专题23：完全平方数资料.docx

竞赛讲座23－完全平方数(一)完全平方数的性质一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数证明奇数必为下列五种形式之一：10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9分别平方后，得(10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1(10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9(10a+5)=100+100a+25=20(5a+5a+1)+5(10a+7)=100+140a+49=20(5a+7a+2)+9(10a+9)=100+180a+81=20(5a+9a+4)+1综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。

证明已知=10k+6,证明k为奇数因为的个位数为6,所以m的个位数为4或6,于是可设m=10n+4或10n+6则10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6或10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6即k=10+8n+1=2(5+4n)+1或k=10+12n+3=2(5+6n)+3二k为奇数推论1：如果一个数的十位数字是奇数,而个位数字不是6,那么这个数一定不是完全平方数推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6,则它的十位数字是偶数性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1这是因为(2k+1)=4k(k+1)+1(2k)=4性质5:奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型在性质4的证明中，由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数性质6:平方数的形式必为下列两种之一:3k,3k+1因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1,3m+2平方后，分别得(3m)=9=3k(3m+1)=9+6m+1=3k+1(3m+2)=9+12m+4=3k+1同理可以得到：性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。

性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止我们可以得到下面的命题：一个数的数字和等于这个数被9除的余数下面以四位数为例来说明这个命题设四位数为，则=1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+(a+b+c+d)=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)显然，a+b+c+d是四位数被9除的余数对于n位数，也可以仿此法予以证明关于完全平方数的数字和有下面的性质：性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9证明因为一个整数被9除只能是9k,9k±1,9k2±,9k3±,9k4±这几种形式，而(9k)=9(9)+0(9k1±)=9(9±2k)+1(9k2±)=9(9±4k)+4(9k3±)=9(9±6k)+9(9k4±)=9(9±8k+1)+7除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：性质10：为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。

证明充分性：设b为平方数，则==(ac)必要性：若为完全平方数，=，则性质11：如果质数p能整除a,但不能整除a,则a不是完全平方数证明由题设可知，a有质因子p,但无因子，可知a分解成标准式时，p的次方为1,而完全平方数分解成标准式时,各质因子的次方均为偶数,可见a不是完全平方数性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若

解：设此自然数为X,依题意可得(m,n为自然数)(2)-(1)可得/•n>m(但89为质数，它的正因子只能是1与89,于是解之，得n=45代入⑵得故所求的自然数是1981［例2］：求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方(1954年基辅数学竞赛题)分析设四个连续的整数为，其中n为整数欲证是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可证明设这四个整数之积加上1为m,则而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数这就证明了m是一个奇数的平方［例3］：求证：11,111,1111这,串数中没有完全平方数(1972年基辅数学竞赛题)分析形如的数若是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即或在两端同时减去1之后即可推出矛盾证明若，则因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等若，则因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等综上所述，不可能是完全平方数另证由为奇数知，若它为完全平方数，则只能是奇数的平方但已证过，奇数的平方其十位数字必是偶数，而十位上的数字为1，所以不是完全平方数［例4］：试证数列49,4489,444889,的每一项都是完全平方数。

证明=4+8+1=4()(9+1)+8+1=36()+12+1=(6+1)即为完全平方数［例5］：用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？解：设由300个2和若干个0组成的数为A，则其数字和为6003|600二3IA此数有3的因子，故9|A但9|600,二矛盾故不可能有完全平方数［例6］：试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同(1999小学数学世界邀请赛试题)解：设此数为此数为完全平方，则必须是11的倍数因此11Ia+b,而a,b为0,1,2,9，故共有(2,9),(3,8),(4,7),(9,2)等8组可能直接验算，可知此数为7744=88［例7］：求满足下列条件的所有自然数：(1) 它是四位数2) 被22除余数为53) 它是完全平方数解：设，其中n,N为自然数，可知N为奇数11|N-4或11|N+4或k=1k=2k=3k=4k=5所以此自然数为1369,2601,3481,5329,6561,9025［例8］：甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。

为了平均分配，甲应该补给乙多少元(第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)？解：n头羊的总价为元，由题意知元中含有奇数个10元，即完全平方数的十位数字是奇数如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6所以，的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元［例9］：矩形四边的长度都是小于10的整数(单位：公分)，这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积(1986年缙云杯初二数学竞赛题)解：设矩形的边长为x,y，则四位数•••N是完全平方数，11为质数二x+y能被11整除又,得x+y=11••••••9x+1是一个完全平方数，而，验算知x=7满足条件又由x+y=11得［例10］：求一个四位数，使它等于它的四个数字和的四次方，并证明此数是唯一的解：设符合题意的四位数为，贝y，二为五位数，为三位数，二经计算得，其中符合题意的只有2401一个[例11]:求自然数n,使的值是由数字023,4,4,7,8,8,9组成解：显然，为了便于估计，我们把的变化范围放大到，于是，即另一方面，因已知九个数码之和是3的倍数，故及n都是3的倍数。

这样，n只有24,27,30三种可能但30结尾有六个0，故30不合要求经计算得故所求的自然数n=27四）讨论题1. （1986年第27届IMO试题）设正整数d不等于2,5,13，求证在集合｛2,5,13,d｝中可以找到两个不同的元素a,b,使得ab-1不是完全平方数2. 求k的最大值，使得可以表示为k个连续正整数之和。