8,0 上单调递增，且八2）=0,则下列不等式成立的是（）A.0/（1）/（5）/（-3）B./（5）/（-3）0/（1）C./（-3）/（-1）0/（1）D./（-3）0/（1）/。