第三编导数及其应用.doc

第三编 导数及其应用§3.1 导数的概念及运算基础自测1.在曲线y=x2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx，2+Δy），则为 .答案 Δx+22.已知f(x)=sinx(cosx+1)，则f′(x)= .答案 cos2x+cosx3.若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf′(x)＞-f(x)恒成立，且常数a,b满足a＞b,则下列不等式不一定成立的是 （填序号）.①af(b)＞bf(a) ②af(a)＞bf(b)③af(a)＜bf(b) ④af(b)＜bf(a)答案 ①③④4.（2008·辽宁理，6）设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为 .答案 5.(2008·全国Ⅱ理，14)设曲线y=eax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a= .答案 2例1 求函数y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率.解 ∵Δy===，∴=.例2 求下列各函数的导数：（1）y=；（2）y=（x+1）（x+2）（x+3）；（3）y=-sin(1-2cos2)；（4）y=+.解 （1）∵y==x+x3+，∴y′=（x）′+(x3)′+(x-2sinx)′=-x+3x2-2x-3sinx+x-2cosx.(2)方法一 y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，∴y′=3x2+12x+11.方法二y′=［（x+1）（x+2）］′（x+3）+（x+1）（x+2）（x+3）′=［（x+1）′（x+2）+（x+1）（x+2）′］（x+3）+（x+1）（x+2）=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x2+12x+11.（3）∵y=-sin(-cos)=sinx，∴y′=(sinx) ′= （sinx）′=cosx.（4）y=+==，∴y′=()′==.例3 求下列函数的导数：（1）y=;(2)y=sin2(2x+);(3)y=x.解 （1）设u=1-3x,y=u-4.则y x′=y u′·ux′=-4u-5·（-3）=.(2)设y=u2,u=sinv,v =2x+,则y x′=y u′·u v′·v x′=2u·cosv·2=4sin·cos=2sin.(3)y′=(x)′=x′·+x·（)′=+=.例4 （14分）已知曲线y=x3+.(1)求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.解 （1）∵y′=x2,∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=y′|x=2=4. 3分∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. 6分（2）设曲线y=x3+与过点P（2，4）的切线相切于点A(x0，x03+)，则切线的斜率k=y′|=x02. 8分∴切线方程为y-(x03+)=x02(x-x0),即y=x02·x-x03+. 10分∵点P（2，4）在切线上，∴4=2x02-x03+,即x03-3x02+4=0,∴x03+x02-4x02+4=0,∴x02 (x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. 14分1.求y=在x=x0处的导数.解 ===，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于,∴f′(x0)= .2.求y=tanx的导数.解 y′====.3.设函数f（x）=cos（x+）（0＜＜）.若f(x)+f′(x)是奇函数,则= .答案 4.若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，则k= .答案 2或-一、填空题1.若f′（x0）=2，则当k无限趋近于0时= .答案 -12.（2008·全国Ⅰ理，7）设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a= .答案 -23.若点P在曲线y=x3-3x2+(3-)x+上移动，经过点P的切线的倾斜角为，则角的取值范围是 .答案 4.曲线y=x3-2x2-4x+2在点（1,-3）处的切线方程是 .答案 5x+y-2=05.（2009·徐州六县一区联考）若曲线f(x)=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0,则点P的坐标为 .答案 （1，0）6.已知曲线S:y=3x-x3及点P（2，2），则过点P可向S引切线，其切线共有 条.答案 37.曲线y=和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是 .答案 8.若函数f(x)的导函数为f′(x)=-x(x+1),则函数g(x)=f(logax)(0＜a＜1)的单调递减区间是 .答案 二、解答题9.求下列函数在x=x0处的导数.（1）f（x）=cosx·sin2x+cos3x，x0=；（2）f（x）=，x0=2；（3）f（x）=，x0=1.