光学-. 光在晶体中传播的几何法描述课件.ppt

4.3 光在晶体中传播的几何法描述光在晶体中的传播规律除了利用上述解析方法进行严格 的讨论外，还可以利用一些几何图形描述这些几何图形能 使我们直观地看出晶体中光波的各个矢量场间的方向关系， 以及与各传播方向相应的光速或折射率的空间取值分布当 然，几何方法仅仅是一种表示方法，它的基础仍然是上面所 给出的光的电磁理论基本方程和基本关系在传统的晶体光学中，人们引入了折射率椭球、折射率 曲面、波法线曲面、菲涅耳椭球、射线曲面、相速卵形面等 六种三维曲面限于篇幅和实际的应用需要，这里只着重介 绍折射率椭球、折射率曲面以及菲涅耳椭球和射线曲面1. 折射率椭球(光率体) （1).折射率椭球方程由光的电磁理论知道，在主轴坐标系中，晶体中的电场 储能密度为：故有在给定能量密度we的情况下，该方程为D(D1、D2、D3)空 间的椭球面若令：则有或者,图 4 - 10 折射率椭球(光率体),图 4 - 11 确定折射率和D振动方向的图示,（2) 折射率椭球的性质若从主轴坐标系的原点出发作波法线矢量k，再过坐标 原点作一平面(称为中心截面)Π(k)与k垂直(图 4 - 11)， Π(k)与椭球的截线为一椭圆，椭圆的半长轴和半短轴的矢径 分别记作ra(k)和rb(k)，则可以证明折射率椭球具有下面两 个重要的性质：① 与波法线方向k相应的两个特许线偏振光的折射率n′ 和n″，分别等于这个椭圆的两个主轴的半轴长，即：,②.与波法线方向k相应的两个特许线偏振光D的振动方 向d′和d″，分别平行于ra和rb，即：这里，d是D矢量方向上的单位矢量。

这样，只要给定了晶体，知道了晶体的主介电张量，就 可以作出相应的折射率椭球，从而就可以通过上述的几何作 图法定出与波法线矢量k相应的两个特许线偏振光的折射率 和D的振动方向(图4-11)3) 利用折射率椭球确定D,E,k,s方向的几何方法利用折射率椭球除了确定相应于k的两个特许线偏振光D 矢量的振动方向和折射率外，还可以借助于下述几何方法， 确定D, E, k, s各矢量的方向如前所述，D、E、k, s矢量都与H矢量垂直，因而同处 于一个平面内，这个平面与折射率椭球的交线是一个椭圆， 如图 4-12 所示如果相应于波法线方向k的一个电位移矢量D确定了，与 该D平行的矢径端点为B，则椭球在B点的法线方向平行于与 该D矢量相应的E矢量方向图 4 - 12 由给定的D确定E、k、s方向图示,（4) 应用折射率椭球讨论晶体的光学性质 ①.各向同性介质或立方晶体 在各向同性介质或立方晶体中，主介电系数 ε1=ε2=ε3 ，主折射率n1=n2=n3=n0，折射率椭球方程为：这就是说，各向同性介质或立方晶体的折射率椭球是一个 半径为n0的球因此，不论k在什么方向，垂直于k的中心截面 与球的交线均是半径为n0的圆，不存在特定的长、短轴，因而 光学性质是各向同性的。

②. 单轴晶体 在单轴晶体中，ε1=ε2≠ε3，或n1=n2=no，n3=ne≠no，因此折射率椭球方程为：显然这是一个旋转椭球面，旋转轴为x3轴若ne>no称为 正单轴晶体(如石英晶体)，折射率椭球是沿着x3轴拉长了的 旋转椭球；若ne< no，称为负单轴晶体(如方解石晶体)，折 射率椭球是沿着x3轴压扁了的旋转椭球图 4 - 13 单轴晶体折射率椭球作图法,图 4 - 14 两个坐标系的关系,③.双轴晶体a.双轴晶体中的光轴对于双轴晶体，介电张量的三个主介电系数不相等，即 ε1≠ε2≠ε3，因而n1≠n2≠n3，所以折射率椭球方程 为：若约定n1

如果用C表示Π0面法线方向的单 位矢量，则C的方向即是光轴方向由于上式右边有正负两 个值，相应的Π0面及其法向单位矢量C也有两个，因此，有 两个光轴方向C1和C2，这就是双轴晶体名称的由来实际上，C1和C2对称地分布在x3轴两侧，如图4-16所 示由C1和C2构成的平面叫做光轴面，显然，光轴面就是 x3Ox1平面设C1、C2与x3轴的夹角分别为β、-β，则有：,当β角小于 45°时，称为正双轴晶体; β角大于45° 时，称为负双轴晶体图 4-15 双轴晶体折射率椭球在x3Ox1面上的截线,图4-16 双轴晶体双光轴示意图,b.光在双轴晶体中的传播特性与单轴晶体一样，利用双轴晶体的折射率椭球可以确定 相应于k方向两束特许线偏振光的折射率和振动方向，只是 具体计算比单轴晶体复杂得多下面只讨论几种特殊情况：  （i).当k方向沿着主轴方向，比如x1轴时，相应的两个 特许线偏振光的折射率分别为n2和n3,D矢量的振动方向分别 沿x2轴和x3轴方向；当k沿x2轴时，相应的两个特许线偏振 光的折射率分别为n1和n3，D矢量的振动方向分别沿x1轴和 x3轴方向ii).当k方向沿着光轴方向时，二正交线偏振光的折射 率为n2，其D矢量的振动方向没有限制。

