2025人教版五年级下册强基奥数讲义第2讲：位值原则.docx

位值原则（五年级第2讲）【内容简介】同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”例如“5”，写在个位上，就表示5个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百；等等这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原则我们通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”就是说，每10个某一单位就组成和它相邻的较高的一个单位，即10个一，叫做“十”，10个十叫做“百”，10个百叫做“千”，等等写数时，从右端起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等（见下图）用阿拉伯数字和位值原则，可以表示出一切整数例如，926表示9个百，2个十，6个一，即926=9×100+2×10+6根据问题的需要，有时我们也用字母代替阿拉伯数字表示数，如：abc表示𝑎个百，𝑏个十，𝑐个一其中𝑎可以是1～9中的数码，但不能是0，𝑏和𝑐是0～9中的数码abc上面的横线表示这是用位值原则表示的一个数，用以区别𝑎𝑏𝑐=𝑎×𝑏×𝑐。

下面，我们利用位值原则解决一些整数问题例1】证明：当𝑎>𝑐时，abc−cba必是9的倍数分析与解答】证明：abc=100𝑎+10𝑏+𝑐cba=100𝑐+10𝑏+𝑎abc−cba=100𝑎+𝑐−100𝑐−𝑎=99×(𝑎−𝑐)因为99能被9整除，所以abc−cba能被9整除在例1中，因为abc和cba的数字顺序恰好相反，所以称cba为abc的反序数，当然abc也是cba的反序数用同样的方法可以证明，互为反序数的两个数之差必然能被9整除例如，（97531-13579）必是9的倍数小结】熟练掌握运用位值原则拆分表示整数的方法，是解决此类问题的基本思路本题运用位值原则对用字母表示的两个数拆分后再整理计算，最后得到abc−cba是9的倍数例2】有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666求原来的两位数分析与解答】由位值原则知道，把数码1加在一个两位数前面，等于加了100；把数码1加在一个两位数后面，等于这个两位数乘10后再加1。

解：设这个两位数为𝑥由题意得到：(10𝑥+1)−(100+𝑥)=66610𝑥+1−100−𝑥=66610𝑥−𝑥=666−1+1009𝑥=765𝑥=85答：原来的两位数是85小结】根据位值原则找到这个两位数两次变化后值之间的关系，得到对应的等量关系是解本题的关键本题将这个两位数看成一个整体设为未知数𝑥，使得解答过程更加简洁方便例3】𝑎,𝑏,𝑐是1～9中的三个不同的数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是(𝑎+𝑏+𝑐)的多少倍？【分析与解答】用𝑎,𝑏,𝑐组成的六个不同数字是:abc，acb，bac，bca，cab，cba这六个数的和等于将六个数的百位、十位、个位分别相加，得到abc+acb+bac+bca+cab+cba=100×(𝑎+𝑎+𝑏+𝑏+𝑐+𝑐)+10×(𝑏+𝑐+𝑎+𝑐+𝑎+𝑏)+(𝑐+𝑏+𝑐+𝑎+𝑏+𝑎)=200×(𝑎+𝑏+𝑐)+20×(𝑎+𝑏+𝑐)+2×(𝑎+𝑏+𝑐)=222×(𝑎+𝑏+𝑐)所以，六个数的和是(𝑎+𝑏+𝑐)的222倍。

小结】本题需要熟练掌握位值原则，首先需要先将用𝑎,𝑏,𝑐组成的不重复的六位数先写出来，再根据位值原则将这六个数的百位、十位、个位分别相加，对算式进行整理计算后，得到这六个数的和是(𝑎+𝑏+𝑐)的222倍例4】用2，8，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？【分析与解答】由例3知，可以组成的六个三位数之和是（2+8+7）×222，所以平均值是（2+8+7）×222÷6=629小结】本题是例3结论的应用，首先运用例3结论得到用2，8，7三张数字卡片组成的不同的三位数的总和，再除以6得到所有这些三位数的平均值例5】一个两位数，各位数字的和的5倍比原数大6，求这个两位数分析与解答】设这个两位数为ab，则有(𝑎+𝑏)×5−(10𝑎+𝑏)=65𝑎+5𝑏−10𝑎−𝑏=64𝑏−5𝑎=6当𝑏=4,𝑎=2或𝑏=9,𝑎=6时，4𝑏−5𝑎=6成立，所以这个两位数是24或69。

小结】本题运用位值原则设这个两位数为ab，使得解题过程更加清晰根据题意得到对应的等量关系，运用位值原则拆分整理后得到等式4𝑏−5𝑎=6，进一步计算尝试可以得到当𝑏=4,𝑎=2或𝑏=9,𝑎=6时，4𝑏−5𝑎=6成立，从而得到答案例6】将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用最大的减去最小的，正好等于原来的三位数，求原来的三位数分析与解答】设原来的三位数的三个数字分别是𝑎,𝑏,𝑐若abc最大，则cba最小原来的三位数等于abc-cba=(100𝑎+10𝑏+𝑐)−(100𝑐+10𝑏+𝑎)=99×(𝑎−𝑐)由上式知，所求三位数是99的倍数，可能值为198，297，396，495，594，693，792，891经验证，只有495符合题意，即原来的三位数是495小结】本题可用字母表示这个三位数，假设abc最大，则cba最小。