解 （1）∵f′(x)=［cosx(sin2x+cos2x)］′=(cosx)′=-sinx,∴f′（）=-.(2)∵f′(x)===,∴f′(2)=0.(3)∵f′(x)=(x)′-x′+(lnx)′=-x-1+,∴f′(1)=- .10.求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离.解 设曲线上过点P（x0,y0）的切线平行于直线2x-y+3=0，即斜率是2，则y′|==|==2.解得x0=1,所以y0=0,即点P（1，0），点P到直线2x-y+3=0的距离为,∴曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是.11.（2008·海南、宁夏，21，（1）（3）问）设函数f(x)=ax+（a,b∈Z），曲线y=f(x)在点（2，f（2））处的切线方程为y=3.（1）求f（x）的解析式；（2）证明：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.(1)解 f′(x)=a-,于是解得或因为a,b∈Z,故f(x)=x+.(2)证明 在曲线上任取一点（x0,x0+）,由f′(x0)=1-知,过此点的切线方程为y-=(x-x0).令x=1,得y=,切线与直线x=1的交点为;令y=x,得y=2x0-1,切线与直线y=x的交点为(2x0-1,2x0-1);直线x=1与直线y=x的交点为(1,1),从而所围三角形的面积为|2x0-1-1|=|2x0-2|=2.所以,所围三角形的面积为定值2.12.偶函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f（x）的解析式.解 ∵f（x）的图象过点P（0，1），∴e=1. ①又∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x）.故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.∴b=0，d=0. ②∴f（x）=ax4+cx2+1.∵函数f（x）在x=1处的切线方程为y=x-2，∴可得切点为（1，-1）.∴a+c+1=-1. ③∵f′（1）=（4ax3+2cx）|x=1=4a+2c，∴4a+2c=1. ④由③④得a=，c=-.∴函数y=f（x）的解析式为f（x）=x4-x2+1.§3.2 导数的应用基础自测1.函数y=f(x)的图象过原点且它的导函数g=f′(x)的图象是如图所示的一条直线，则y=f(x)图象的顶点在第 象限.答案 一2.已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x＞0时，f′(x)＞0,g′(x)＞0，则x＜0时，f′(x) 0,g′(x) 0.(用“＞”, “=”,“＜”填空)答案 ＞ ＜3.（2008·广东理，7）设a∈R,若函数y=eax+3x,x∈R有大于零的极值点,则a的取值范围是 .答案 a＜-34.函数y=3x2-2lnx的单调增区间为 ，单调减区间为 .答案 5.（2008·江苏，14）f(x)=ax3-3x+1对于x∈［-1,1］总有f(x)≥0成立，则a= .答案 4例1 已知f(x)=ex-ax-1.（1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.解 f′(x)= e x-a.(1)若a≤0，f′(x)= ex-a≥0恒成立，即f(x)在R上递增.若a＞0, ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f(x)的递增区间为（lna，+∞）.（2）∵f（x）在R内单调递增，∴f′(x)≥0在R上恒成立.∴ex-a≥0，即a≤ex在R上恒成立.∴a≤（ex）min，又∵ex＞0,∴a≤0.（3）方法一 由题意知ex-a≤0在（-∞，0］上恒成立.∴a≥ex在（-∞，0］上恒成立.∵ex在（-∞，0］上为增函数.∴x=0时，ex最大为1.∴a≥1.同理可知ex-a≥0在［0，+∞）上恒成立.∴a≤ex在［0，+∞）上恒成立.∴a≤1，∴a=1.方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴f′(0)=0,即e0-a=0,∴a=1.例2 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=时，y=f(x）有极值.（1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.解 （1）由f（x)=x3+ax2+bx+c,得f′(x)=3x2+2ax+b,当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0 ①当x=时，y=f(x)有极值，则f′（）=0,可得4a+3b+4=0 ②由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4.∴1+a+b+c=4.∴c=5.（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,∴f′(x)=3x2+4x-4,令f′(x)=0,得x=-2,x=.当x变化时，y,y′的取值及变化如下表：x-3(-3,-2)-2(-2,)(,1)1 +0-0+。