(iii).当k在主截面内，但不包括上面两种情况时，二特 许线偏振光的折射率不等，其中一个等于主折射率，另一个 介于其余二主折射率之间例如，k在x1Ox3主截面内，与x3轴的夹角为θ，确定与 其相应的二特许线偏振光的折射率和D矢量振动方向图 4 - 17 坐标系的变换,根据折射率椭球的性质，考虑到k不在坐标轴上，为了 简化运算, 可如图 4 -17所示，将坐标系O-x1x2x3绕x2轴旋 转θ角，建立一个新坐标系O-x1′x2′x3′，使k沿x3′轴 方向此时二坐标系之间的关系为:,将上面关系代入折射率椭球方程，并与x3′=0 联立:可得与k垂直的截线方程为:,所以，与k相应的二特许线偏振光的折射率为:D矢量的振动方向分别为x2′、x1′方向iv).当k与折射率椭球的三个主轴既不平行又不垂直 时， 相应的两个折射率都不等于主折射率，其中一个介于 n1, n2之间，另一个介于n2 , n3之间如果用波法线与两 个光轴的夹角θ1和θ2来表示波法线方向k(见图 4 - 9)， 则可以利用折射率椭球的关系，得到与k相应的二折射率十 分简单的表达式:,(v).已知两个光轴方向和k方向时，可以很方便地确定 与k相应的D矢量的两个振动方向。

图 4-18 D矢量振动面的确定,图 4-19 图 4 - 18 中的Π平面,最后应当指出，在双轴晶体中，除两个光轴方向外，沿 其余方向传播的平面光波，在折射率椭球中心所作的垂直于 k的平面与折射率椭球的截线都是椭圆而且，由于折射率 椭球没有旋转对称性，相应的两个正交线偏振光的折射率都 与k的方向有关，因此这两个光都是非常光故在双轴晶体 中，不能采用o光与e光的称呼来区分这两种偏振光2. 折射率曲面和波矢曲面折射率椭球可以确定与波法线方向k相应的两个特许线 偏振光的折射率，但它需要通过一定的作图过程才能得到 为了更直接地表示出与每一个波法线方向k相应的两个折射 率，人们引入了折射率曲面折射率曲面上的矢径r=nk，其 方向平行于给定的波法线方向k, 长度则等于与该k相应的两 个波的折射率因此，折射率曲面必定是一个双壳层的曲 面，记作(k,n)曲面实际上，根据(k,n)曲面的意义，现重写出折射率曲面 在主轴坐标系中的极坐标方程如下：,若以 代入上式， 即得到它的直角坐标方程：这是一个四次曲面方程利用这个曲面可以很直观地得 到与k相应的二折射率对于立方晶体，n1=n2=n3=n0，由此可得：显然，这个折射率曲面是一个半径为n0的球面，在所有的k 方向上，折射率都等于n0 ，在光学上是各向同性的。

对于单轴晶体，n1=n2=no, n3=ne，于是：,进而有:,可见，单轴晶体的折射率曲面是一个双层曲面，它是由 一个半径为no的球面和一个以x3轴为旋转轴的旋转椭球构成 的球面对应为o光的折射率曲面，旋转椭球表示的是e光的 折射率曲面单轴晶体的折射率曲面在主轴截面上的截线如 图4-20 所示：对于正单轴晶体，ne>no，球面内切于椭球； 对于负单轴晶体，ne

菲涅耳椭球就是相对光线方向s引入的几何曲面由折射率椭球方程并利用矢量对应关系，可得：,式中，vr1、vr2、vr3表示三个主轴方向上的光线主速 度这个方程就是用来描述光在晶体中传播特性的菲涅耳椭 球在描述光的传播特性时，它与折射率椭球的作图方法完 全相同，只是以光线方向s取代波法线方向k对于任一给定 的光线方向s，过菲涅耳椭球中心作垂直于s的平面，它与菲 涅耳椭球相交，其截线为椭圆，该椭圆的长、短轴方向表示 与s方向相应的二特许线偏振光电场强度E的振动方向，半轴 长度表示该二光的光线速度如果把长、短半轴矢径记作 ra(s)和rb(s)，则有：,e表示与光线方向s相应的E矢量振动方向上的单位矢 量菲涅耳椭球可记为 (e,vr)曲面4. 射线曲面射线曲面是和折射率曲面相对应的几何图形，它描述与 晶体中光线方向s相应的两个光线速度的分布射线曲面上的 矢径方向平行于给定的s方向， 矢径的长度等于相应的两个 光线速度vr，因此可简记为(s,vr)曲面实际上，射线曲面 就是在晶体中完全包住一个单色点光源的波面射线曲面在主轴坐标系中的极坐标方程就是：,图 4 - 23 单轴晶体的射线曲面 (a) 正单轴晶体； (b) 负单轴晶体,图 4 – 24 双轴晶体射线曲面在三个主轴截面上的截线,图 4 - 25 双轴晶体射线曲面在第一卦限中的示意图,。