根据题意，运用位值原则拆分、整理计算后得到abc-cba=99×(𝑎−𝑐)，从而得到原来的三位数的可能值例7】一个三位数减去它的各位数字之和，差还是一个三位数46A，求数码𝐴分析与解答】设这个三位数为abc，𝑎可以是1～9中的数码，𝑏和𝑐是0～9中的数码根据位值原则可得：(100𝑎+10𝑏+𝑐)−(𝑎+𝑏+𝑐)=4×100+6×10+𝐴99𝑎+9𝑏=460+𝐴9×(11𝑎+𝑏)=460+𝐴由题意可知，𝐴是0～9中的数码，且(460+𝐴)是9的倍数通过计算可知，只有当𝐴=8时，460+𝐴=468能被9整除，故𝐴=8小结】本题首先假设这个三位数为abc，根据题意和位值原则列出对应的等量关系式(100𝑎+10𝑏+𝑐)−(𝑎+𝑏+𝑐)=4×100+6×10+𝐴，整理化简后得到9×(11𝑎+𝑏)=460+𝐴，由此可知(460+𝐴)是9的倍数，通过计算可知只有当𝐴=8时等式成立，所以𝐴=8。

例8】已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008，你能找出这样的四位数吗？【分析与解答】假设这个四位数为abcd，由题意可得：(1000𝑎+100𝑏+10𝑐+𝑑)+(𝑎+𝑏+𝑐+𝑑)=20081001𝑎+101𝑏+11𝑐+2𝑑=2008由式子1001𝑎+101𝑏+11𝑐+2𝑑=2008可知，𝑎只能取1或2此时，①当𝑎=1时，𝑏、𝑐、𝑑最大可取到9，此时可得到最大值，即1001𝑎+101𝑏+11𝑐+2𝑑=1001×1+101×9+11×9+2×9=1001＋909＋99＋18＝2027>2008由此可知当𝑎=1时，可能会有符合条件的四位数，进一步分析：由于11𝑐+2𝑑≤11×9+2×9，即11𝑐+2𝑑≤117，所以101𝑏≥2008−1001−117，即101𝑏≥890，此时𝑏只能取9。

从而得到11𝑐+2𝑑=98，其中𝑐只能为偶数又因为11𝑐≥98−2×9，即11𝑐≥80，𝑐只能取8，得到𝑑=5，此时符合条件的四位数为1985②当𝑎=2时，则101𝑏+11𝑐+2𝑑=2008−2002=6，此时𝑏和𝑐只能为0，𝑑=3，符合条件的四位数为2003综上所述，这样的四位数有两个：1985和2003小结】本题主要运用位值、分析推理和分类讨论得出结果首先假设这个四位数为abcd，根据题意得到等量关系式，整理化简为1001𝑎+101𝑏+11𝑐+2𝑑=2008，由此得到𝑎只能取1或2，分类讨论这两种情况，对具体情况进一步分析和推理，从而得到符合条件的四位数为1985和2003例9】有一个五位数，如果把它的个位数字7移到万位，其他四个数字顺序不变，得到的新五位数比原数的2倍还大8160，求原数。

分析与解答】假设这个五位数为abcd7，把个位数字7移到万位为7abcd此时根据题意直接找到abcd四个数字的具体值有一定难度，这里可以利用整体替换进行求解假设abcd为𝑥,由题目中所给的数量关系可得：7abcd=2×abcd7+8160即70000+𝑥=2×(10𝑥+7)+8160𝑥=3254故原数为32547小结】本题涉及的数数位较多，难以直接求出具体值，这里使用整体替换，将abcd设为𝑥，从而使得数量关系简化为70000+𝑥=2×(10𝑥+7)+8160，从而求出𝑥=3254，则原数为32547例10】有一类三位数，它的各个数位上的数字之和是12，各个数位上的数字之积是30，所有这样的三位数的和是多少？【分析与解答】假设这个三位数是abc，则根据题意可得：𝑎+𝑏+𝑐=12，𝑎𝑏𝑐=30从𝑎𝑏𝑐=30寻找突破口，将30分解成3个因数相乘，符合𝑎+𝑏+𝑐=12的即为所求。

组成三位数的三个数码只有1，5，6符合要求，结合例3的结论可得，所有这样的三位数的和为222×(1＋5＋6)＝2664小结】本题需要从𝑎𝑏𝑐=30寻找突破口，对30分解因数得到只有当𝑎，𝑏，𝑐的值为1、5、6时才满足条件，运用例3的结论得到所有这样的三位数的和为2664练习】1.有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数之和是970求原来的两位数2.有一个三位数，将数码1加在它的前面可以得到一个四位数，将数码3加在它的后面也可以得到一个四位数，这两个四位数之差是2351，求原来的三位数3.一个三位数减去它的各个数位的数字之和得66x,求𝑥4.abcd+abc+ab+𝑎=4236，求abcd5.从1～9中取出三个数码，用这三个数码组成的六个不同的三位数之和是3330这六个三位数中最小的能是几？最大的能是几？6.一个两位数，各位数字的和的6倍比原数小9，求这个两位数7.一个三位数，抹去它的首位数之后剩下的两位数的4倍比原三位数大1，求这个三位数。

8.已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2031，那么你能找出这个四位数吗？9.将4个互不相等且都不为0的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000~4000之间求这24个四位数中最大的那个数是多少位值原则（五年级第2讲）【内容简介】同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”例如“5”，写在个位上，就表示5个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百；等等这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原则我们通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”就是说，每10个某一单位就组成和它相邻的较高的一个单位。